2.1数列的概念与简单表示(第1-2课时).ppt

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1、第二章第二章 数数 列列第一课时第一课时 2.1 2.1 数列的概念与简单表示数列的概念与简单表示 问题提出问题提出1.1.到目前为止，第到目前为止，第2929届北京奥运会届北京奥运会,中国，中国，美国，英国，澳大利亚，韩国，美国，英国，澳大利亚，韩国，所获所获得的金牌数分别是多少？中国队所获得得的金牌数分别是多少？中国队所获得的金牌、银牌、铜牌数分别是多少？的金牌、银牌、铜牌数分别是多少？2.2.如果在某次数学考试中，甲、乙、丙、如果在某次数学考试中，甲、乙、丙、丁的成绩依次是丁的成绩依次是9090，8585，9595，78.78.在另在另一次数学考试中，甲、乙、丙、丁的成一次数学考试中，甲

2、、乙、丙、丁的成绩依次是绩依次是8585，9595，9090，78.78.那么这两次考那么这两次考试的结果一样吗？试的结果一样吗？3.3.在大自然中，不同类型的花卉，其花在大自然中，不同类型的花卉，其花瓣数量也不全相同，如百合花瓣数量也不全相同，如百合花3 3瓣，梅花瓣，梅花5 5瓣，飞燕草瓣，飞燕草8 8瓣，万寿菊瓣，万寿菊1313瓣等，你能瓣等，你能看出这几个数字呈现了什么数学规律吗看出这几个数字呈现了什么数学规律吗？4.4.生活离不开数字，在特定背景下研究生活离不开数字，在特定背景下研究数字的排列或变化规律，也就成为一个数字的排列或变化规律，也就成为一个数学问题，我们将对此作些了解和学习

3、数学问题，我们将对此作些了解和学习.知识探究（一）：知识探究（一）：数列的基本概念数列的基本概念 思考思考1 1：从从19841984年洛杉矶奥运会到年洛杉矶奥运会到20082008年年北京奥运会，中国体育代表团每届获得北京奥运会，中国体育代表团每届获得的金牌数，按先后次序排成怎样的一列的金牌数，按先后次序排成怎样的一列数？数？思考思考2 2：在某次庆典活动中，举办方为了在某次庆典活动中，举办方为了加大保洁力度，在加大保洁力度，在1km1km长的路段上从起点长的路段上从起点开始，每隔开始，每隔10kn10kn放置一个垃圾桶放置一个垃圾桶.那么由那么由近到远各垃圾桶与起点的距离排成怎样近到远各垃

4、圾桶与起点的距离排成怎样的一列数？的一列数？思考思考3 3：某种放射性物质不断变化为其他某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来物质，每经过一年剩留的质量约是原来的的84%84%，设这种物质最初的质量为，设这种物质最初的质量为1 1，那，那么该物质各年开始时的剩留量依次排成么该物质各年开始时的剩留量依次排成怎样的一列数？怎样的一列数？思考思考4 4：传说古希腊毕达哥拉斯学派的数传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字在沙滩上画点或用小石子来表示数字.下下图中各三角形分别表示哪些数？这些

5、数图中各三角形分别表示哪些数？这些数有什么排列规律吗？有什么排列规律吗？思考思考5 5：下图中各正方形分别表示哪些数下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关？这些数与相应正方形的序号有什么关系？系？思考思考6 6：在上述问题中，若抛开具体背景在上述问题中，若抛开具体背景抽象数字特征，所得到的每一列数都称抽象数字特征，所得到的每一列数都称为为数列数列，那么数列应如何定义？，那么数列应如何定义？按照一定顺序排列着的一列数称为数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列思考思考7 7：将相同的一组数按不同顺序排列将相同的一组数按不同顺序排列时，所得到的数列是否为同一个数列？时，所得到

6、的数列是否为同一个数列？思考思考8 8：由数字由数字1 1，2 2，3 3，4 4一共可以组成一共可以组成多少个不同的数列？多少个不同的数列？知识探究（二）：知识探究（二）：数列的相关概念数列的相关概念 思考思考1 1：数列中的每一个数叫做这个数列数列中的每一个数叫做这个数列的的项项.数列中的每一项都和它的序号有关，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第排在第一位的数称为这个数列的第1 1项项（通常也叫做（通常也叫做首项首项），排在第二位的数），排在第二位的数称为这个数列的第称为这个数列的第2 2项项，排在第，排在第n n位位的数称为这个数列的第的数称为这个数列的第n

7、n项项.如果用如果用a ak k表表示数列的第示数列的第k k项，那么数列一般形式可以项，那么数列一般形式可以怎样表示？怎样表示？简记为简记为aan n 思考思考3 3：对于不同的数列，其项数有多有对于不同的数列，其项数有多有少，根据项数多少的不同，数列可分为少，根据项数多少的不同，数列可分为哪几种类型？分别叫什么名称？哪几种类型？分别叫什么名称？项数有限的数列叫做有穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列项数无限的数列叫做无穷数列.思考思考4 4：数列中各项的大小是可以变化的，数列中各项的大小是可以变化的，在一个数列中，各项的数可以重复吗？在一个数列中，各项的数可以重复

8、吗？思考思考5 5：根据数列中各项大小的变化规律，根据数列中各项大小的变化规律，数列又可分为哪几种类型？分别叫什么数列又可分为哪几种类型？分别叫什么名称？名称？递增数列：递增数列：从第从第2 2项起，每一项都大于它的前项起，每一项都大于它的前一项的数列；一项的数列；递减数列：递减数列：从第从第2 2项起，每一项都小于它的前项起，每一项都小于它的前一项的数列；一项的数列；摆动数列：摆动数列：从第从第2 2项起，有些项大于它的前一项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；项，有些项小于它的前一项的数列；常数列：常数列：各项都相等的数列各项都相等的数列.思考思考6 6：如何用数学式子表

9、示递增数列、如何用数学式子表示递增数列、递减数列和常数列？递减数列和常数列？递增数列：递增数列：递减数列：递减数列：常数列：常数列：思考思考7 7：由数组成的集合称为数集，那么由数组成的集合称为数集，那么数列与数集有什么区别？数列与数集有什么区别？思考思考8 8：将所有正奇数按从小到大的顺序将所有正奇数按从小到大的顺序组成数列：组成数列：1 1，3 3，5 5，7 7，.这个数列这个数列的第的第n n项是什么？项是什么？思考思考9 9：我们把我们把a an n=2n=2n1 1称为数列：称为数列：1 1，3 3，5 5，7 7，的的通项公式通项公式，一般地，数列，一般地，数列的通项公式是什么概

10、念？的通项公式是什么概念？如果数列的第如果数列的第n n项与序号项与序号n n之间的关系可之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即用序号做这个数列的通项公式，即用序号n n表示表示第第n n项项a an n的一个代数式的一个代数式.思考思考1010：对任意给定的一个数列都能写对任意给定的一个数列都能写出其通项公式吗？同一个数列的通项公出其通项公式吗？同一个数列的通项公式的外在形式是否唯一？式的外在形式是否唯一？理论迁移理论迁移 例例1 1 判断下面的数列哪些是递增数列、判断下面的数列哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？递减

11、数列、常数列、摆动数列？（1 1）全体自然数构成数列：）全体自然数构成数列：0 0，1 1，2 2，3 3，.（2 2）1996199620022002年某市普通高中生人数年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列：（单位：万人）构成数列：8282，9393，105105，119119，129129，130130，132.132.（3 3）无穷多个）无穷多个3 3构成数列：构成数列：3 3，3 3，3 3，3 3，.（4 4）目前通用的人民币面额按从大到小）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）：的顺序构成数列（单位：元）：100100，5050，2020，1010，5 5，

12、2 2，1 1，0.50.5，0.20.2，0.10.1，0.050.05，0.020.02，0.01.0.01.（5 5）1 1的的1 1次幂，次幂，2 2次幂，次幂，3 3次幂，次幂，4 4次次幂幂构成数列：构成数列：1 1，1 1，1 1，1 1，.（6 6）的精确到的精确到1 1，0.10.1，0.010.01，0.0010.001，的不足近似值与过剩近似值分别，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列：构成数列：1 1，1.41.4，1.411.41，1.4141.414，；2 2，1.51.5，1.421.42，1.4151.415，.例例2 2 写出下面数列的一个通项公式，写出下面数

13、列的一个通项公式，使它的前使它的前4 4项分别是下列各数项分别是下列各数.（1 1）1 1，,；（2 2）2 2，0 0，2 2，0 0，.（3 3）3 3，5 5，7 7，9 9，；（4 4）2 2，4 4，8 8，1616，.例例3 3 根据下面数列根据下面数列aan n 的通项公式，的通项公式，写出其前写出其前5 5项：项：(1);(1);(2).(2).例例4 4 已知数列已知数列aan n 的通项公式的通项公式为为 ，试判断，试判断 和和 是不是它是不是它的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？小结作业小结作业1.1.数列源于记数，它强调数的排列顺序，数列源于记数，它强调数的

14、排列顺序，两个数列相同当且仅当组成数列的各数两个数列相同当且仅当组成数列的各数相同，且排列顺序一致相同，且排列顺序一致.2.2.数列的类型是根据不同的分类标准来数列的类型是根据不同的分类标准来划分的，同一类型的数列都具有某种共划分的，同一类型的数列都具有某种共同性质，其中递增数列和递减数列统称同性质，其中递增数列和递减数列统称为单调数列为单调数列.3.3.数列由其通项公式所确定，由数列的数列由其通项公式所确定，由数列的前几项写通项公式，就是找出数列的各前几项写通项公式，就是找出数列的各项随项数变化的内在规律，在数学上是项随项数变化的内在规律，在数学上是一种不完全归纳法一种不完全归纳法.对于一个

15、给定的数列，对于一个给定的数列，其通项公式的外在形式可能不唯一，也其通项公式的外在形式可能不唯一，也可能用初等方法不能写出其通项公式可能用初等方法不能写出其通项公式.作业：作业：P31P31练习：练习：4.4.P33P33习题习题2.1A2.1A组：组：1 1，2 2，3.3.第二章第二章 数数 列列第二课时第二课时 2.1 2.1 数列的概念与简单表示数列的概念与简单表示 问题提出问题提出1.1.数列的定义是什么？数列的定义是什么？按照一定顺序排列着的一列数称为数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列2.2.有穷数列、无穷数列、递增数列、递有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、摆动数列、常数

16、列分别有什么减数列、摆动数列、常数列分别有什么含义？含义？3.3.什么叫数列的通项公式？如何理解一什么叫数列的通项公式？如何理解一个数列与其通项公式的对应关系？个数列与其通项公式的对应关系？如果数列的第如果数列的第n n项与序号项与序号n n之间的关系可之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即用序号做这个数列的通项公式，即用序号n n表示表示第第n n项项a an n的一个代数式的一个代数式.4.4.数列的通项公式是表示数列的一种方数列的通项公式是表示数列的一种方法，但不是唯一方法，对此，我们将作法，但不是唯一方法，对此，我们将作

17、进一步探究进一步探究.知识探究（一）：知识探究（一）：数列与函数的关系数列与函数的关系 思考思考1 1：数列中的项与项的序号是一种对数列中的项与项的序号是一种对应关系？这种对应关系是函数吗？应关系？这种对应关系是函数吗？思考思考2 2：数列是一种特殊的函数，数列的数列是一种特殊的函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，数列的通项公式相当于函数的解析式，数列的各项就是当自变量从小到大依次取值时各项就是当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，那么，这种函数所对应的一列函数值，那么，这种函数的定义域是什么？的定义域是什么？正整数集正整数集N*N*或其有限子集或其有限子集 11，2 2，3 3，

18、nn思考思考3 3：函数函数 与与 ，当，当x x依依次取次取1 1，2 2，3 3，时，其函数值构成的数时，其函数值构成的数列各有什么特点？列各有什么特点？思考思考4 4：函数有哪几种表示法？相应地函数有哪几种表示法？相应地数列有哪几种表示法？数列有哪几种表示法？通项公式法、列表法、图象法通项公式法、列表法、图象法.思考思考5 5：数列的图象有什么特点？数列的图象有什么特点？位于第一象限内一群孤立的点（离散点）位于第一象限内一群孤立的点（离散点）.思考思考6 6：数列数列 ，和数列和数列 ,用通项公式用通项公式法分别怎样表示？法分别怎样表示？知识探究（二）：知识探究（二）：数列的递推公式数列

19、的递推公式 思考思考1 1：有有5 5个猴子共同分享一堆苹果，个猴子共同分享一堆苹果，它们先后来到苹果前，第一个猴子将所它们先后来到苹果前，第一个猴子将所有苹果平均分成有苹果平均分成5 5份，还剩份，还剩1 1个，丢掉，个，丢掉，自己拿走其中自己拿走其中1 1份；第二个猴子又将余下份；第二个猴子又将余下的苹果平均分成的苹果平均分成5 5份，还剩份，还剩1 1个，丢掉，个，丢掉，自己拿走其中自己拿走其中1 1份份；依次类推；依次类推.那么第那么第n n个猴子与第个猴子与第n n1 1（n2n2）个猴子所得的）个猴子所得的苹果数应满足什么关系？苹果数应满足什么关系？思考思考2 2：如果数列如果数列

20、aan n 满足满足 ，那么数列，那么数列aan n 是否是否确定？确定？思考思考3 3：上述给出数列的方法叫做上述给出数列的方法叫做递推法递推法，其中其中 称为递推公式，一称为递推公式，一般地，数列的递推公式是什么概念？般地，数列的递推公式是什么概念？数列的项与项之间的数列的项与项之间的关系式称为递推公式关系式称为递推公式思考思考4 4：递推法表示数列需要哪些要素？递推法表示数列需要哪些要素？初始项和递推公式初始项和递推公式 思考思考5 5：数列数列1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，2121，3434，5555，8989，称为，称为斐波那契数列斐波那契数列，该数列的递

21、推公式是什么？用递推法如该数列的递推公式是什么？用递推法如何表示这个数列？何表示这个数列？思考思考5 5：称为数列称为数列aan n 的前的前n n项和，记作项和，记作S Sn n，那么，那么S Sn n1 1表示什表示什么？么？a an n，S Sn n，S Sn n1 1三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？例例1 1下图中的三角形称为下图中的三角形称为谢宾斯基三谢宾斯基三角形角形，在下图四个三角形中，着色三角，在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前形的个数依次构成一个数列的前4 4项，项，写出这个数列的一个通项公式，并在直写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画

22、出它的图象角坐标系中画出它的图象.理论迁移理论迁移 例例2 2 设数列设数列aan n 满足满足 ，写出这个数列的前写出这个数列的前5 5项项.例例3 3 已知数列已知数列aan n 满足满足 求这个数列的通项公式求这个数列的通项公式.例例4 4 已知数列已知数列aan n 满足满足 ,求这个数列的通项求这个数列的通项公式公式.1.1.数列是一种特殊的函数，其特殊性主数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在函数的自变量只能依次取正整要体现在函数的自变量只能依次取正整数数.小结作业小结作业2.2.表示数列的方法有通项公式法、列表表示数列的方法有通项公式法、列表法、图像法、递推法四种，其中通项公法、图像法、递推法四种，其中通项公式法和递推法是最常用的方法，并且二式法和递推法是最常用的方法，并且二者可以相互转化者可以相互转化.3.3.数列的递推公式是反映数列相邻几项数列的递推公式是反映数列相邻几项的关系式，根据数列的递推公式和初始的关系式，根据数列的递推公式和初始项求数列的通项公式，是数列问题的一项求数列的通项公式，是数列问题的一个重要题型，它有许多方法和技巧，需个重要题型，它有许多方法和技巧，需不断总结不断总结.作业：作业：P33P33习题习题2.1A2.1A组：组：4 4，5 5，6.6.