正弦函数、余弦函数的函数的周期性.ppt

《正弦函数、余弦函数的函数的周期性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦函数、余弦函数的函数的周期性.ppt（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 问题提出问题提出问问题题.根根据据正正弦弦函函数数和和余余弦弦函函数数的的图图象象,你你能能说说出出它们具有哪些性质？它们具有哪些性质？y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxxyO1-1y=cosxy=cosx根据正弦函数和余弦函数的定义域为根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是值域是-1,1一、一、周期函数的概念周期函数的概念 思考思考1:1:观察上图观察上图,正弦曲线每相隔正弦曲线每相隔 个单位重复出现个单位重复出现.y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx2诱导

2、公式诱导公式sin(2k+x）=sinx其理论依据是什么？其理论依据是什么？诱导公式诱导公式sin(x+2sin(x+2)=sinx,)=sinx,的几何意义的几何意义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律正弦函数值是按照一定规律不断重复地不断重复地出现的出现的当自变量当自变量x x的值增加的值增加22的整数倍时的整数倍时,函数值重复出函数值重复出现现.数学上数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始周而复始”的变化规律的变化规律思考2:设设f(x)=sinxf(x)=sinx,则则sin(x+2)=sinx用用符符号号语语言可以怎样表示？言可以

3、怎样表示？f(x+2k)=f(x)这就是说：当自变量这就是说：当自变量x x的值增加到的值增加到x+2kx+2k时，函时，函数值重复出现数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinxf(x)=sinx称为称为周期函数，2k为这个函数的周期 (其中其中kzkz且且k0)k0).思考3:把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢？周周期期函函数数的的定定义义:对对于于函函数数f(x)f(x)，如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T T，使使得得当当x x取取定定义义域域内内的的每每一一个个值值时时，都都有有f(x

4、+T)=f(x)f(x+T)=f(x)那那么么函函数数f(x)f(x)就就叫叫做做周周期期函函数数，非非零零常常数数T T就就叫叫做做这这个个函函数数的周期的周期.思思考考4 4：周周期期函函数数的的周周期期是是否否唯唯一一？正正弦弦函函数数y=sinxy=sinx的周期有哪些？的周期有哪些？答答:周期函数的周期不止一个周期函数的周期不止一个.2,4,6,2,4,6,都都是是正正弦弦函函数数的的周周期期,事事实实上上,任任何何一一个个常常数数2k(kz2k(kz且且k0)k0)都都是是它的周期它的周期.周周期期函函数数的的定定义义:对对于于函函数数f(x)f(x),如如果果存存在在一一个个非非

5、零零常常数数T T,使使得得当当x x取取定定义义域域内内的的每每一一个个值值时时,都都有有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)那那么么函函数数f(x)f(x)就就叫叫做做周周期期函函数数,非零常数非零常数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期.已知已知f(x+T)=f(x)(T0)，求证求证:f(x+2T)=f(x)证明：因为证明：因为T是是f(x)的周期，的周期，所以所以f(x+T)=f(x)，F(x+T)+T=f(x+T)，即即f(x+2T)=f(x)因此因此2T是是f（x）的周期）的周期 这个命题推广可得到什么结论？这个命题推广可得到什么结论？2T，3T，nT（n Z）

6、也都是）也都是f（x）的周期）的周期 如果一个函数是周期函数如果一个函数是周期函数,所有的周期就所有的周期就构成一个无穷集合构成一个无穷集合 最小正周期最小正周期:今后本书中所涉及到的周期今后本书中所涉及到的周期,如果不加特如果不加特别说明别说明,一般都是指函数的最小正周期一般都是指函数的最小正周期.思考思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？周期函数是否一定存在最小正周期？例如：例如：f(x)=c(c为常数）为常数）否否 如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中存的所有周期中存在一个最小的正数在一个最小的正数,则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(x)的的最小正周期最小正周期.周周

7、期期函函数数的的定定义义:对对于于函函数数f(x),f(x),如如果果存存在在一一个个非非零零常常数数T,T,使得当使得当x x取定义域内的每一个值时取定义域内的每一个值时,都有都有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)那那么么函函数数f(x)f(x)就就叫叫做做周周期期函函数数非非零零常常数数T T就就叫叫做做这这个个函函数的周期数的周期.最最小小正正周周期期:如如果果在在周周期期函函数数f(x)f(x)的的所所有有周周期期中中存存在在一一个个最小的正数最小的正数,则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期.答：正弦函数答：正弦函数y=sinxy=si

8、nx有最小正周期，有最小正周期，且且最小正周期最小正周期T=2T=2思考思考6 6：我们知道：我们知道 22，44，66，都是都是y=sinxy=sinx的周期的周期,那么函数那么函数y=sinxy=sinx有最小正周期吗？若有最小正周期吗？若有有,那么最小正周期那么最小正周期T T等于多少？等于多少？证明：假设存在证明：假设存在T(0,2)使得使得y=sinx对于任对于任意的意的x R都成立都成立 那么根据周期函数的定义，当那么根据周期函数的定义，当x为任意值为任意值时都有时都有 sin（x+T）=sinx 这与这与T(0,2)时时,cosT1矛盾矛盾.这个矛盾证明了这个矛盾证明了y=sin

9、x,x R的最小正周期是的最小正周期是2.令令x=/2,代入上式得，代入上式得，sin（/2+T）=sin/2=1.但但sin（/2+T）=cosT，于是又于是又cosT=1。证明：正弦函数证明：正弦函数y=sinx有最小正周期，有最小正周期，且最小正周期且最小正周期T=2f(xT)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件是反映周期函数本质属性的条件.对于任意常数对于任意常数T(T0),如果在函数定义域中至少能找到一如果在函数定义域中至少能找到一个个x,使使f(xT)f(x)不成立不成立,则则y=f(x)不是周期函数不是周期函数.对于某个确定的常救对于某个确定的常救T0.如果在函数定义域中至少能

10、找如果在函数定义域中至少能找到一个到一个x,使使f(xT)f(x)不成立不成立.我们能断言我们能断言T不是函数不是函数y=f(x)的周期的周期,但不能说明但不能说明yf(x)不是周期函数不是周期函数 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1 1）时，时，则则 一定不是一定不是 的周期的周期 （）（2 2）时，时，则则 一定是一定是 的周期的周期 （）XX+2yx024-2y=sinx(x R)自变量自变量x增加增加2时函数值时函数值不断重复地不断重复地出现的出现的oyx48xoy612三角函数的周期性三角函数的周期性:4.T是是f(x)的周期，那么的周期，那么kT也一定是也一定是f(x)的

11、周期的周期.(k为非零整数为非零整数)正正弦弦函函数数y=sinxy=sinx是是周周期期函函数数,2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)都都是它的周期是它的周期,最小正周期最小正周期 T=2 T=2余余弦弦函函数数y=cosxy=cosx是是周周期期函函数数,2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)都都是是它的它的周期周期,最小正周期最小正周期 T=2T=2思思考考7 7：就就周周期期性性而而言言，对对正正弦弦函函数数有有什什么么结结论论？对余弦函数呢？对余弦函数呢？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1y=cosxy=cosx二：二：周期概念的拓展周

12、期概念的拓展 思考思考1 1：判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确思考思考2 2：周期函数的定义域有什么特点？：周期函数的定义域有什么特点？函数函数f(x)=sinx,x0f(x)=sinx,x0，1010是周期函数是周期函数()()x在定义域内，在定义域内，x+T也在定义域内也在定义域内周期函数的定义域是个无限集周期函数的定义域是个无限集 例例1 1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：y=3cosx,xR;y=3cosx,xR;y=sin2x,xR;y=sin2x,xR;y=2sin(-),xR;y=2sin(-),xR;3cos(x+2)=3cos(x+2)=由周期函数的定义可知由

13、周期函数的定义可知,原函数原函数 的周期为的周期为22解：解：y=cosxy=cosx的周期为的周期为23cosxy=sin2x,xR;y=sin2x,xR;sin2(x+)=sin2(x+)=由周期函数的定义可知，原由周期函数的定义可知，原函数的周期为函数的周期为sin2xsin2xsin(2x+2)sin(2x+2)=解：解：y=2sin(-),xR;y=2sin(-),xR;由周期函数的定义可知，原函数的周期为由周期函数的定义可知，原函数的周期为44解：解：由上例知函数由上例知函数y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T=2 T=2；函数函数y=sin2xy=sin2x的周期的周期

14、T=T=；函数函数y=2sin(-)y=2sin(-)的周期的周期 T=4 T=4想一想：以上这些函数的想一想：以上这些函数的周期周期与与解析式解析式中哪些中哪些量量有关吗？有关吗？思考思考5:5:一般地一般地,函数函数 的最小正周期是多少的最小正周期是多少?思考思考3:3:函数函数y=3sin(2xy=3sin(2x4)4)的最小正周期是多少的最小正周期是多少?思思考考6:6:如如果果函函数数y=f(x)y=f(x)的的周周期期是是T,T,那那么么函函数数y=f(xy=f(x)的的周期是多少？周期是多少？例例2 2已已知知定定义义在在R R上上的的函函数数f(x)f(x)满满足足f f(x(

15、x2)2)f(x)=0f(x)=0，试试判判断断f(x)f(x)是是否否为为周期函数？周期函数？分析由已知有：分析由已知有：f(xf(x2)=-f(x)2)=-f(x)f(x+4)=f(x+4)=即即 f(x f(x4)=f(x)4)=f(x)由周期函数的定义知，由周期函数的定义知，f(x)是周期函数是周期函数.f(x)f(x)=-f(x)=-f(x)=-f(x-f(x2)2)f(xf(x2)+2=2)+2=例例3 3 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(xf(x1)=f(x1)=f(x1),1),且且当当x0,2x0,2时时,f(x)=x,f(x)=x4,4

16、,求求f(10)f(10)的值的值.解：因为解：因为f(x+1)=f(x-1)，所以所以f(10)=f(9+1)=f(9-1)=f(8);f(8)=f(7+1)=f(7-1)=f(6);f(6)=f(5+1)=f(5-1)=f(4);f(4)=f(3+1)=f(3-1)=f(2);f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0);因此因此f(10)=f(0);而而f(0)=0-4=-4。所以所以f(10)=-4练习练习1.求下列函数的周期：求下列函数的周期：练习练习2(1)函数函数ysinx的周期是的周期是T=(2)函数函数ycos2x的周期是的周期是T=_.3.3.下面函数是周期函数吗？如果是

17、周期下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？函数，你能找出最小正周期吗？4.y=sinx(x0,4)4.y=sinx(x0,4)是周期函数吗？是周期函数吗？5.是不是周期函数？为什么？是不是周期函数？为什么？一般地，函数一般地，函数 y=Asin(x+)及及y=Acos(x+)（其中（其中A,为常数，为常数，且且 A0,0 ）的周期是）的周期是:周期求法：周期求法：1.1.定义法：定义法：2.2.公式法：公式法：3.3.图象法图象法:g(x)=|sinx|x R.如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所有周期中的所有周期中存在存在一个最小的正数一个最小的正数,则这个最小正数

18、叫做则这个最小正数叫做f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期归归 纳纳 整整 理理 1.1.说说周期函数的定义说说周期函数的定义.3.3.什么叫周期函数的最小正周期？什么叫周期函数的最小正周期？2.2.求函数周期的方法：求函数周期的方法：4.4.周周期期函函数数的的周周期期与与函函数数的的定定义义域域有有关关，周周期期函函数数不不一一定存在最小正周期定存在最小正周期.5.5.周周期期函函数数的的周周期期有有许许多多个个，若若T T为为周周期期函函数数f(x)f(x)的的周周期，那么期，那么T T的整数倍也是的整数倍也是f(x)f(x)的周期的周期.6.6.函数函数y=Asin(x+)y=As

19、in(x+)和和y=Acos(x+)(Ay=Acos(x+)(A0)0)的最小的最小 正周期正周期 T=T=这个公式，解题时可以直接应用这个公式，解题时可以直接应用（1）定义法）定义法（2）公式法）公式法（3）图象法）图象法作业：作业：P36P36练习练习 P46 P46：A A组组 3 B 3 B组组 3 3 证明：函数证明：函数f(x)的周期是的周期是T，则则 f(x+T)=f(x)对定义域内的任何对定义域内的任何x都成立都成立 设设 g(x)=f(x)则则 g(x+T/)=f(x+T/)=f(x+T)=f(x)=g(x)这说明了函数这说明了函数g(x)以以 T/为周期为周期 即即 函数函数 f(x)以以 T/为周期。为周期。设函数设函数y=f(x)是以是以T为周期的周期函数，为周期的周期函数，试证函数试证函数y=f(x)(0)是以是以T/为周期为周期的周期函数的周期函数