3.1.3 导数的几何意义.ppt
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1、平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:割线的斜率OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y回回 顾顾我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:即我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 或 回回 顾顾由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.回回 顾顾Pl l问问题题1 1 平面
2、几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢?问题问题2 2:能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线:直线与曲线有唯一公共点时,直线叫曲线过该点的切线?如果能,请说明理由;如果不能,请举出反例。不不 能能xyol2l1AB0 xy那么对于一般的曲线,切线该如何寻找呢?PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义导数的几何意义:我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线P Pn趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.问题问题:割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?割线PPn的斜率:设相对于 的增加量为 ,则 当点Pn无限趋近于点P即x0
3、时,kn无限趋近于切线PT的斜率k.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种 方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率.即即:PQoxyy=f(x)割割线线T切线切线要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法,将割线趋于的确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线。所以,这种定义才
4、真正反映了切线的直观本质。根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以用在点P处的切线近似代替。大多数函数曲线就一小范围来看,大致可看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,即“以直代曲”(以简单的对象刻画复杂的对象)例例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)利用点斜式求切线方程.(若点不知,则先求出点的坐标)练习练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方
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- 3.1.3 导数的几何意义 3.1 导数 几何 意义
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