3.2.4二面角及其度量.ppt

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2、准数学2-1(选修选修)第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何1.1.在平面几何中在平面几何中 角角 是怎样定义的？是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的从一点出发的两条射线所组成的图形图形叫做角。叫做角。或：一条射线绕其端点旋转而成的或：一条射线绕其端点旋转而成的图形图形叫做角。叫做角。一、复习引入一、复习引入2.2.在立体几何中在立体几何中,异面直线所成的角异面直线所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？3.3.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角 是怎样定义的？是怎样定义的？一、复习引入一、复习引入二、提出问题二、提出问题异面直线所成的角、直线和平

3、面所成的角与有什么共同的异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即即平面角平面角。拦拦洪洪坝坝水平面水平面现实生活中，我们还要研究两个面之间所称的角的问题现实生活中，我们还要研究两个面之间所称的角的问题一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做每一部分都叫做半平面半平面。一条一条直线直线上的一个上的一个点点把这条把这条直线直线分成两个部分，其中的每一分成两个部分，其中的每一部分都叫做部分都叫做射线射线。

4、三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.半平面半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角。三、概念形成三、概念形成概念概念2.2.二面角的概念二面角的概念这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。二面角由半平面二面角由半平面-线线-半平面构成。半平面构成。lABPQ二面角的表示二面角的表示三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.二面角的画法二面角的画法横卧式横卧式直立式直立式二面角二面角 l 二面角二面角CAB DC CA AB BD D三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.

5、二面角的度量二面角的度量以二面角的以二面角的棱棱上任意一点为端点，上任意一点为端点，在在两个面内两个面内分别作分别作垂直垂直于棱的两于棱的两条射线，这两条射线所成的条射线，这两条射线所成的角角叫叫做做二面角的平面角二面角的平面角。l二面角的平面角的三个特征二面角的平面角的三个特征:1.1.点在棱上点在棱上2.2.线在面内线在面内3.3.与棱垂直与棱垂直二面角的大小的范围二面角的大小的范围:平面角是直角的二面角叫做直二面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角。l 1.1.定义法定义法3.3.垂面法垂面法2.2.三垂线定理法三垂线定理法三、概念形成三、概念形成概念概念5.5.二面角的平面角的作法二面

6、角的平面角的作法三、概念形成三、概念形成概念概念6.6.求二面角大小的向量解法求二面角大小的向量解法分别在两个二面角分别在两个二面角 的面的面 内作向量内作向量 ，可以用向量的夹角，可以用向量的夹角 来度量这个二面角。来度量这个二面角。设平面设平面，的的法向量法向量分别是分别是 ，则，则 与二与二面角大小面角大小相等或互补相等或互补。例例1.1.如图，在一个二面角的棱上有两个点如图，在一个二面角的棱上有两个点A A，B B，线段，线段ACAC，BDBD分别在这个二面角的两个面内并且都垂直于棱分别在这个二面角的两个面内并且都垂直于棱ABAB，AB=4cmAB=4cm，AC=6cmAC=6cm，B

7、D=8cmBD=8cm，CD=cmCD=cm，求二面角的度数。，求二面角的度数。B BD DC CA A四、应用举例四、应用举例四、应用举例四、应用举例例例2.2.已知已知ABCDABCD为直角梯形，为直角梯形，DAB=DAB=ABC=90ABC=90，SASA平面平面ABCDABCD，SA=AB=BC=1SA=AB=BC=1，AD=AD=，求平面，求平面SABSAB与平面与平面SCDSCD夹角的夹角的正切。正切。S SA AC CD DB Bx xy yz z同学们也可以求其它的面面角，如二面角同学们也可以求其它的面面角，如二面角A-SD-CA-SD-C或二面角或二面角D-SC-BD-SC-

8、B等。等。例例3.3.已知：二面角已知：二面角 的度数为的度数为()()，在面，在面 内有内有ABCABC，它在面，它在面 内的射影为内的射影为 ，它们的面积分，它们的面积分别为别为 ，求证：，求证：四、应用举例四、应用举例A AB BC CD D证明：详见课本第证明：详见课本第110110页例页例2 2。请同学们看注解中语言。请同学们看注解中语言总结求二面角大小的基本思路总结求二面角大小的基本思路(1)(1)定义法定义法：利用三垂线定理或逆：利用三垂线定理或逆定理在途中找到二面角的平面角定理在途中找到二面角的平面角并求之。并求之。(2)(2)法向量法法向量法：与二面角大小相等：与二面角大小相等或互补，注意二面角的平面角是或互补，注意二面角的平面角是锐角还是钝角。锐角还是钝角。(3)(3)面积比法面积比法：本例说明。：本例说明。五、课堂练习五、课堂练习思思考考?课本第课本第111111页，练习页，练习A A，1 1，2 2，3 3，4 4六、课堂总结六、课堂总结2.2.会用会用“几何解法几何解法”和和“向量解法向量解法”解决求平面解决求平面与平面所成角的相关问题；与平面所成角的相关问题；1.1.平面与平面所称的角的概念；平面与平面所称的角的概念；七、布置作业七、布置作业课本第课本第111111页，练习页，练习B B，1 1，2 2