南昌大学概率论大数定律及中心极限定理说课讲解.ppt
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1、南昌大学概率论大数定律南昌大学概率论大数定律及中心极限定理及中心极限定理 设随机变量设随机变量X 有期望有期望 和方差,和方差,由切比雪夫不等式可看出由切比雪夫不等式可看出:DX 越小越小,则事件则事件|X-E(X)|)|0,证证(仅就连续的情形给出证明仅就连续的情形给出证明)则则 0,设设X 的密度函数为的密度函数为 f(x),即随机变量即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.在未知分布的情形下在未知分布的情形下估计估计 P(|(|X-EX|)2例例1 已知已知E(X)=100,D(X)=30,试估计试估计X落在落在(70,130)内的概率内的概率解解:P70X1
2、30=P|X 100|30由契比雪夫不等式由契比雪夫不等式,得得:0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变契比雪夫不等式给出了在随机变量量X的分布未知情况下的分布未知情况下,事件事件|X|0,有有 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证 由由Chebyschev不等式不等式,由极限夹逼准则知结论成立由极限夹逼准则知结论成立.任意事件的概率任意事件的概率 1 1特别地特别地,改方差的限定条件为改方差的限定条件为:设设Xn 独立且有相同的期望独立且有相同的期望 和方差和方差 2,则则 0,有有 在独立和同期望、方差的条件下在独立和同
3、期望、方差的条件下,n 个随机变量的算术个随机变量的算术平均值当平均值当 n 时时,依概率收敛于它的期望依概率收敛于它的期望 .即存在常数即存在常数 C,使得使得 DX i C,i=1,2,当当n 充分大时几乎充分大时几乎不再是随机的了不再是随机的了 Y Y 7 切比雪夫大数定律表明,独立随机变切比雪夫大数定律表明,独立随机变量序列量序列Xn,如果方差有共同的上界,则,如果方差有共同的上界,则与其数学期望与其数学期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1.随机的了,取值接近于其数学期望的概率接随机的了,取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时,充分大时,差不多不再是差
4、不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述82.设随机变量序列,相互独立,它们满足切贝谢夫大数定律,则 的分布可以是_.(A)服从上的均匀分布.服从参数为的泊松分布.服从参数为的泊松分布.服从正态分布9贝努里大数定律贝努里大数定律 设设n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生发生nA次次,在每次试验中事件在每次试验中事件A发生的概率发生的概率为为p,则则 0,有有:10令令由契比雪夫大数定律得出结论由契比雪夫大数定律得出结论E(Xi)=p,D(Xi)=p(1 p)又又11关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明:故而当故而当n很大
5、时很大时,事件发生的频率与概率有事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小较大偏差的可能性很小.在实际应用中在实际应用中,当试验当试验次数很大时次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替便可以用事件发生的频率来代替事件的概率事件的概率.Bernoulli大数定律提供了通过试验来确定事件概率方大数定律提供了通过试验来确定事件概率方法的理论依据法的理论依据,即用频率估计概率是合理的即用频率估计概率是合理的.12例例3 设随机变量设随机变量Xk(k=1,2,.)相互独立相互独立,具有同一分布具有同一分布:E(Xk)=0,D(Xk)=2,且且E(Xk4)(k=1,2,.)存在存在,试证明试证明:0,证证
6、:令令Yk=Xk2 (k=1,2,.)由已知由已知,Yk (k=1,2,.)相互独立相互独立 E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)=213D(Yk)=E(Yk2)E2(Yk)=E(Xk4)4由契比雪夫大数定律由契比雪夫大数定律:0,有有14下面给出的独立同分布下的大数定律,不要下面给出的独立同分布下的大数定律,不要求随机变量的方差存在求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同分布,具有有独立同分布,具有有限的数学期限的数学期E(Xi)=,i=1,2,,则对任给,则对任给 0,定理定理3(辛钦大数定律辛钦大数定律)这为在不知分布的情形下这为在不知分布的情形
7、下,取多次重复观测的算术平均值取多次重复观测的算术平均值 作为作为 EX 的较为精确的估计提供的较为精确的估计提供了了理论保证理论保证.辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值,提供了提供了一条实际可行的途径一条实际可行的途径:则当则当 n 时时,对对X 的的 n 次观察结果的算术平均值次观察结果的算术平均值 以概率收敛于以概率收敛于 X 的期望值的期望值 EX=.若视若视 X i 为重复试验中对随机变量为重复试验中对随机变量 X 的的第第 i 次观察次观察,15这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形
8、式表达了随机现象最根本的性质之一:机现象最根本的性质之一:它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性16 在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生总影响产生总影响.例如例如,炮弹射击的落点与目标的炮弹射击的落点与目标的偏差偏差,就受着许多随机因素的影响就受着许多随机因素的影响.5.2 中中 心心 极极 限限 定定 理理如瞄准时的误差,如瞄准时的误差,空气阻力所产生的误差,空气阻力所产生的误差,炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹
9、或炮身结构所引起的误差等等.对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景17 观察表明观察表明,如果一个量是如果一个量是由大量由大量相互独立的随机因素的影响所造成相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个别因而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都则这种量一般都服从或近服从或近似服从正态分布似服从正态分布.我们就来研究独立我们就来研究独立随机变量之和随机变量之和所特有的规律性问所特有的规律性问题题:当当 n 无限增大时无限增大时,这个和的极限分布是什么呢这个和的极限分布是什么呢?
10、在什么条件下极限分布会是正态的呢?在什么条件下极限分布会是正态的呢?自从高斯指出测量误差服从正态分布之后自从高斯指出测量误差服从正态分布之后,人们发现人们发现正态分布在自然界中极为常见正态分布在自然界中极为常见.在一般情况下在一般情况下,我们很难求出我们很难求出 X1+X2+Xn 分布的分布的确切形式确切形式,但当但当 n 很大时很大时,可以求出这个和的近似分布可以求出这个和的近似分布.18 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于,故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的标准化的随机变量的分布函数的极限的分布函数的
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