2.2 Lagrange 插值65007.ppt

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1、第二章第二章 函数近似计算的插值法函数近似计算的插值法1若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式 系数 ,不但计算工作量较大,且难于得到的简单表达式.一、一、代数多项式的构造代数多项式的构造:可通过找插值基函数的方法,得到插值多项式!十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式，称为Lagrange插值公式插值公式。它的特例是线性插值公式线性插值公式和抛物线插值公式抛物线插值公式。Lagrange插值多项式插值多项式21.线性插值线性插值 已知两个插值点及其函数值：xx0 x1f(x)f0f1插值节点对应的函数值求一次多项式使得 由于方程组

2、的系数行列式3所以，按所以，按Gramer法则，有唯一解法则，有唯一解于是于是或或(B-1）4 容易验证，过点（容易验证，过点（x0，f0）与（与（x1，f1）直线方程就是直线方程就是式式（B-1），如图，如图2-3所示。所示。yxx0 x1P1(x)f(x)P1(x)f(x)误差图2-352.抛物线插值抛物线插值 已知三个插值节点及其函数值：f2f1f0f(x)x2x1x0 x求一个二次多项式使得由于该方程组的系数行列式6所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。定的。满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式满足上述条件，所以它

3、就是所求的二次多项式。容易看出（B-2）容易验证，容易验证，P2(x)是过点是过点(x0,f0)、(x1,f1)与与(x2,f2)三三点的抛物线，如点的抛物线，如图图2-4所示。所示。yxx1x0 x2P2(x)f(x)图2-4f0f1f273.n 次次Lagrange插值插值已知 n+1 个插值节点及其函数值：fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0 x插值节点相应的函数值求次数不超过 n 的多项式Pn(x)。使得8根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的且在不同的基下有不同的形式9且满足插值条件:10n+1次多项式次多项式11且-(4)从而12令即由(4)式,可得13其中-(6)-(5)14

4、其中其中 这个改写了的Lagrange插值公式插值公式，在许多理论分析中是比较有用的。Lagrange插值公式的标准型公式插值公式的标准型公式:15例1:解:16且在例在例1中中,如果只给出两个节点如果只给出两个节点169和和225,也可以作插值也可以作插值多项式多项式,即即1次次Lagrange插值多项式插值多项式,有两个插值基函数有两个插值基函数,也就是也就是Lagrange线性线性插值插值.17Lagrange线性插值基函数(一次插值)为Lagrange线性插值多项式为18例2.解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为19所以20二、插值余项二、插值余项满足不会完

5、全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？21则成立22根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于23所以因此即24定理定理1.Lagrange型余项型余项n=1:n=2:25设则26插值基函数的性质插值基函数的性质27Lagrange插值算法特点插值算法特点&局限性局限性 优点：优点：公式简洁公式简洁,理论分析方便理论分析方便 直观；直观；对称；对称；容易编程上机等。容易编程上机等。缺点：缺点：基函数计算复杂，计算量大基函数计算复杂，计算量大 每增加一个节点，插值多项式的所有每增加一个节点，插值多项式的所有 系数都得重算；系数都得重算；计算量为计算量为 。下一节提出的下一节提出的Newton插值法插值法就克服了上述缺点。就克服了上述缺点。28See you later!31