2.1.2合情推理之类比推理.ppt

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1、推理与证明推理与证明推理推理证明证明直接证明直接证明间接证明间接证明演绎推理演绎推理合情推理合情推理类比推理类比推理归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理定义定义 根据一个或几个已知的判断来确定一根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫个新的判断的思维过程就叫推理推理.已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结

2、论简言之：由简言之：由部分部分到到整体整体，由，由个别个别到到一般一般的推理的推理1、定义、定义归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立 自学检测自学检测C除了归纳，在人们的创造发明活动中，还除了归纳，在人们的创造发明活动中，还除了归纳，在人们的创造发明活动中，还除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：常常应用类比。例如：常常应用类比。例如：常常应用类比。例如：2.2.

3、人们仿照鱼类的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯4、火星上是否存在生命？、火星上是否存在生命？引入：引入：3.3.苍蝇的眼睛是一种苍蝇的眼睛是一种“复眼复眼”，由，由30003000多只小眼组成，人们模仿它制多只小眼组成，人们模仿它制成了成了“蝇眼透镜蝇眼透镜”，一次就能，一次就能照出千百张相同的相片。照出千百张相同的相片。可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生

4、物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴

5、自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？首先，首先，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后，然后，从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星从地球的一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有这个特征。也可能具有这个特征。A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,dB类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.由由两类对象两类对象具有具有某些某些类似特征类

6、似特征和其中和其中一类对象的一类对象的某些某些已知特征已知特征,推出推出另一类对另一类对象也象也具有具有这些特征这些特征的推理称为的推理称为类比推理类比推理.注意：（注意：（1）类比推理是由）类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 （2）类比推理的）类比推理的结论结论不一定成立不一定成立.（3 3）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性物的特殊属性.例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等

7、。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。类比推理的结论不一定成立类比推理的结论不一定成立.推广：推广：平面向量平面向量空间向量空间向量若若 ，则则 若若 ，则则 2.2.利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和3.利用等差数列性质类比等比数列性质利用等差数列性质类比等比数列性质等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质n+m=p+q时时,am+an=ap+aqn+m=p+q时时,aman=apaq任意实数任意

8、实数a、b都有等都有等差中项差中项，为，为当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项，为，为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比例例2.成立D【练习练习】1、推测推测2、（书习题）（书习题）在等差数列在等差数列an中，若中，若 a10=0，则，则 a1+a2+an=a1+a2+a19-n(nAC，类似类似地在四面体地在四面体P-ABC中中 有有 .PABCS1S2S3PAB的面积为的面积为S 课堂检测：课堂检测：1.1.若三角形内切圆半径为若三角形内切圆半径为 ,三边长为三边长为 则则三角形的面积为三角形的面积为

9、,根根据类比思想据类比思想,若空间四面体内切球的半径为若空间四面体内切球的半径为 ,四个面的面积分别为四个面的面积分别为 ,则四则四面体的体积为面体的体积为 变式训练变式训练s1s2s3分析分析1.1.如图，在平行四边形如图，在平行四边形 中，有中，有 那么，在平行六面体那么，在平行六面体 中，有中，有 练习：练习：运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象（2004广东，广东，15）由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)总结：总结：1.进行类比推理的进行类比推理的步骤步骤：(1)找出两类对象之

10、间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理类比推理类比推理类比推理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的

11、结果，具有的结果，具有发现的功能发现的功能由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意2、类比推理、类比推理由由由由特殊特殊特殊特殊到到到到特殊特殊特殊特殊的推理的推理的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.1、归纳推理、归纳推理由由由由部分部分部分部分到到到到整体整体整体整体、特殊特殊特殊特殊到到到到一般一般一般一般的推理的推理的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观

12、察分析为基础,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;比较两个推理：比较两个推理：合合情情推推理理 小结小结归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.归纳推理归纳推理归

13、纳推理归纳推理和和类比推理类比推理类比推理类比推理都是根据已有的事实都是根据已有的事实,经过观经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理合情推理合情推理.合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论情推理常常能帮助我们猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向能为我们提供证明的思路和方向.3、(2005年全国

14、年全国)计算机中常用的十六进位制是逢计算机中常用的十六进位制是逢16进进1的的计算制，采用数字计算制，采用数字0-9和字母和字母A-F共共16个计数符号，这些符个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用例如用16进位制表示进位制表示+1，则，则（）（）十六进位十六进位9十进位十进位9101112131415E E题型题型4.类比方法类比方法 有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生

15、的问题，在求解时，要注意知识的迁移。法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移。例例4.若点若点P是正四面体是正四面体 的面的面BCD上一点，且上一点，且P到另三个面的距离分别为到另三个面的距离分别为h1,h2,h3，该正四面体的高，该正四面体的高为为h，则（，则（）分析：分析：由点由点P是正三角形是正三角形ABC的边的边BC上一点，且到另两上一点，且到另两边的距离分别为边的距离分别为h1和和h2，正三角形，正三角形ABC的高为的高为h，由面，由面积相等很快可以得到积相等很快可以得到h=h1+h2；于是，类比方法

16、，平面；于是，类比方法，平面上用面积，空间中用体积，立即可得答案为上用面积，空间中用体积，立即可得答案为B题型3.类比性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者手，产生的类比推理型问题；求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解之间的联系与区别，深入思考两者的

17、转化过程是求解之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键。的关键。的关键。的关键。例例3.我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若心连线与该弦垂直；那么，若心连线与该弦垂直；那么，若心连线与该弦垂直；那么，若椭圆椭圆椭圆椭圆b b2 2x x2 2+a a2 2y y2 2=a a2 2b b2 2的一的一的一的一条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你条弦中点与原点连线及弦所在直

18、线的斜率均存在，你条弦中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明。能得到什么结论？请予以证明。能得到什么结论？请予以证明。能得到什么结论？请予以证明。分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都分析：假若弦的斜率与弦的中点和圆心连线的斜率都存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为存在，由于两线垂直，我们知道斜率之积为1；对于；对于方程方程 ，（若，（若a=b，则方程即为圆的，则方程即为圆的方程）由此可以猜测两斜率之积为方程）由此可以猜测两斜率之积为 。证明：证明：设弦设弦AB的两端点的坐标分别为的两端点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为中点为P，则

19、由点差法得：，则由点差法得：题型题型题型题型5.5.类比类比类比类比“陷阱陷阱陷阱陷阱”类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完类比推理是一种很好、很重要的推理，为使这种推理更严谨、更完美，有时也会故意设计一些让你美，有时也会故意设计一些让你美，有时也会故意设计一些让你美，有时也会故意设计一些让你“误入歧途误入歧途误入歧途误入歧途”的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。的类比推理型陷阱题。例例例例5.平面几何中有平面几何中有平面几何中有平面

20、几何中有“一个角的两边分别垂直于另一个一个角的两边分别垂直于另一个一个角的两边分别垂直于另一个一个角的两边分别垂直于另一个角的两边则两角相等或互补角的两边则两角相等或互补角的两边则两角相等或互补角的两边则两角相等或互补”；在立几；在立几；在立几；在立几“当一个二面当一个二面当一个二面当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时面时面时面时”，两二面角（，两二面角（，两二面角（，两二面角（）A.A.互补互补互补互补 B.B.相等相等相等相等 C

21、.C.互补或相等互补或相等互补或相等互补或相等 D.D.此两二面角的关系不定此两二面角的关系不定此两二面角的关系不定此两二面角的关系不定分析：分析：平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的平几中的这个结论有很大的误导性，建立在这个结论的基础上，也许会不知不觉基础上，也许会不知不觉“上当上当”误选答案（误选答案（C）；）；其实，正确答案为其实，正确答案为 ，作一个图形作一个图形就可以发现结论。就可以发现结论。（D）练练1、平面与空间中的余弦定理：、平面与空间中的余弦定理：见书阅读材料见书阅读材料平面：平面：三角形三角形ABC中，中，空间：空间：四面体四面体A-BCD中，中，设二面角设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为的大小依次为3.如图，已知如图，已知O是是 ABC内任意一点，内任意一点，连接连接AO、BO、CO，并延长交对边，并延长交对边 于于A、B、C，则，则 其证明方法常用面积法。其证明方法常用面积法。通过类比推理，可以猜测怎样的结论？通过类比推理，可以猜测怎样的结论？OABCA B C