2.1导数的概念52769.ppt

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1、2.1导数的概念导数的概念1.导数概念导数概念2.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义3.可导与连续的关系可导与连续的关系4.判断可导性判断可导性不连续，一定不可导不连续，一定不可导连续连续直接用定义直接用定义看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.完完一、引言一、引言从从 15 世纪初文艺复兴时期起世纪初文艺复兴时期起,欧洲的工业、农欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展,形成形成了一个新的经济时代了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲而十六世纪的欧洲,正处在正处在资本主义萌芽时期资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展

2、生产力得到了很大的发展.生产生产实践的发展对自然科学提出了新的课题实践的发展对自然科学提出了新的课题,力学、天文学等基础科学的发展力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是而这些学科都是深刻依赖于数学的深刻依赖于数学的,因而也推动了数学的发展因而也推动了数学的发展.在各在各类学科对数学提出的种种要求中类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导下列三类问题导迫切要求迫切要求引言引言类学科对数学提出的种种要求中类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导下列三类问题导致了微分学的产生致了微分学的产生:(1)(2)(3)这三类实际问题的现实原型这三类实际问题的现实原型谓谓函数的变化率函数的变化率

3、问题问题.牛顿从第一个问题出发牛顿从第一个问题出发,尼茨从第二个问题出发尼茨从第二个问题出发,为为莱布莱布完完在数学上都可归结在数学上都可归结函数相对于自变量变化而变化的快慢程度函数相对于自变量变化而变化的快慢程度,即所即所分别给出了导数的概念分别给出了导数的概念.求变速运动的瞬时速度求变速运动的瞬时速度;求曲线上一点处的切线求曲线上一点处的切线;求最大值和最小值求最大值和最小值.一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置

4、M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率3产品总成本的变化率产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量x的函数,即当产量由变到,总成本的相应的变化 为:总成本的平均变化率为:若存在,则称此极限是产量 为时的总成本的变化率.二、导数的定义二、导数的定义定义定义设函数设函数 在点在点 的某个领域内有定的某个领域内有定义义,当自变量当自变量 在在 处取得增量处取得增量 (点点 仍在仍在该领域内该领域内)时时,相应地函数相应地函数 取得增量取得增量若若 与与 之比当之比当时的极限存在时的极限存在,处可导处可导,并称这个极限为函数并称这个极限为函数 在点在点 处处的导数的导数,记为记为则称

5、函数则称函数 在点在点或或即即导数定义的其它形式导数定义的其它形式:令令令令完完关于导数的几点说明关于导数的几点说明它反映了它反映了因变量随自变量的变化而变化的因变量随自变量的变化而变化的快慢快慢程度程度;(1)(2)就称函数就称函数 在开区间在开区间 内可导内可导;(3)且且 及及都存在都存在,就称就称 在闭区间在闭区间 上可导上可导;(4)都对应着都对应着 的一个确定的导数值的一个确定的导数值,个函数叫做原来函数个函数叫做原来函数 的的导函数导函数,记作记作导导,这这点导数是因变量在点点导数是因变量在点 处的变化率处的变化率,如果函数如果函数 在开区间在开区间 内的每点处都可内的每点处都可

6、如果如果 在开区间在开区间 内可导内可导,或或注意注意:(i)(ii)的逼近函数的逼近函数.导函数导函数(瞬时变化率瞬时变化率)是是函数平均变化率函数平均变化率利用定义求导数与求极限利用定义求导数与求极限1.(1)(2)(3)例例 1求函数求函数 在在 处的导数处的导数2.按定义求导的基本步骤按定义求导的基本步骤:求函数的增量求函数的增量求两增量的比值求两增量的比值求极限求极限利用导数定义求极限利用导数定义求极限:(a)或或(b)要注意保持在定义中的三处要注意保持在定义中的三处 与与 (对式对式(a)减号的位置减号的位置.三处三处 与与 (对式对式(b)的一致性的一致性,或或及定义中加号和及定

7、义中加号和利用定义求导数与求极限利用定义求导数与求极限例例 2 试按导数定义求下列各极限试按导数定义求下列各极限(假设各极限均假设各极限均存在存在):其中其中三、左右导数三、左右导数函数函数 在点在点 处导数处导数增量与自变量的增量比值的极限增量与自变量的增量比值的极限,因而根据左右因而根据左右极限的概念极限的概念概念概念:左导数左导数右导数右导数实质上是函数在这点的实质上是函数在这点的下列方式引入左右导数的下列方式引入左右导数的我们可按我们可按左右导数左右导数右导数右导数定理定理 1函数函数 在点在点 处可导处可导左导数左导数和右导数和右导数 都存在且相等都存在且相等.注注:该定理常被用于判

8、定分段函数在分段点处该定理常被用于判定分段函数在分段点处是否可导是否可导.例例3解解求函数求函数处的处的导数导数.在在当当时时,故故当当时时,故故由由得得完完例例4 求函数求函数的的导数导数.解解即即四、用定义计算导数用定义计算导数例例5 5 设函数设函数求求及及解解即即完完例例6解解求函数求函数的的导数导数.即即更一般地更一般地例如例如,完完例例7解解求函数求函数的的导数导数.即即完完例例*解解求函数求函数的的导数导数.即即五、五、导数的几何意义导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程

9、:法线方程法线方程:例例8解解求曲线求曲线在点在点处的切线处的切线方程方程.因为因为故所求切线故所求切线方程为方程为即即完完六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系定理定理如果函数如果函数 在点在点 可导可导,则它在点则它在点 处处连续连续.证证因为函数因为函数 在点在点 可导可导,所以所以于是于是(当当 ),证毕证毕.故函数故函数 在点在点 连续连续.注注:但在该点不一定可导但在该点不一定可导(参见后面例子参见后面例子).该定理的逆命题不成立该定理的逆命题不成立.即函数在某点连续即函数在某点连续,例例9解解讨论函数讨论函数在在处的连续性与可处的连续性与可导性导性.即即所以函数所以函数在在点不

10、可导点不可导.证毕证毕.注注:一般一般地地,若曲线若曲线的图形在点的图形在点处出现处出现尖点尖点,则它在该点则它在该点不可导不可导.例例10解解求函数求函数处的连处的连在在续性与可导性续性与可导性.是是有界函数有界函数,处的处的连续连续.在在处有处有但在但在当当时时,之间振荡之间振荡在在和和处不可导处不可导.在在而极限不存在而极限不存在,内容小结内容小结1.导数概念导数概念2.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义3.可导与连续的关系可导与连续的关系4.判断可导性判断可导性不连续，一定不可导不连续，一定不可导连续连续直接用定义直接用定义看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.完完