3.3频率与概率.ppt

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1、基础实验 概率实验计划n做什么?利用计算机模拟随机事件发生的概率,认识概率的古典和统计定义,寻找超几何分布,二项分布,Possion分布之间的关系。n怎么做?编程实现结果,并且在有关程序中改变参数值.n得到什么?认识超几何分布,二项分布,Possion分布之间的关系实验1 在甲已经两胜一负的基础上，在计算机上模拟两位棋手以后的比赛，计算他们应得的奖金(该比赛的总奖金为1000元)由于两位棋手的棋艺相当，可以假定他们在以下每一局的比赛中胜负的机会各半Mathematica中有产生0或1随机数的函数“RandomInteger”用这个函数可以产生随机数0或1，0与1出现的机会各占一半可以用随机数1

2、表示甲棋手胜，而随机数0表示乙胜也可以用0，1中的随机实数束模拟两人的胜负，随机数0.5表示甲胜，否则乙胜连续模拟1000次(或更多的次数)，每次模拟到甲乙两方有一方胜了三局为止，按所说方案分配奖金1000次模拟结束后，计算两棋手每次的平均奖金，就是该棋手应得的奖金 注意这里的编程思想应用到了概率的统计定义n=100000的情况通过改变 n的值我们发现随着n的增大甲和乙得到奖金实验值与理论值非常接近。Mathematica程序:Mathematica编程思想:n=1000000的情况甲赢的概率 甲得到的奖金 乙赢的概率 乙得到的奖金 甲、乙模拟值与实验值的误差理论值：因为比赛只需再进行两局，就

3、可以分出胜负，结果无非是以下四种情况之一：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙在这四种情况中，最后甲胜的情况有三种，乙胜的情况只有一种，而每种情况发生的可能性是一样的，所以甲最终得到1000元奖金的可能性是，而乙最终得到l 000元奖金的可能性是所以合理的分法是，甲得750元，乙得250元应用在计算机上列举出同时抛掷三颗骰子的所有可能结果，比较在一次试验中掷出的点数和为9与和为10这两个事件何者更容易发生n=1000n=10000n=100000Mathematica程序：结果分析:不管n怎么变化，都是发生和为10的事件的概率比发生和为9的事件的概率大。随着n的增大,所求概率总是在0.52附近摆动实验2 试

4、计算下列两个事件的概率:掷4次骰子，至少有一次出现一点。Mathematica程序(1):抛掷一对骰子24次，至少有一次出现两个一点理论值理论值:掷骰子4次,每次有6种可能,因此共有64种可能,又由于不出现1点的随机事件为54,从而至少有一次出现的随机事件数为64-54.由此得投掷4次骰子至少有一次出现一点的概率为(64-54)/64,即为0.51774691 理论值理论值:掷一对骰子共有6*6=36种可能,其中不出现两个一点的随机事件数为35,因此24次种不出现两个一点的概率为(35/36)4,从而掷一对骰子24次至少有一次出现两个一点的概率为1-(35/36)4,即为0.491404Mat

5、hematica程序(2):结果分析:从上面两组实验中我发现用计算机模拟的频率都在某一固定的值附近摆动,这也显示了频率的稳定性.(命题1)随着n的增大,所求概率总是在0.49附近摆动应用1.设p是区间0，1内任一实数在区间0，1取随机数，则p的概率应等于p取n=1000,5000,10000个这样的随机数，计算p的次数m，看m/n是否接近于p。Mathematica程序:结果分析:随着n的增大p的值越来越趋向与一个固定的值(0.2),从而它服从大数定律(命题2:当n 趋于无穷时频率p(A)趋于同一个数)2.用计算机进行下面的模拟：在线段0，1中随机地取一点(即产生区间0，1内的一个随机数)，共

6、取次(分别取100，500，1 000)将线段0，1分成个互不相交但长度相等的线段，而后计算各小线段中含有中取出的点的个数计算小线段中合有点数恰好为(取为0，1，2，3，4，5)的频率分析最后的结果n=500n=100n=1000结果分析:Mathematica程序:对于固定的n小线段中含有点数为0,1,2,3,4,5,的概率越来越小,且含有点数为0,1的概率相对与点数2,3,4,5的概率要大的多.实验3考虑如下问题：将一枚硬币抛掷5次，恰好等到2次国徽朝上的概率是多少?抛掷一颗骰子9次，恰好等到4个2点的概率是多少？一个盒子中装有2个红球和3个白球，有放回的随机抽取6次，恰好有2次取到红球的

7、的概率是多少?理论分析:Mathematica程序:结果分析:上面的三个实验都符合超几何分布,并且有:第一个实验中的N=2*5=10,M=5*1=5,M/N=0.5;第二个实验中的N=9*6=54,M=9*1=9,M/N=1/6;第三个实验中的N=6*5=30,M=6*2=12,M/N=12/30;我发现三个实验中的M/N值与p值非常接近,所以(命题命题3 3)超几何分布的极限分布是二项分布.实验4考虑二项分布B(n,p)与Possion分布P(np)的关系?理论证明:Mathematical程序：从散点图中我发现这些点(二项分布与Possion分布的差)都接近与0点.命题4:实验5设T是在区

8、间0，1内均匀分布的随机变量让T连取个值，则这n个值的平均值应当接近于0.5，它们的和S=t1+t2+.tn应当接近于0.5n但真要去做实验，就会发S现并不真正等于0.5，而是有一个偏差d=S-0.5n下面我们就来考虑这个问题:操作过程结果分析:随着n的增大,f(x)越来越来趋向于服从中心极限定理.Mathematica程序：从区间0，1取出个随机数 ，并计算这称为一次实验，得到X的称为这次实验的结果我们来看随机变量的分布做次实验，将所得的结果称为 可以预计到在0附近摆动，离0越近 的越多，离0越远 的越少取一个短的区间长d对每个正实数x，计算出落在区间 内的 个数？，以 作为随机变量X在点x的概率密度f(x)(当然应当取x离0不太远，否则可能等于0 取N和n足够大，计算出足够多的f(x)，在坐标系中画出所得的数据点(x,f(x)，连成光滑曲线观察它好象是什么函数的曲线?令 将函数的图像与的图像画在同一坐标系中，观察两个曲线是否吻合返回