3.3等比数列及其前n项和.ppt

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1、1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列 ,那么这个数列叫做等比数 列,这个数列叫做等比数列的 ,通常用字母 表示.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an=.3.3 3.3 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和要点梳理要点梳理从第2项起，每一项与它的前一的比等于同一个常数（不为零）公比qa1qn-13.等比中项若 ,那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am ,（n，mN*）.（2）若an为等比数列,且k+l=m+n，（k，l，m,nN*），则 .（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an，（0）仍是等比数

2、列.G2=abqn-makal=aman5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q，（q0），其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1；当q1时，6.等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为 .qn1.（2008海南海南、宁夏理宁夏理，）设等比数列an的公比q=2,前n 项和为Sn,则 等于（）A.2B.4 C.D.解析解析 a3=a2q,a4=a2q2基础自测基础自测C2.等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21，则公比q的值为 （）A.1 B.C.1或-D.-1或解析解析 当公比q=1时，an=a3=7,S

3、3=21满足条件；当公比q1时，有 解得C3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（）A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9解析解析 等比数列中隔一项的符号相同 ac=b2=9.4.在等比数列an中，已知a1a3a11=8，则a2a8等于（）A.16B.6C.12D.4 解析解析 由a1a3a11=8 =8(q为公比），即a1q4=2,a2a8=(a1q4)2=4.BD5.(2008浙江理浙江理，6）已知an是等比数列,a2=2,则 a1a2+a2a3+anan+1等于 （）A.16（1-4-n）B.16（1-2-n）C.D.解析解析故a

4、1a2+a2a3+a3a4+anan+1=23C 已知an为等比数列，求an的通项公式.【思维启迪思维启迪】根据等比数列的定义、通项公式及性质建立 首项,公比的方程组.解解 方法一方法一 设等比数列an的公比为q，则q0，解得 q2=3.题型一题型一 等比数列的基本量等比数列的基本量a4=a3q=2q，当 a1=18,当q=3时，an=233-n或an=23n-3.方法二 由a3=2,得a2a4,又则a2a4为方程 的两根，解得 或当 时，q=3,an=a3qn-3=23n-3.当a2=6时，an=233-nan=23n-3或an=233-n.探究拓展探究拓展 （1）等比数列an中，an=a1

5、qn-1,中有五个量，可以知三求二；（2）注意分类讨论的应用.（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且对任意 nN*有an+Sn=n.（1）设bn=an-1,求证：数列bn是等比数列；（2）设c1=a1且cn=an-an-1(n2)，求cn的通项公式.【思维启迪思维启迪】首先由已知条件得到数列an中项之间的关 系，再根据数列bn、cn与an中项的关系判断或求解.(1)证明证明 由a1+S1=1及a1=S1得 又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1得 an+1-an+an+1=1,2an+1=an+1.2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.题型二题型二 等比数列的判定与证明

6、等比数列的判定与证明数列bn是以 为首项，为公比的等比数 列.6分（2）解 方法一 由（1）知2an+1=an+1.2an=an-1+1(n2),2an+1-2an=an-an-1,2cn+1=cn(n2).8分又 a2+a1+a2=2,数列cn是首项为 公比为 的等比数列.10分方法二 由（1）又 也适合上式，探究拓展探究拓展 证明数列an是等比数列一般有两种方法：（1）定义法：an+1=qan(nN*,q是常数)；（2）等比中项法：anan+2(nN*,an+10).根据已知条件来确定用哪一种方法.在等比数列an中，求a1+a2+a3+a4+a5=8且 【思维启迪思维启迪】（1）由已知条件

7、可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3.（2）也可利用性质a23=a1a5=a2a4直接求得a3.解解 方法一方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列，也是等比数列，公比为题型三题型三 等比数列的性质等比数列的性质由已知条件得求a3解得,a3=2.方法二 由已知得：探究拓展探究拓展 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则aman=apaq”,可以减少运算量，提高解题速度.a3=2.某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩,计划每年比上一年多植树50亩(全部成活)（1）问需要几年，可将

8、此山全部绿化完？（2）已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然 增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S，求S约为多少万立方米？（精确到0.1）【思维启迪思维启迪】将问题合理转化为等差、等比数列模型.解解 （1）每年植树的亩数构成一个a1=100，d=50以的等差 数列，其和即为荒山的总亩数.设需要n处可将此山全部绿化，则题型四题型四 等比数列的应用等比数列的应用解此方程，得n=10（年）.（2）第一年种植的树在第10年后的木材量为2a1(1+0.1)10，第二年种植的树在第10年后的木材量为2a2（1+0.1）9，第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1+0.1),第

9、10年后的木材量依次构成数列bn,则其和为T=b1+b2+b10=2001.110+3001.19+1 1001.110（万立方米）.探究拓展探究拓展 月日 数列应用问题是考查分析问题、解决问题的好素材.它要求有较强的阅读理解能力，捕捉信息的能力和归纳抽象的能力.方法与技巧1.等比数列的判定方法有以下几种：（1）定义：(q是不为零的常数,nN*)an是等比 数列.(2)通项公式：an=cqn(c、q均是不为零的常数,nN*)an 是等比数列.(3)中项公式:anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.2.方程观点以及基本量（首项和公比a1,q）思想仍然是求解 等比数列问题的基

10、本方法：在a1,q,n,an,Sn五个量中，知 三求二.3.分类讨论的思想：当a10,q1或a10,0q1时，an为递 增数列；a11或a10,0q1时，an为递减数列；当 q0时，an为摆动数列；当q=1时，an为常数列.失误与防范1.特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况.2.由an+1=qan,q0,并不能立即断言an为等比数列，还要验 证a10.3.Sn+m=Sn+qnSm.1.已知等比数列an中，求a1.解解 当q=1时，满足 解得 a1=6.综合可得：或a1=6当q1时，依题意有2.设数列an是等差数列，a5=6.（1）当a3=3时，请在数列an中找一项am,使得a3,a5,a

11、m成 等比数列；（2）当a3=2时，若自然数n1,n2,nt,（tN*）满足 5n1n2nt0),则有a5=a1q4=16,q=2,数列的前7项和为2.B 3.AC1.（2008福建理福建理，3设an是公比为正数的等比数列，若 a1=1，a5=16，则数列an的前7项的和为 （）A.63 B.64 C.127 D.128解析解析 页纸 设数列an的公比为q(q0),则有a5=a1q4=16,q=2,数列的前7项和为2.B 3.AC4.等比数列an前n项的积为Tn,若a3a6a18是一个确定的常 数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是（）A.T10B.T13C.T17D.T2

12、5解析解析 a3a6a18=即a9为定值，所 以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值.5.C 6.CC7.（2009广西池市模拟广西池市模拟）一个项数为偶数的等比数列，它 的偶数项的和是奇数项的和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的公比为 ,项数为 .8.289.数列an的前n项和为Sn，且 (1)求a1,a2；(2)证明：数列an是等比数列；(3)求an及Sn.(1)解解 又 (2)证明证明 两式相减，得 即数列an是首项为 公比为 的等比数列.（3）解解 由（2）得10.（1）a3=6 a4=9 a5=18 a6=27 (2)证明证明 anan+1是公比为3的

13、等比数列，anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，a1，a3，a5,，a2n-1，与a2,a4,a6，a2n，都是公 比为3的等比数列.a2n-1=23n-1,a2n=33n-1，bn=a2n-1+a2n=53n-1.故bn是以5为首项，3为公比的等比数列.11.证明证明 （1）由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得（3+m）an+1=2man,m-3,是等比数列.（2）由(3-m)S1+2ma1=m+3,解出a1=1,b1=1.nN且n2时，bnbn-1+3bn=3bn-1，推出 是以1为首项、为公差的等差数列.12.（20

14、08四川文四川文，21）设数列an的前n项和Sn=2an-2n.(1)求a3，a4；(2)证明：an+1-2an是等比数列；(3)求an的通项公式.(1)解解 因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2.由2an=Sn+2n知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1,得an+1=Sn+2n+1.所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8,a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40.(2)证明 由题设和式知 an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,所以an+1-2an是首项为2,公比为2的等比数列.(3)解 an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)+2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)2n-1.返回