2.9 函数的极值与最大值最小值.ppt

《2.9 函数的极值与最大值最小值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.9 函数的极值与最大值最小值.ppt（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、上页上页下页下页返回返回2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数的极值一、函数的极值二、函数的最大值和最小值二、函数的最大值和最小值上页上页下页下页返回返回一、函数的极值一、函数的极值1.函数极值的定义函数极值的定义xOyab2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回定义定义1函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个的一个极小值极小值是函数是函数就称就称均

2、成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个的一个极大值极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部局部的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值，在整个定义域

3、函数可能存在许多个极值，在整个定义域上，某一点的极大值，甚至可能小于极小上，某一点的极大值，甚至可能小于极小值值.最大值与最小值最大值与最小值,只是一点附近的只是一点附近的xyO极大值极大值极小值极小值注注2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回2.极值的必要条件极值的必要条件极值极值,定理定理1（必要条件）（必要条件）证明略证明略.(费马引理费马引理)导数等于零的点称为函数的导数等于零的点称为函数的驻点驻点.2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值例如，例如，上页上页下页下页返回返回注注 可导函数的极值点一定是驻点，但可

4、导函数的极值点一定是驻点，但反过来驻点不一定是极值点；反过来驻点不一定是极值点；导数不存在的点也可能是极值点导数不存在的点也可能是极值点.xyO例如，例如，0是是驻点驻点，但在，但在(0,0)函数函数无极无极值值在在(0,0)取得取得极小极小值值，但，但0点点不可导不可导2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回定理定理2(第一充分条件第一充分条件)则则为为极大值极大值则则不是极值不是极值.(极小值极小值);3.极值的充分条件极值的充分条件x0的某去心邻域的某去心邻域内可导内可导.(1)如果在如果在 左侧附近，有左侧附近，有 而在而在 右侧附近，有

5、右侧附近，有2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回求极值的步骤求极值的步骤:及不可导点；及不可导点；;判断极值点判断极值点在驻点及不可导点左右的正负号在驻点及不可导点左右的正负号，)()3(检查检查xf 0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程=xf);()1(xf 求导数求导数.)4(求极值求极值2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回例例1求函数求函数 的极值的极值.解解得驻点得驻点在在的左右两侧附近，的左右两侧附近，因此因此 不是极值不是极值.在在点左侧，当点左侧，当 时，时，在在的

6、右侧，当的右侧，当 时，时，因此因此 是极小值是极小值.2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例2解解因此因此,2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回定理定理3(第二充分条件第二充分条件)证证 (1)因此因此,当当充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性,可见可见,与与异号异号.所以所以,2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回定理定理3(第二充分条件第二充分条件)不能不能应用应用.可能有极大值可能有极大值,也可能有

7、极小值也可能有极小值,也可能没有极值也可能没有极值.例如例如,分别有极大值，极小值，无极值分别有极大值，极小值，无极值.注注2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回例例3解解得驻点得驻点2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回xOyab二、函数的最大值和最小值二、函数的最大值和最小值闭区间闭区间a,b上的连续函数必有最大值和最小值上的连续函数必有最大值和最小值，最大值和最小值可以在区间的端点达到，也最大值和最小值可以在区间的端点达到，也可以在区间内部达到可以在区间内部达到.2.9 2.9 函数的极值

8、与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回(1)其中最大其中最大(小小)者就是者就是 f(x)在在a,b上的最大上的最大(小小)值值.求连续函数求连续函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上的最上的最大大(小小)值的方法值的方法:将闭区间将闭区间a,b内所有内所有驻点驻点和和导数不存在的导数不存在的点点(2)点点处达到处达到.处的函数值和处的函数值和区间端点区间端点的函数值的函数值 f(a),f(b)比比较较,当当 f(x)在闭区间在闭区间a,b上上单调单调时时,最值必在最值必在端端若若函数只有一个极值，这个唯一的极值是极大函数只有一个极值，这个唯一的极值是极大（小）值，则这

9、个极值一定是最大（小）值（小）值，则这个极值一定是最大（小）值.(3)2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回例例4解解得驻点得驻点比较可知最大值为比较可知最大值为最小值为最小值为2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回对实际问题求最值的步骤：对实际问题求最值的步骤：(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页

10、上页下页下页返回返回例例5是产量是产量Q的函数，且的函数，且问生产多少产品时总利润最大？最大利润是多少？问生产多少产品时总利润最大？最大利润是多少？总利润总利润=总收益总收益-总成本总成本 =总收益总收益-固定成本固定成本-生产成本生产成本某工厂生产某种产品，固定成本为某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，元，每生产一件产品成本增加每生产一件产品成本增加100元，已知总收益元，已知总收益R2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回解解总利润总利润L=R-U，设生产的总成本函数为设生产的总成本函数为U，则，则U=20000+100Q，只有一个驻

11、点，而最大值一定存在，此驻点就只有一个驻点，而最大值一定存在，此驻点就是最大值点，是最大值点，即当产量为即当产量为300件时，总利润最大，为件时，总利润最大，为25000元元.L(300)=25000，2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回例例6 河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单河北沧州地区种植黑麦草作为饲料，单位土地面积上黑麦草的干物质积累量位土地面积上黑麦草的干物质积累量m是积是积温温w的函数，的函数，而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量而随着植物的生长，干物质中的蛋白质含量的比例逐渐下降，经验公式为的比例逐渐下降，经验公式为讨论蛋白质

12、含量随积温变化的情况讨论蛋白质含量随积温变化的情况.2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回解解 单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为单位土地面积上黑麦草的蛋白质含量的比例为此函数导数的计算比较复杂，作近似计算此函数导数的计算比较复杂，作近似计算2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回取取令令得得w=683，是最大值点，是最大值点，此时收获得到的蛋白质数量最多；此时收获得到的蛋白质数量最多；令令得得w=493，是增长曲线的拐点，是增长曲线的拐点，此时是蛋白质数量增加最快的阶段此时是蛋白质数量增加

13、最快的阶段.2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结2.9 2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1.函数的极值函数的极值（2）极值可疑点）极值可疑点:使导数为零或不存在的点；使导数为零或不存在的点；（3）极值的判别方法：第一充分条件，第二充）极值的判别方法：第一充分条件，第二充分条件；分条件；（1）极值的必要条件；）极值的必要条件；2.函数的函数的最值最值（1）最值点应在极值点或边界点上）最值点应在极值点或边界点上;（3）实际应用题求最值的步骤）实际应用题求最值的步骤.（2）最值是整体概念而极值是局部概念；）最值是整体概念而极值是局部概念；上页上页下页下页返回返回思考练习思考练习2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值求求的极值的极值.上页上页下页下页返回返回思考练习思考练习解答提示解答提示当当 时，时，2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上页上页下页下页返回返回故当故当y有极小值，有极小值，当当y有极大值，有极大值，同理可得，同理可得，当当 时，时，当当y有极大值，有极大值，当当y有极小值，有极小值，思考练习思考练习2.9 2.9 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值