3.4 定积分应用.ppt

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1、1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数3.微积分基本公式微积分基本公式牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系称之为微积分基本公式。间的关系称之为微积分基本公式。注意注意 使用公式的条件使用公式的条件（1）被积函数）被积函数 f(x)连续连续 （2）F（x）是是 f(x)在在 该区间上的任一原函数该区间上的任一原函数12.16 课堂回顾课堂回顾定积分的换元法定积分的换元法1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应、使用定积分的换元法时要注意积分限的对应2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新不引入新的变量记号，积分限不

2、变；引入新的变量记号，积分限跟着变的变量记号，积分限跟着变12.16 课堂回顾课堂回顾定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式注意注意u、v的选择，容易积分的选为的选择，容易积分的选为v，求导简单的选为求导简单的选为u 3.4 定积分应用定积分应用 前前面面，已已经经系系统统地地介介绍绍了了定定积积分分的的基基本本理理论论和和计计算算方方法法。在在这这一一节节中中，将将利利用用这这些些知知识识来来分分析析解解决决一一些些实实际际问问题题。定定积积分分的的应应用用很很广广泛泛，在在自自然然科科学学和和生生产产实实践践中中有有许许多多实实际际问问题题最最后后都都归归结结为为定定积积分分问问题题。本

3、本节节不不仅仅对对一一些些几几何何物物理理量量导导出出计计算算公公式式，更更重重要要的的是是介介绍绍运运用用“微微元元法法”将将所所求求的的量量归归结结为为计计算算某某个个定定积积分的分析方法。分的分析方法。重点重点微元法，面积，旋转体的体积微元法，面积，旋转体的体积 微微元元法法，参参数数方方程程确确定定的的曲曲线线所所围围的的面积，定积分在物理方面的应用。面积，定积分在物理方面的应用。基本要求基本要求正正确确理理解解和和掌掌握握微微元元法法的的基基本本思思想想，并并会灵活运用它。会灵活运用它。会会用用直直角角坐坐标标、极极坐坐标标、参参数数方方程程所所给给出出的三种求积公式求出一些常见图形

4、的面积。的三种求积公式求出一些常见图形的面积。会求旋转体的体积会求旋转体的体积会用定积分解决物理方面的实际问题会用定积分解决物理方面的实际问题难点难点 通通过过对对不不均均匀匀量量（如如曲曲边边梯梯形形的的面面积积，变变速速直直线线运运动动的的路路程程）的的分分析析，采采用用“分分割割、近近似似代代替替、求求和和、取取极极限限”四四个个基基本本步步骤骤确确定定了了它它们们的的值值，并并由由此此抽抽象象出出定定积积分分的的概概念念，我我们们发发现现，定定积积分分是是确确定定众众多多的的不不均均匀匀几几何何量量和和物物理理量量的的有有效效工工具具。那那么么，究究竟竟哪哪些些量量可可以以通通过过定定

5、积积分分来来求求值值呢呢？我我们们先先来来回回顾顾一一下前面讲过的方法和步骤是必要的下前面讲过的方法和步骤是必要的。定积分的微元法定积分的微元法求的步骤求的步骤分分 用分点用分点将将区间分成区间分成n个小区间个小区间粗粗把在小区间上的局部量把在小区间上的局部量用某个函数用某个函数 f(x)在在的值与的值与之积代替之积代替和和 把局部量的近似值累加得到总量把局部量的近似值累加得到总量的近似值的近似值即即设量非均匀地分布设量非均匀地分布 a,b 上上 由此可知，若某个非均匀量在区间由此可知，若某个非均匀量在区间a,b上满足两个条件：上满足两个条件：（1）总量在区间上具有总量在区间上具有可加性可加性

6、，即把区间，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，的局部量之和，（2）局部量可用）局部量可用近似表示近似表示它们之间只相差一个它们之间只相差一个的的高阶无穷小高阶无穷小不均匀量就可以用定积分来求得不均匀量就可以用定积分来求得精精分析其实质，不难将四步简化为两步分析其实质，不难将四步简化为两步第一步第一步“分割取近似分割取近似”含含“分分”、“粗粗”两步即将区间分成子区间两步即将区间分成子区间在其上用均匀变化近似代替非均匀变化在其上用均匀变化近似代替非均匀变化求得局部量的近似值求得局部量的近似值它对应着积分表达式中的被积式它对应着积分表

7、达式中的被积式第二步第二步“求和取极限求和取极限”含含“和和”、“精精”两步两步:各局部量的近似各局部量的近似值相加并取极限得到总量的准确值值相加并取极限得到总量的准确值这是建立所求量的积分式的基本方法这是建立所求量的积分式的基本方法即对被积式作积分即对被积式作积分 求微元求微元写出典型小区间写出典型小区间 上的局部量上的局部量 的近似值的近似值这就是局部量的微元这就是局部量的微元 求积分求积分即把微元即把微元 在区间在区间 a,b 上上 相当于把相当于把 作积分表达式作积分表达式求它在求它在 a,b 上的定积上的定积分分 即即 这就是这就是微元法微元法 “无限积累无限积累”起来起来 定积分的

8、几何应用定积分的几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系直角坐标系 作为一般情况讨论，设平面图形由作为一般情况讨论，设平面图形由 a,b 上连续的两条曲线上连续的两条曲线 y=f(x)与与 y=g(x)及两条直线及两条直线 x=a,x=b 所围所围成成在在 a,b 上任取典型小区间上任取典型小区间 x,x+dx 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dAdA 可用高为可用高为底为底为 dx 的的矩形面积矩形面积近似表示近似表示即即故故ab当当 dx 很小时很小时 所围成的图形的面积所围成的图形的面积解解为确定图形的存在区间为确定图形的存在区间

9、由联立方程组解得交点由联立方程组解得交点 A（-1，1）B（1，1）故故例例1 求两曲线求两曲线 所围图形的面积所围图形的面积解解首先定出图形所在的范围首先定出图形所在的范围解得交点为（解得交点为（2，-2）和（）和（8，4）若取若取 x 为积分变量为积分变量 在在 x,x+dx 上取部分量上取部分量则对于则对于 x 的不同值的不同值 局部量的位置不同局部量的位置不同 其其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂较为复杂如下图如下图例例2 计算计算 以以 y 为变量计算将会简单为变量计算将会简单在在-2,4 上任取一小区间上任取一小区间其上相应的窄条左、

10、右曲边分别为其上相应的窄条左、右曲边分别为但若将这一面积看作是分布在区间但若将这一面积看作是分布在区间 -2，4 上上 由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化计算简化上述问题的一般情况是上述问题的一般情况是平面区域由平面区域由 c,d 上连续的曲线上连续的曲线及直线及直线y=c,y=d 所围所围成成 则其面积为则其面积为cd 当直角坐标系下的平面区域的边界曲线当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时，只须对面积计算由参数方程的形式给出时，只须

11、对面积计算公式作变量代换即可。公式作变量代换即可。计算时应注意积分限在换元中应保持与原积计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应。分限相对应。例例3求椭圆求椭圆 的面积的面积解解由对称性由对称性 面积面积A等于椭圆在第一象限内的等于椭圆在第一象限内的部分的面积的部分的面积的4倍倍即即2 极坐标系极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程 给出给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线而是由射线 所围成的称为曲边扇形的区域所围成的称为曲边扇形的区域可用半径

12、为可用半径为圆心角为圆心角为由于曲边扇形的面积分布由于曲边扇形的面积分布故面积元素为故面积元素为的圆扇形的面积来近似的圆扇形的面积来近似解解利用对称性知利用对称性知 通过以上几例可见在实际计算中应充通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的分利用所求量的对称性对称性和和等量关系等量关系来简来简化计算。化计算。旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积旋转体的体积为旋转体的体积为xyo所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 y 轴

13、旋转一周所成的立体的体积轴旋转一周所成的立体的体积为为类似地，由连续曲线类似地，由连续曲线解解解解注注解解 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积三、平行截面面积为已知的立体的体积三、平行截面面积为已知的立体的体积解解 取坐标系如图所示。取坐标系如图所示。垂直于垂直于x轴的截面的面轴的截面的面积为积为所求立体体积所求立体体积定积分在物理学上的应用1.变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功2.水压力水压力1、

14、变力沿直线所作的功解解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的被吸到桶口的解解建立坐标系如图。建立坐标系如图。功元素为功元素为(千焦千焦)由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，其面积为其面积为A，距液面的深度为距液面的深度为 h ，则该薄板的一则该薄板的一侧所受的压力侧所受的压力P等于液体的压强等于液体的压强 p 与受力面积的

15、与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是 但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，需要采用微元法，利用定积分来计算。需要采用微元法，利用定积分来计算。2、水压力、水压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图2、旋转体的体积、旋转体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周3、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积三、小结三、小结1、求在直角坐标系下、参数方程形式下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）4、利用、利用“元素法元素法”求变力作功、水压力等物求变力作功、水压力等物理问题理问题作作 业业P2211、1）2）2、2）7、1）