2.3连续型随机变量及其分布.ppt

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1、 第三节第三节连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不不能象离散型随机变量那样能象离散型随机变量那样,以指定它取以指定它取每个值概率的方式每个值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方的方式式.下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.（一）（一）.引入引入 一个质点等可能地落入区间一个质点等可能地落入区间a,b，在每一点在每一点的微分领域的微分领域x-

2、dx,x这小区间上的概率：这小区间上的概率：则则f(x)dx 可可理解理解为为X在在x点微分领点微分领域的概率。域的概率。一、概率密度一、概率密度点点落入落入 的概率应是对的概率应是对 中每一点中每一点的微分领域的概率和，即的微分领域的概率和，即 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数f(x),使得对任意的实数使得对任意的实数x,都有都有 则称则称 X为连续型为连续型r.v,称称 f(x)为为 X 的概率密度函的概率密度函数，简称为概率密度或分布密度。数，简称为概率密度或分布密度。F(x)称为称为X的分布函数。的分布函数。（二）（二）.连续型连续型r.v及其密度

3、函数及其密度函数1.定义定义2.概率密度函数的性质概率密度函数的性质1)2)这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.vX的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为13)连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：a为为任一指定值任一指定值这是因为这是因为4)由此得由此得，(i)对连续型对连续型 r.v X,有有(ii)由由P(X=a)=0 可推知可推知而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，

4、由由P(A)=0,不能推出不能推出由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=S 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.=f(x)对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:5)要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大.也可

5、以说，也可以说，在某点密度曲线的高度反在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo例例1.若若X的概率密度为的概率密度为例例2 向半径为向半径为R的圆形靶射击的圆形靶射击,假设不会发假设不会发生脱靶生脱靶,且击中任意同心圆盘的概率与该靶且击中任意同心圆盘的概率与该靶的面积成正比的面积成正比,又设随机变量又设随机变量X表示击中点表示击中点与靶心的距离与靶心的距离.求求X的分布函数与概率密度的分布函数与概率密度.见书见书P50例例2.3.2下面给出几个下面给出几个r.v的例子的例子.由于连续型由于连续型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函数密度函数所确

6、所确定定.所以，若已知密度函数，该连续型所以，若已知密度函数，该连续型 r.v的概率规律就得到了全面描述的概率规律就得到了全面描述.f(x)xo二、几种常见的连续型二、几种常见的连续型r.v.的分布的分布定义定义2.3.2 若若 r.vX的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间 a,b 上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua,b 它的实际背景是：它的实际背景是：r.v X 取值在区间取值在区间a,b 上，并且取值在上，并且取值在a,b中任意小区间中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比内的概率与这个小区间的长度成正比.则则 X 具有具有a,b上的上的均匀分布均匀分布

7、(等概率分布等概率分布).1.均匀分布均匀分布对任意实数对任意实数c,d(acd0,t0,有有则称则称X的分布具有无记忆性的分布具有无记忆性.解解:当t 0时，当t 0时，=1-在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥于是 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项概德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式率的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.3.正态分布正

8、态分布 1)、正态分布的定义、正态分布的定义 若若r.v X的的概率密度为概率密度为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.2)、正态分布、正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线.特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”.能不能根据密度函数的表达式，能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？得出正态分布的图形特点呢？容易看到，容易看到，f(x

9、)0即整个概率密度曲线都在即整个概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方;故故1)1)f(x)以以为对称轴为对称轴.2)2)在在x=处达到最大值处达到最大值:令令x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可得可得f(+c)=f(-c)且且 f(+c)f(),f(-c)f()3)3)用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，为为f(x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x=4)4)f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线.当当x 时，时，f(x)0,这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下再复习一下。根据对密度函数的分析，也可初步画出正根据对密度

10、函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图。态分布的概率密度曲线图。决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。的数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正态分布。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的

11、人人数数大大致致相相近近，这这从从一一个个方方面面反反映映了了服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量的的特特点。点。除了我们在前面遇到过的年降雨量和身除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外高外,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布都服从或近似服从正态分布.服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密

12、度是概率密度是X的分布函数的分布函数P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？设设X ,X的分布函数是的分布函数是 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯唯一确定，一确定，当当和和不同时，是不同的正不同时，是不同的正态分布。态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布3)3)、标准正态分布、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的

13、正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布.根据定理根据定理,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题.,则则 N(0,1)设设定理定理 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.4)4)、正态分布表、正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x0时时若若N(0,1)若若 XN(0,1),例例6由标准正态分布的查表

14、计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.99745)5)、3 3 准则准则将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则

15、准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）.见书中见书中P58例例2.3.9 例例7 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的.设男子设男子身高身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:因为因为XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,

16、即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.6)、分位点、分位点定义定义2.3.6 设设XN(0,1)，对于给定的对于给定的 ，存在存在 满足满足则则称称 为为X关于关于 的上侧分位点。的上侧分位点。定义定义2.3.7 设设XN(0,1)，对于给定的对于给定的 ，存在存在 满足满足则则称称 为为X关于关于 的双侧分位点。的双侧分位点。不知你们是否注意到街头的一种赌博不知你们是否注意到街头的一种赌博活动活动?用一个钉板作赌具。用一个钉板

17、作赌具。街头街头请看请看 也也许许很很多多人人不不相相信信，玩玩这这种种赌赌博博游游戏戏十十有有八八九九是是要要输输掉掉的的，不不少少人人总总想想碰碰碰碰运运气气，然然而而中中大大奖奖的的概概率率实实在是太低了。在是太低了。平平时时，我我们们很很少少有有人人会会去去关关心心小小球球下下落落位位置置的的规规律律性性，人人们们可可能能不不相相信信它它是是有有规规律律的的。一一旦旦试试验验次次数数增增多多并并且且注注意意观观察察的的话话，你你就就会会发发现现，最最后后得出的竟是一条优美的曲线得出的竟是一条优美的曲线。高高尔尔顿顿钉钉板板试试验验这条曲线就近似我们介绍的这条曲线就近似我们介绍的正正态分布态分布的密度曲线。的密度曲线。