正弦和余弦定理应用举例.ppt

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1、1.仰角和俯角仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫的角叫仰角，在水平线仰角，在水平线的角叫俯角的角叫俯角(如图如图).上方上方下方下方2.方位角方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方点的方位角为位角为(如图如图).仰角、俯角、方位角有什么区别？仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：提示：三者的参照不同三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.3.方向角方向角相对于某一正方向的水平角相

2、对于某一正方向的水平角(如图如图)(1)北偏东北偏东即由指北方向顺时针旋转即由指北方向顺时针旋转到达目标方向到达目标方向.(2)北偏西北偏西即由指北方向逆时针旋转即由指北方向逆时针旋转到达目标方向到达目标方向.(3)南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似.4.坡度坡度坡面与水平面所成的二面角的度数坡面与水平面所成的二面角的度数(如图如图，角，角为坡角为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图如图，i为坡比为坡比).1.从从A处望处望B处的仰角为处的仰角为，从，从B处望处望A处的俯角为处的俯角为，则，则，之间的关系是之间的关系是()A.B.C.90

3、D.180解析：解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知根据仰角与俯角的含义，画图即可得知.答案：答案：B2.如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A和和B与海洋观察站与海洋观察站C的距离相等，的距离相等，灯塔灯塔A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东40，灯塔，灯塔B在观察站在观察站C的南偏东的南偏东60，则灯塔，则灯塔A在灯塔在灯塔B的的()A.北偏东北偏东10B.北偏西北偏西10C.南偏东南偏东10D.南偏西南偏西10解析：解析：由已知由已知ACB180406080，又又ACBC，AABC50，605010.灯塔灯塔A位于灯塔位于灯塔B的北偏西的北偏西10.答案：答案：B3.如图所示

4、，为了测量某障碍物两侧如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下间的距离，给定下列四组数据，不能确定列四组数据，不能确定A、B间距离的是间距离的是()A.，a，bB.，aC.a，b，D.，b解析：解析：选项选项B中由正弦定理可求中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定，再由余弦定理可确定AB.选项选项C中可由余弦定理确定中可由余弦定理确定AB.选项选项D同同B类似类似.答案：答案：A4.在在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是分别是30、60，则塔高为，则塔高为m.解析：解析：如图所示，设塔高为如图所示，设塔高为hm.由题由

5、题意及图意及图可知可知（200-h）解得解得答案：答案：5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对望对岸的标记物岸的标记物C，测得，测得CAB30，CBA75，AB120m，则这条河的宽度为，则这条河的宽度为m.解析：解析：如图，在如图，在ABC中，过中，过C作作CDAB于于D点，则点，则CD为为所求宽度，在所求宽度，在ABC中，中，CAB30，CBA75，ACB75，ACAB120m.在在RtACD中，中，CDACsinCAD120sin3060(m)，因此这条河宽为因此这条河宽为60m.答案：答案：60有关距离测量问题，主要是利用可以测量

6、的数据，通有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为以分割为n个三角形来解决个三角形来解决.某炮兵阵地位于地面某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地处，两观察所分别位于地面点面点C和和D处，已知处，已知CD6km，ACD45，ADC75，目标出现于地面点，目标出现于地面点B处时，测得处时，测得BCD30，BDC15，如图，求炮兵阵地到目标的距离，如图，求炮兵阵地到目标的距离.【解解】在在ACD中，中，CAD180ACDADC60，CD6，ACD45，根据正弦定理有根据正弦定理有同

7、理，在同理，在BCD中，中，CBD180BCDBDC135，CD6，BCD30，根据正弦定理得根据正弦定理得又在又在ABD中，中，ADBADCBDC90，根据勾股定理有根据勾股定理有AB=所以炮兵阵地到目标的距离为所以炮兵阵地到目标的距离为1.某观测站某观测站C在目标在目标A的南偏西的南偏西25方向，从方向，从A出发有一条南出发有一条南偏东偏东35走向的公路，在走向的公路，在C处测得与处测得与C相距相距31千米的公路上千米的公路上 B处有一人正沿此公路向处有一人正沿此公路向A走去，走走去，走20千米到达千米到达D，此时，此时测得测得CD为为21千米，求此人在千米，求此人在D处距处距A还有多少千

8、米？还有多少千米？解：解：如图所示，易知如图所示，易知CAD253560，在，在BCD中，中，由由BC2AC2AB22ACABcosA，cosB=得得AB224AB3850，解得解得AB35，所以所以ADABBD15.故此人在故此人在D处距处距A有有15千米千米.测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决通过解三角形加以解决.某

9、人在塔的正东沿着南偏西某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进的方向前进40米米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高，求塔高.依题意画图，某人在依题意画图，某人在C处，处，AB为塔高，他沿为塔高，他沿CD前进，前进，CD40米，此时米，此时DBF45，从，从C到到D沿途测塔的仰角，只有沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为为tanAEBAB为定值，为定值，BE最小时，仰角最最小时，仰角最大大.要求出塔高要求出塔高AB，必须先求，必须先求BE，而要求，而要求BE

10、，需，需先求先求BD(或或BC).【解解】在在BCD中，中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，由正弦定理得过过B作作BECD于于E，显然当，显然当人在人在E处时，测得塔的仰角最大，处时，测得塔的仰角最大，有有BEA30.在在RtBED中，中，BDE1801353015，在在RtABE中，中，AEB30，故所求的塔高为故所求的塔高为米米.2.如图，测量河对岸的塔高如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同一水在同一水平面内的两个测点平面内的两个测点C与与D，现测得，现测得BCD，BDC，CDs，并在点，并在点C测得塔顶测得塔顶A的仰角为的仰角为，求塔高求塔高

11、AB.解：解：在在BCD中，中，CBD.由正弦定理得由正弦定理得所以所以BC在在RtABC中，中，AB=BCtan测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了角的正弦，就需要讨论解的情况了.在海岸在海岸A处，发现北偏东处，发现北偏东45方向，距方向，距A处处(-1)nmile的的B处有一艘走私船，在处有一艘走私船，在A处北偏西处北偏西

12、75的方向，距离的方向，距离A处处2nmile的的C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以10的速度追截走私船的速度追截走私船.此时，此时，走私船正以走私船正以10nmile/h的速度从的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜，方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？本例考查正弦、余弦本例考查正弦、余弦定理的建模应用定理的建模应用.如图如图所示，注意到最快追所示，注意到最快追上走私船且两船所用上走私船且两船所用时间相等，若在时间相等，若在D处相处相遇，则可先在遇，则可先在ABC中求出中求出BC，再在，再在BCD中中求求BCD.【解解】设缉私船用设缉私船

13、用th在在D处追上走私船，处追上走私船，则有则有CD10，BD10t，在在ABC中，中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos1206，ABC45，BC与正北方向垂直与正北方向垂直.CBD9030120，在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCD30.即缉私船沿东偏北即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船方向能最快追上走私船.sin BCD=3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线dnmile以以内的区域，如图所示，设内的区域，如图所示，设A和和B是我国的

14、观测站，是我国的观测站，A与与B之间的距离为之间的距离为snmile，海岸线是过，海岸线是过A、B的直线，一外的直线，一外国船只在国船只在P点，在点，在A站测得站测得 BAP，同时在，同时在B站测得站测得 ABP，问，问及及满足什么三角函数不等式时，就满足什么三角函数不等式时，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我国海域？国海域？解：解：过过P作作PCAB交交BA延长线于延长线于C，在在ABP中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得当当PCd，即即时，就应向未经特许的外国船时，就应向未经特许的外国船只发出警告只发出警告.在在Rt APC中

15、，中，PC=sin在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题在高考试题中，解三角形常作为工具解决实际问题.2009年宁夏、海南卷年宁夏、海南卷(理理)就考查了这一点就考查了这一点.该题最大的创新该题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点.同同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力，代表了一种新的考查方向考生的能力，代表了一种新的考查方向.(2009海南、宁

16、夏高考海南、宁夏高考)为了测量两山顶为了测量两山顶M、N间的距离，飞间的距离，飞机沿水平方向在机沿水平方向在A、B两点进行测量两点进行测量.A、B、M、N在同一个在同一个铅垂平面内铅垂平面内(如示意图如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离间的距离.设计一个方案，包括：设计一个方案，包括：指出需要测量的数据指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤间的距离的步骤.解解方案一：方案一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M、N点的俯点的俯角角1、1；B点到点到

17、M、N的俯角的俯角2、2；A、B间的距离间的距离d(如如图所示图所示).第一步：计算第一步：计算AM.由正弦定理得由正弦定理得第二步：计算第二步：计算AN.由正弦定理得由正弦定理得第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理得由余弦定理得MN=AN=AM=方案二：方案二：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M、N点的俯角点的俯角1、1；B点到点到M、N点的俯角点的俯角2、2；A、B的距离的距离d(如图所示如图所示).第一步：计算第一步：计算BM.由正弦定理得由正弦定理得第二步：计算第二步：计算BN.由正弦定理得由正弦定理得BN=第三步，计算第三步，计算MN.由余弦定理得由余弦定理得MN=本题要求考生设计方案解决问题，方案的每一步都应该是本题要求考生设计方案解决问题，方案的每一步都应该是充分的、完整的，充分的、完整的，2009年考生普遍犯的错误是方案一中步年考生普遍犯的错误是方案一中步骤不够完整，第一步、第二步没能由正弦定理把骤不够完整，第一步、第二步没能由正弦定理把AM、AN应用所测数据表示出来，造成因解题步骤不规范而失分应用所测数据表示出来，造成因解题步骤不规范而失分.