2.3等差数列的前n项和 (3课时).ppt

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1、2.3 2.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和第一课时第一课时 问题提出问题提出1.1.等差数列的内涵特征是什么？等差数列的内涵特征是什么？如何用如何用递推公式描述？递推公式描述？从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数于同一个常数.或an1an12 an(n2).2.2.等差数列的通项公式是什么？等差数列的通项公式是什么？ana1(n1)dam(nm)dpnq.3.3.在等差数列在等差数列aan n 中中 的的条件是什么？特条件是什么？特别别地，地，a a1 1a an n可以等于可以等于什么？什么？mn=pq a1ana2an1a3an

2、2.4.4.数列的通项公式能反映数列的基本特数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前性，在实际问题中常常需要求数列的前n n项和项和.对于等差数列，为了方便运算，我对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题研究的课题.知识探究（一）：知识探究（一）：求和公式的推导求和公式的推导 思考思考1 1：有一堆钢管如图摆放，你有什么有一堆钢管如图摆放，你有什么办法快速数出这堆钢管的总数？办法快速数出这堆钢管的总数？思考思考2 2：200200多年前，高斯的算术老师提多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：出了下面

3、的问题：1 12 23 3100100？据说高斯很快就算出了正确答案据说高斯很快就算出了正确答案,你知道你知道他是如何计算的吗他是如何计算的吗?(1(1100)100)(2(299)99)(50(5051)51)10110150505050.5050.思考思考3 3：高斯的算法实际上解决了求等差高斯的算法实际上解决了求等差数列数列1 1，2 2，3 3，n n，前前100100项的和的项的和的问题，利用这个算法，问题，利用这个算法，1 12 23 3n n等于什么？等于什么？思考思考4 4：上述算法叫做上述算法叫做倒序相加法倒序相加法.一般一般地，地，设设等差数列等差数列aan n 的前的前n

4、 n项项和和为为S Sn n，即，即 ，利用倒序，利用倒序相加法如何求相加法如何求S Sn n？所得？所得结结果如何？果如何？思考思考5 5：就是等差数列就是等差数列的前的前n n项和公式，用文字语言如何表述这项和公式，用文字语言如何表述这个公式？个公式？等差数列前等差数列前n n项和等于首项与末项的和的项和等于首项与末项的和的一半与项数的积一半与项数的积.知识探究（二）：知识探究（二）：求和公式的变通求和公式的变通 思考思考1 1：若若n n为奇数，则为奇数，则 据此，等差数列前据此，等差数列前n n项和公式可变形为什项和公式可变形为什么？么？思考思考2 2：将将a an na a1 1(n

5、(n1)d1)d代入等差数列代入等差数列前前n n项项和公式，和公式，则则求和公式求和公式变变形形为为什么？什么？思考思考3 3：将将a a1 1a an n(n(n1)d1)d代入等差数列代入等差数列前前n n项项和公式，和公式，则则求和公式求和公式变变形形为为什么？什么？思考思考4 4：如何用如何用a a1 1，a an n，d d三个元素表示三个元素表示S Sn n？理论迁移理论迁移 例例1 1 在等差数列在等差数列 an 中，中，已知已知 ，求求S7.例例2 20002 2000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在关于在中小学实施中小学实施“校校通校校通”工程的通

6、知工程的通知.某市据此提某市据此提出了实施出了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金比上一年增加入的资金比上一年增加5050万元。那么从万元。那么从20012001年起的年起的未来未来1010年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程的总投入是多工程的总投入是多少？市出

7、租车的计价标准为少？市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步价为，起步价为1010元，即最初的元，即最初的4km4km（不含（不含4 4千米）计费千米）计费1010元元.如果某如果某人乘坐该市的出租车去往人乘坐该市的出租车去往14km14km处的目的地，且一路处的目的地，且一路畅通，等候时间为畅通，等候时间为0 0，需要支付多少车费？，需要支付多少车费？S1072507250（万元万元）.例例3 3 已知一个等差数列已知一个等差数列aan n 的前的前1010项项的和是的和是310310，前，前2020项的和是项的和是12201220，求这，求这个等差数列的前个等差数列的前n n

8、项和项和.小结作业小结作业1.1.凡是与首末两端等距离的两项之和相凡是与首末两端等距离的两项之和相等的数列，都可以用倒序相加法求前等的数列，都可以用倒序相加法求前n n项项和和.2.2.3.3.是求等差数列前是求等差数列前n n项和的两个基本公式项和的两个基本公式,应用时要根据已知条件灵活选取应用时要根据已知条件灵活选取.3.3.求等差数列前求等差数列前n n项项和，一般需要三个条和，一般需要三个条件，解件，解题时题时常需要将已知条件常需要将已知条件进进行行转转化，化，有有时时可用整体思想求可用整体思想求a a1 1a an n.作业：作业：P45P45练习：练习：1.1.P46P46习题习题

9、2.3A2.3A组：组：2 2，3,3,4.4.第二课时第二课时 2.3 2.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和问题提出问题提出1.1.等差数列的递推公式是什么？等差数列的递推公式是什么？a an n1 1a an n1 12a2an n（n2n2）2.2.等差数列的通项公式是什么？在结构等差数列的通项公式是什么？在结构上它有什么特征？上它有什么特征？3.3.等差数列前等差数列前n n项和的两个基本公式是什项和的两个基本公式是什么？么？在结构上是关于在结构上是关于n n的一次函数的一次函数.ana1(n1)dam(nm)dpnq.4.4.深入研究等差数列的概念与前深入研究等差数列的概念

10、与前n n项和公项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究简单探究.探究（一）：探究（一）：等差数列与前等差数列与前n n项和的关系项和的关系 思考思考1 1：若若数列数列aan n 的前的前n n和和 那么数列那么数列aan n 是等差数列是等差数列吗吗？an 是等差数列是等差数列 思考思考2 2：将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数有什的函数，这个函数有什么特点？么特点？当当d0d0时时，S Sn n是常数项为零的二次函数是

11、常数项为零的二次函数.思考思考3 3：一般地，若一般地，若数列数列aan n 的前的前n n和和S Sn npnpn2 2qnqn，那么数列，那么数列aan n 是等差数列是等差数列吗吗？若？若S Sn npnpn2 2qnqnr r呢？呢？aan n 是等差数列是等差数列 Snpn2qn.思考思考4 4：若若 an 为等差数列，那么等差数列，那么是什么数列？是什么数列？an 是等差数列是等差数列 为等差数列为等差数列思考思考5 5：等差数列的求和公式可化等差数列的求和公式可化为一般地，若一般地，若数列数列 an 的前的前n和和那么那么数列数列 an 是等差数列是等差数列吗？an 是等差数列是

12、等差数列 探究（二）：等差数列前探究（二）：等差数列前n n项和的性质项和的性质思考思考1 1：在等差数列在等差数列aan n 中，中，S Sn n，S S2n2n，S S3n3n三者之三者之间间有什么关系？有什么关系？S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n)S S1 1S S2 2ndnd，思考思考2 2：在等差数列在等差数列aan n 中，中，设设S S1 1a a2 2a a4 4a a2n2n，S S2 2a a1 1a a3 3a a2n2n1 1，则则S S1 1S S2 2与与 分分别别等于什么？等于什么？思考思考3 3：设等差数列等差数列aan n、b bn n 的前的

13、前n n项项和分和分别为别为S Sn n、T Tn n，则 等于什么？等于什么？思考思考4 4：在等差数列在等差数列aan n 中，若中，若a a1 10 0，d d0 0，则则S Sn n是否存在最是否存在最值值？如何确定其最？如何确定其最值值？当ak0，ak10时，Sk为最大.理论迁移理论迁移 例例1 1 设设等差数列等差数列的前的前n n项项和和为为S Sn n，求当，求当n n为何何值时S Sn n取取最最大大值.n n7 7或或8 8 例例2 2 设设等差数列等差数列 an 的公差的公差为2，且，且 ，求，求 的的值值.-82-82小结作业小结作业1.1.以等差数列前以等差数列前n

14、n项和为背景可引发出许项和为背景可引发出许多性质，作为研究性学习，其结论不要求多性质，作为研究性学习，其结论不要求记忆，但要了解探究这些性质的数学思想、记忆，但要了解探究这些性质的数学思想、方法和技巧，并在解题中灵活运用方法和技巧，并在解题中灵活运用.2.2.等差数列的定义、通项公式、求和公等差数列的定义、通项公式、求和公式是等差数列的基本知识点，在运用中式是等差数列的基本知识点，在运用中具有很大的灵活性和较强具有很大的灵活性和较强的的技巧性，适技巧性，适当了解等差数列的一些基本性质，会给当了解等差数列的一些基本性质，会给解题带来一定的帮助解题带来一定的帮助.3.3.在等差数列的基本运算中，要

15、注意整在等差数列的基本运算中，要注意整体代入，回避非必求量，简化运算过程，体代入，回避非必求量，简化运算过程，提高解题效率提高解题效率.对于与前对于与前n n项和有关的问项和有关的问题，不一定要用求和公式，有时作非公题，不一定要用求和公式，有时作非公式化处理更简单式化处理更简单.作业：作业：P45P45练习：练习：2 2，3.3.P46P46习题习题2.3A2.3A组：组：5 5，6.6.2.3 2.3 等差数列的前等差数列的前n n项和项和第三课时第三课时 知识整理知识整理1.1.等差数列的定义特征等差数列的定义特征从第从第2 2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于

16、同一个常数于同一个常数.或an1an12 an(n2).2.2.等差数列的递推公式等差数列的递推公式3.3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式ana1(n1)dam(nm)dpnq.4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式4.4.等差数列的主要性质等差数列的主要性质（1 1）若数列）若数列aan n、b bn n 都是等差数列，都是等差数列，则数列则数列papan n，aan na an n1 1，aan nb bn n，aan nb bn n 也是等差数列也是等差数列.（2 2）m mn=pn=pq q （3 3）an 是等差数列是等差数列 Snpn2qn.为等差数列为等差数

17、列（4 4）S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n).).（5 5）设等差数列等差数列aan n、b bn n 的前的前n n项项和分和分别为别为S Sn n、T Tn n，则 .(6(6）当当a ak k00，a ak k1 10 0时时，S Sk k为为最大最大;当当a ak k0 0，a ak k1 10 0时时，S Sk k为为最小最小.应用举例应用举例 例例1 1 已知一个等差数列共有偶数项，已知一个等差数列共有偶数项，其中偶数项之和为其中偶数项之和为3030，奇数项之和为，奇数项之和为2424，末项与首项之差为，末项与首项之差为10.510.5，求这个等差，求这个等差数列的

18、首项、公差和项数数列的首项、公差和项数.首项为首项为首项为，公差为，公差为 ,项数为项数为8.8.例例2 2 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前1212项之和项之和为为354354，且前，且前1212项中偶数项的和与奇数项中偶数项的和与奇数项的和之比为项的和之比为3232：2727，求这个等差数列，求这个等差数列的公差的公差.例例3 3 已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项项和和 ,求数列求数列|a|an n|的前的前n n项项和和 .例例4 4 在等差数列在等差数列aan n 中，已知中，已知a a1 12 2，S S10100 0，求，求a a1111a a1212a a2020的的值值.作业：作业：P46P46习题习题2.3B2.3B组：组：1,2,3,4.1,2,3,4.