2.3等差数列的前n项和09512.ppt

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1、 1+2+3+100=？高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101，第3 项与倒数第3项的和：3+98=101，第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。这个问题，德国著名数学家高斯（1777年1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）问题呈现 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟

2、壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项1

3、1看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。进而提出有无简单的方法？探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？123212120191获得算法：探究探究1+2+3+1+2+3+n+n的问题的问题,得到如下算式得到如下算式1+2 +3 +n-1 +n n +n-1 +n-2 +2 +1(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)可知可知1+2+3+n=进

4、一步探究等差数列进一步探究等差数列 的前的前n n项和的问题项和的问题S n =a1 +a2 +a3 +anS n =an +an-1 +an-2 +a12S n =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)由此可得等差数列由此可得等差数列 的前的前n项和公式项和公式:由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d两个公式的共同点是需知两个公式的共同点是需知 a1 1和和 n n，不同点是前者还需知不同

5、点是前者还需知 an，后者还需知后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。1、等差数列中a1=5，an=95，n=10，Sn=；2、等差数列中a1=100，d=-2，n=50,则Sn=；3、等差数列中a1=14.5，d=0.7，an=32，则Sn=；4、等差数列5，4，3，2，前 项和为-30；抢答题5002550604.5 15 抢答题练习1公式法 已知数列的前n项和求通项公式时,通常用公式 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”，即分段式，另一种是“合二为一”，即 和合为一个表达式例4己知等差数列 5,4 ,3 ,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.解:由题意知,等差数列5,4 ,3 ,的公差为 ,所以Sn=25+(n-1)()=(n-)2+