2-1导数的概念64000.ppt

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家 Fermat 在研究极值问题中提出.英国数学家 Newton1导数的概念导数的概念 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为学上都可归结为函数的变化率函数的变化率问题，即问题，即

2、导数。导数。导数导数和和微分微分是继是继连续性连续性之后，函数研究的进一步之后，函数研究的进一步深化。深化。导数导数反映的是因变量相对于自变量反映的是因变量相对于自变量变化的快慢变化的快慢程程度和度和增减增减情况情况;微分微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上上变化多少变化多少。2一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数2-1 2-1 导数的概念导数的概念 3一、引例一、引例1.自由落体运动的自由落体运动的瞬时速度瞬时速度问题问

3、题如图如图,取极限得取极限得注：注：上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也适用。上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也适用。4如果如果割线割线MN绕点绕点M旋转旋转而趋向极限位置而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处处的的切线切线.极限位置即极限位置即2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线演示实验5两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比

4、的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题6二、导数的定义二、导数的定义1、定义、定义.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.7注：注：若上述极限不存在,就说函数在点 不可导.若也称在的导数为无穷大.极限不存在的情况：极限不存在的情况：1）摆动）摆动 2）趋于无穷）趋于无穷3）左右极限不等）左右极限不等单侧导数单侧导数8在点的某个右右 邻域内2、单侧导数若极限则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作(左左)(左左)定义定义.设函数有定义,存在,对比：左极限对比：左极限=右极限右极限极限存在极限存在单侧导数演示实验9例例解解103、

5、导函数11注：注：即：函数在一点的导数值=导函数在该点的函数值12三、可导与连续的关系三、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证13注：注：该定理的逆定理不成立，即连续不一定可导该定理的逆定理不成立，即连续不一定可导.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例0例如例如,14例如例如,0115例如例如,011/1/1617例例解解18四、导数的几何意义和物理意义四、导数的几何意义和物理意义曲线在点若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:1.几何意义几何意义192

6、.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.20五、由定义求导数（三步法）五、由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例1 1解解即即21例例2 2解解即即类似可得类似可得22例例3 3解解更一般地更一般地例如例如,即即23例例4 4解解特别地特别地即即24例例5 5解解特别地特别地即即25例

7、例6.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线26小结小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.27P1301(2),2(3),3,4(3,6)作作 业业28补例补例.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.29