3.1.3空间向量的数量积运算上.ppt

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1、3.1.3 3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算W=|F|s|cos 根据功的计算根据功的计算,我们定义了平面两向量的我们定义了平面两向量的数量积运算数量积运算.一旦定义出来一旦定义出来,我们我们发现这种运发现这种运算非常有用算非常有用,它能解决有关它能解决有关长度和角度长度和角度问题问题.回顾平面向量数量积的定义回顾平面向量数量积的定义 已知两个非零向量已知两个非零向量 ,则则叫做叫做 的数量积，记作的数量积，记作 ,即即OAB向量的夹角：向量的夹角：B3.1.3 3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OA

2、BB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab共同的起点共同的起点空间向量数量积的空间向量数量积的定义定义 已知已知空间空间两个非零向量两个非零向量 ,则则叫做叫做 的数量积，记作的数量积，记作 ,即即注意注意:两两个个向量的数量积是向量的数量积是数量数量，而不是向量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.练习练习.对对于非零向量于非零向量填空填空:同向同向反向反向垂直垂直性质判断下列命判断下列命题题是否正确：是否正确：运运算算律律 若若m、n是平面是平面内的两条相交直线，内的两条相交直线，且且lm，ln.则则l.glmn线面垂直的判定定理：线面垂

3、直的判定定理：应用应用1，空间向量数量积与垂直，空间向量数量积与垂直逆命题成立吗逆命题成立吗?三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：OAPlA AB BC CO O 例例1 1、已知空间单位向量、已知空间单位向量a a，b b的夹角是的夹角是6060，计算：，计算：(1)(a+2b)(1)(a+2b)(2a-b)(2a-b)；(2)|4a(2)|4a一一2b|2b|应用应用2，空间向量数量积与线段的长度，空间向量数量积与线段的长度解：解：应用应用3，空间向量夹角与两异面直线所成的角，空间向量夹角与两异面直线所成的角例例2.已知点已知点O是正是正ABC平面外一点，若平面外一点，若OA=OB=O

4、C=AB=1，E、F分别是分别是AB、OC的中点，求的中点，求OE与与BF所成角的余弦值所成角的余弦值OABCEF结果是向量结果是向量空间四边形空间四边形ABCD中，连接中，连接AC，BD，点点E,F分别为边分别为边AC,BD的中点，设的中点，设空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算应用一，空间向量数量积的定义应用一，空间向量数量积的定义例、空间四边形例、空间四边形OABC中，连接中，连接OB=OC，应用二，空间向量夹角与两异面直线所成的角应用二，空间向量夹角与两异面直线所成的角例例2.已知点已知点O是正是正ABC平面外一点，若平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是分别是AB

5、、OC的中点，求的中点，求OE与与BF所成角的余弦值所成角的余弦值OABCEF应用三，空间向量数量积与线段的长度应用三，空间向量数量积与线段的长度例例3.平行四边形平行四边形ABCD中，中，AB=AC=1，ACD=900，将它沿对角线将它沿对角线AC折起使得折起使得AB与与CD所成的角为所成的角为600，求线段，求线段BD的长度。的长度。解：解：若若m、n是平面是平面内的两条相交直线，内的两条相交直线，且且lm，ln.则则l.glmn线面垂直的判定定理：线面垂直的判定定理：应用应用1，空间向量数量积与垂直，空间向量数量积与垂直逆命题成立吗逆命题成立吗?三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：O

6、APlOADPl引申：引申：AD/l,OA=1,AD=2,PO=3,(1)求求 和和 夹角的余弦值夹角的余弦值.(2)求求P,D间的距离；间的距离；OADPl(1)求求 和和 夹角的余弦值夹角的余弦值.(2)求求P,D间的距离；间的距离；引申：引申：AD/l,OA=1,AD=2,PO=3,B 已知点已知点O是正是正ABC平面外一点，若平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是分别是AB、OC的中点，用向量法解决下列问题：的中点，用向量法解决下列问题：(1)计算计算 ；(2)求求OE与与BF所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)证明证明 ；(4)求求EF的距离的距离.OABCEF练习

7、：练习：例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知.由由 知知 .空间向量数量积可以解决的立体几何问题：空间向量数量积可以解决的立体几何问题：3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；）向量的夹角（两异面直线所成的角）；2）证明垂直问题；）证明垂直问题；1）线段的长（两点间的距离）；）线段的长（两点间的距离）；，也就是，也就是说说 已知点已知点O是正是正ABC平面外一点，若平面外一点，若OA=OB=OC=AB=1，E、F分别是分别是AB、OC的中点，用向量法解决下列问题：的中点，用向量法解决下列问题：(1)计算计算 ；(2)求求OE与与BF所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)证明证明 ；(4)求求EF的距离的距离.OABCEF练习：练习：小结：小结：一、空间向量数量积的概念二、探究空间向量数量积运算的性质三、空间向量的运算律四、空间向量数量积的应用(交交换换律律)(分配律分配律)思考：思考：吗？吗？(2)对于向量对于向量 ，成立吗？成立吗？平面向量数量积的运算律：平面向量数量积的运算律：空间向量数量积的运算律：空间向量数量积的运算律：