3.1 不定积分2.ppt

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1、返回第第3 3章章 一元函数积分学一元函数积分学3.1 3.1 不定积分不定积分3.2 3.2 定积分定积分3.4 3.4 定积分的应用定积分的应用3.3 3.3 广义积分广义积分返回3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 基本积分公式基本积分公式基本积分公式基本积分公式3.1.3 3.1.3 3.1.3 3.1.3 不定积分的性质不定积分的性质不定积分的性质不定积分的性质3.1.4 3.1.4 3.1.4 3.1.4 换元积分法换元积分法换元积分法换

2、元积分法1.1.1.1.第一类换元法第一类换元法第一类换元法第一类换元法2.2.2.2.第二类换元法第二类换元法第二类换元法第二类换元法3.1.5 3.1.5 3.1.5 3.1.5 分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法3.1.6 3.1.6 3.1.6 3.1.6 有理函数不定积分有理函数不定积分有理函数不定积分有理函数不定积分(自学自学自学自学)3.1 3.1 不定积分不定积分3.1.7 3.1.7 3.1.7 3.1.7 积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用(自学自学自学自学)返回原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义定义定义3-13-13-13-1定义定义

3、定义定义3-23-23-23-2返回结结结结 论论论论微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.性质性质性质性质3 3 3 3性质性质性质性质4 4 4 4性质性质性质性质1 1 1 1性质性质性质性质2 2 2 2返回基基本本积积分分公公式式是常数是常数);返回使用基本积分表和运算性质求积分的方法称为使用基本积分表和运算性质求积分的方法称为直接积分法。直接积分法。直接积分法。直接积分法。返回注意：注意：注意：注意：使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将定理定理3-23-2凑微分凑微分第一换元法第一换元法(凑微分法凑微分法)返回解解解解例例例例1 1

4、1 1 求求求求返回解解解解例例例例2 2 2 2 求求求求返回返回例例例例3 3 3 3 求求求求解解解解例例例例4 4 4 4解解解解说明说明说明说明当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数偶次幂偶次幂时，时，降幂降幂降幂降幂。当被积函数是三角函数当被积函数是三角函数奇奇次幂次幂时，时，凑微分凑微分凑微分凑微分.返回例例例例5 5 求求求求解解解解说明说明说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，用用奇奇次次项项去凑微分，去凑微分，放在微分号后面放在微分号后面.返回例例例例6 6 6 6 求求求求解解解解利用三角学中的积化和差公式，得利用三角学中的积化和差公式，得返

5、回例例例例7 7 7 7 求求求求解解解解（一）（一）（一）（一）解解解解（二）（二）（二）（二）解解解解（三）（三）（三）（三）#返回第二类换元法第二类换元法第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分下面介绍的第二类换元法是通过变量替换下面介绍的第二类换元法是通过变量替换 将积分将积分第二类积分换元法第二类积分换元法返回根式代换根式代换根式代换根式代换例例例例1 1 1 1 求求求求解解解解考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故令令返回时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）例例例例2

6、2 2 2 求求解解解解令令当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式返回例例3 3求下列不定积分求下列不定积分返回解：解：令令则则返回令令则则解：返回令令则则解：解：返回例例例例4 4 4 4 求求求求根式代换根式代换并没有消去根号并没有消去根号.为消去根号可考虑利用为消去根号可考虑利用三角函数关系式三角函数关系式三角函数关系式三角函数关系式来来换元换元换元换元.返回例例例例4 4 4 4 求求求求解解解解 三角代换三角代换返回例例例例5 5 5 5 求求解解解解 令令返回例例例例6 6 6 6 求求解解解解令令注注注注:三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉

7、根式.倒数代换倒数代换返回考虑积分考虑积分:解决思路解决思路解决思路解决思路:利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.3.1.5 3.1.5 分部积分法分部积分法返回分部积分公式分部积分公式分部积分公式分部积分公式对此对此不等式两边求不定积分不等式两边求不定积分即即返回注注1 1使用分部积分法使用分部积分法，u(x),v(x)的选取要使得的选取要使得比比容易计算容易计算注注2 2被积函数被积函数 f(x)可分解为某函数可分解为某函数u(x)与与v(x)的导函数的乘积的导函数的乘积,即即返回例例1 1 求积分求积分解解令令如果令如果令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分

8、更难进行.返回 一般地，若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数的乘弦函数的乘积积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为u,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正假定幂指数是正整数整数)返回例例2 2 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和指数函数的乘积若被积函数是幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为u,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂假定幂指数是正整数指数是正整数)返回例例3 3 求积分求积分解解返回例例例例4 4 4 4 求积分求积分解解解解 若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为虑设对数函数为 u

9、.返回例例例例5 5 5 5 求积分求积分解解解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为考虑设反三角函数为u.返回例例例例6 6 6 6 求积分求积分解解解解复原法在求不定积分时有着广泛的应用。复原法在求不定积分时有着广泛的应用。复原复原复原复原返回例例例例7 7 7 7 求积分求积分解解解解#复原复原复原复原返回简明积分表简明积分表简明积分表简明积分表#返回小小 结结第一类第一类第一类第一类换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法-凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法第二类换元法第二类换元法第二类换元法第二类换元法-主要考虑去根号

10、主要考虑去根号主要考虑去根号主要考虑去根号根式、三角代换根式、三角代换三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律可令可令可令可令可令可令时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式返回合理选择合理选择 ，正确使用分部积分式，正确使用分部积分式小小 结结分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法#返回 若被积函数是若被积函数是幂函数和指数函数幂函数和指数函数幂函数和指数函数幂函数和指数函数的乘积的乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为u,使其使其降幂一次降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指

11、数是正整数)若被积函数是若被积函数是幂函数和对数函数幂函数和对数函数幂函数和对数函数幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函的乘积，就考虑设对数函数为数为 u.若被积函数是若被积函数是幂函数和反三角函数幂函数和反三角函数幂函数和反三角函数幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三的乘积，就考虑设反三角函数为角函数为u.若被积函数是若被积函数是幂函数和正幂函数和正幂函数和正幂函数和正(余余余余)弦函数弦函数弦函数弦函数的乘积的乘积,就考虑设幂就考虑设幂函数为函数为u,使其使其降幂一次降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)合理选择合理选择 ，正确使用分部积分式，正确使用分部积分式返回P112 习题习题3：2(26)(30)，3 单号题单号题作作 业业 返回课本课本 P112 2（23）学习指导书中习题解答学习指导书中习题解答学习指导书中习题解答学习指导书中习题解答返回课本课本P112 2（27）返回课本课本P113 3（11）