3.1.1中值定理.ppt

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1、第三章 导数的应用 中值定理中值定理 洛必达法则洛必达法则导数的应用导数的应用中值定理 第 一 节学习重点学习重点理解罗尔定理理解罗尔定理掌握拉格朗日中值定理及其推论掌握拉格朗日中值定理及其推论罗尔定理罗尔定理 Rolle TheoremRolle Theorem(2)在开区在开区间间内可内可导导；则则在在内至少存在一点内至少存在一点，使，使 (1)在闭区间在闭区间 上连续上连续(3)若函数若函数满满足：足：罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义 连续曲线连续曲线 y=f(x)的弧的弧AB除端点外处处具有不垂直除端点外处处具有不垂直x轴的轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上切线，且两个端

2、点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点至少存在一点C，使得，使得曲线曲线在该点处的切线是水平的在该点处的切线是水平的.xy例例1 验证函数验证函数 在区间在区间 上满足罗尔上满足罗尔定理，并求出定理中的定理，并求出定理中的 值。值。解解 因为函数在因为函数在 上连续，在上连续，在 内可导，且内可导，且所以，函数在所以，函数在 上满足上满足罗尔定理罗尔定理而而令令得得所以，所以，即为所求的点。即为所求的点。注注 RolleRolle TH TH 常用于讨论导数零点的存在性；用导数常用于讨论导数零点的存在性；用导数讨论函数的零点、变号点以及方程的根讨论函数的零点、变号点以及方程的根。拉格朗日中值定

3、理拉格朗日中值定理 lagrange Theoremlagrange Theorem若函数若函数满满足：足：(2)在开区在开区间间内内可可导导；则则在在内内至少存在一点至少存在一点，使，使 (1)在闭区间在闭区间上上连续连续；xy几何意义几何意义:连续曲线连续曲线 y=f(x)的弧的弧AB除端点外处处有不垂直除端点外处处有不垂直x轴的切轴的切线，则弧上至少线，则弧上至少至少存在一点至少存在一点 ，使得曲线在点，使得曲线在点 处的处的切线切线平平行弦行弦AB。微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值定理在微分学中的重要性拉格朗日中值定理在微分学中的重要性 拉格朗日拉格朗日中值中值定理公式：定理公式：

4、此公式给出了当自变量取得有限增量此公式给出了当自变量取得有限增量 x(不一定很小不一定很小)时时,函数增量函数增量y的准确表达式的准确表达式.即即在由在由 与与 构成的区间上应用，则有构成的区间上应用，则有由由LagrangeLagrange中值定理可知中值定理可知例例2解解因为因为所以所以即即所以所以 即为所求。即为所求。练习练习解答解答推论推论1推论推论2若函数若函数在在内可导，且对于内可导，且对于有有，则在，则在内内例例1 证明证明证明证明 令令则则 在在 内满足内满足Lagrange中值定理中值定理而而所以所以而而所以所以练习练习证证证毕证毕构造有关的函数构造有关的函数确定应用区间确定应用区间应用应用Lagrange定理定理计算导数后的等式计算导数后的等式转化为不等式转化为不等式例例2解解所以所以即即所以所以解题思路：解题思路：小结小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理之间的关系罗尔定理、拉格朗日中值定理之间的关系:注意注意定理成立的条件定理成立的条件；这些中值定理是这些中值定理是连接函数与导数的桥梁连接函数与导数的桥梁；练练 习习 题题