2.1.1合情推理最后修订78793.ppt

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1、推理与证明推理与证明推理推理证明证明直接证明直接证明间接证明间接证明演绎推理演绎推理合情推理合情推理类比推理类比推理归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理福福尔尔摩摩斯斯柯南柯南4.北军不善水战1.今夜恰有大雾2.曹操生性多疑3.弓弩利于远战草船借箭必将成功我们来推测诸葛亮“先生”的推理过程:一、推理定义一、推理定义 根据一个或几个已知的判断根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫来确定一个新的判断的思维过程就叫推理推理.已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030

2、 131317176 6 6 63+33+33+33+3，8 8 8 83+5,3+5,3+5,3+5,101010105+5,5+5,5+5,5+5,100010001000100029+97129+97129+97129+971，1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想：哥德巴赫猜想：任何一个不小于任何一个不小于任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶的偶的偶的偶数都等于两个奇质数的和数都等于两个奇质数的和数都等于两个奇质数的和数都等于两个奇质数的和.引入引入引入引入1.1.数学皇冠上璀璨

3、的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数哥德巴赫是德国一位中学哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数教师，也是一位著名的数学家，生于学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学年当选为俄国彼得堡科学院院士。院院士。17421742年，哥德巴年，哥德巴赫在教学中发现赫在教学中发现 公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫(Goldbach)(Goldbach)写信

4、告诉了当时的大数学家欧拉写信告诉了当时的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，欧拉在欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如

5、证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.等等。有等等。有人对人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立。但验之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想都成立。但验证的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上证的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。成千上万数学家的注意。200200年

6、过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠明珠”。到了。到了2020世纪世纪2020年代，才有人开始年代，才有人开始向它靠近。向它靠近。目前最佳的结果是中国数学家陈景润目前最佳的结果是中国数学家陈景润于于19661966年证明的，称为陈氏定理年证明的，称为陈氏定理 。“任任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1+2

7、 1+2”的形式。的形式。哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和(简称简称“s+t s+t”问题问题)之进展情况如下之进展情况如下:19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun)(Brun)证明了证明了 “9+9 9+9”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher)(Rademacher)证明了证明了“7+7 7+7”。19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Esterman

8、n)(Estermann)证明了证明了 “6+6 6+6”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei)(Ricei)先後证明了先後证明了“5+7 5+7”,“4+9 4+9”,“3+15 3+15”和和“2+366 2+366”。19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了“5+5 5+5”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了 “4+4 4+4”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi)(Renyi)证明了证明了“1+c

9、 1+c”，其中，其中c c是一很大的自然数。是一很大的自然数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “3+4 3+4”。19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了 “3+3 3+3”和和 “2+3 2+3”。19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)(BapoaH)证明了证明了 “1+5 1+5”，中国中国的王元证明了的王元证明了“1+4 1+4”。19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB)(

10、BHHopappB)，及，及 意大利的朋比利意大利的朋比利(Bombieri)(Bombieri)证明了证明了“1+3 1+3”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “1+2 1+2”。最终会由谁攻克最终会由谁攻克 “1+1 1+1”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 凸凸n边形边形内角和为内角和为第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数

11、为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别蛇类是用肺呼吸的鳄鱼是用肺呼吸的海龟是用肺呼吸的蜥蜴是用肺呼吸的爬行动物都是用肺呼吸的整整 体体一一 般般引入引入2：由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理,或者由或者由 概括出概括出 的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理(简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论注意注意注意注意：（：（：（：（1 1）归纳归纳归纳归纳是是是是由部分到整体由部分到整体由部分到整体由部分到整体,从从从从个别到一般个别

12、到一般个别到一般个别到一般的的的的推理推理推理推理.（2 2）归纳归纳归纳归纳是立足于是立足于观察、经验观察、经验观察、经验观察、经验、实验实验实验实验和和对有限资料分析对有限资料分析对有限资料分析对有限资料分析的基础的基础的基础的基础上，提出带有上，提出带有规律性规律性规律性规律性的的结论结论结论结论.所以结论所以结论未必可靠未必可靠，仅仅是一种仅仅是一种猜想猜想。需证明需证明合情推理是冒险的，有争议的合情推理是冒险的，有争议的和暂时的波利亚和暂时的波利亚 1.1.已知数列已知数列已知数列已知数列 的第一项的第一项的第一项的第一项 =1,=1,且且且且 (1 1，2 2，3 3，)，请归纳出

13、这个数列的通项，请归纳出这个数列的通项，请归纳出这个数列的通项，请归纳出这个数列的通项公式为公式为公式为公式为_._.2.2.对于数列对于数列对于数列对于数列1,3,5,7,1,3,5,7,由此你猜想出第由此你猜想出第由此你猜想出第由此你猜想出第 个数是个数是个数是个数是_._.3.观察右图观察右图,可以发现可以发现:_.1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，4.4.数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数F F、顶点数、顶点数、顶点数、顶点数V V和棱数和棱

14、数和棱数和棱数E,E,然后然后然后然后探求面数探求面数探求面数探求面数F F、顶点数、顶点数、顶点数、顶点数V V和棱数和棱数和棱数和棱数E E之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系.四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥八面体八面体八面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔尖顶塔尖顶塔凸多面体凸多面体凸多面体凸多面体面数（面数（面数（面数（F F F F）顶顶顶顶点数（点数（点数（点数（V V V V）棱数（棱数（棱数（棱数（E E E E）四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱三棱三棱三棱锥锥锥锥八面体八面体八面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱四棱四棱四

15、棱锥锥锥锥尖尖尖尖顶顶顶顶塔塔塔塔凸多面体凸多面体凸多面体凸多面体面数（面数（面数（面数（F F F F）顶顶顶顶点数（点数（点数（点数（V V V V）棱数（棱数（棱数（棱数（E E E E）四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱三棱三棱三棱锥锥锥锥八面体八面体八面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱四棱四棱四棱锥锥锥锥尖尖尖尖顶顶顶顶塔塔塔塔四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱6 68 81212凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶顶点数（点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱三棱锥锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱四棱锥锥尖尖顶顶塔塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥凸多面体凸多面体面数（面数（

16、F F）顶顶点数（点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱三棱锥锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱四棱锥锥尖尖顶顶塔塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶顶点数（点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱三棱锥锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱四棱锥锥尖尖顶顶塔塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶顶点数（点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱三棱锥锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱四棱锥锥尖尖顶顶塔塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥

17、1286八面体八面体695三棱柱三棱柱558四棱锥四棱锥凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶顶点数（点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱三棱锥锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱四棱锥锥尖尖顶顶塔塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱558四棱锥四棱锥9169尖顶塔尖顶塔6 69 95 59 95 55 58 816169 9凸多面体凸多面体凸多面体凸多面体面数（面数（面数（面数（F F F F）顶顶顶顶点数（点数（点数（点数（V V V V）棱数（棱数（棱数（棱数（E E E E）四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱三棱三棱三棱锥锥锥锥八面体八面体八

18、面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱四棱四棱四棱锥锥锥锥尖尖尖尖顶顶顶顶塔塔塔塔6 68 812126 64 44 412128 86 6猜想凸多面体的面数猜想凸多面体的面数猜想凸多面体的面数猜想凸多面体的面数F F、顶点数、顶点数、顶点数、顶点数V V和棱数和棱数和棱数和棱数E E之间的关系式为：之间的关系式为：之间的关系式为：之间的关系式为：FVE2欧拉公式欧拉公式 5.5.5.5.传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的一根针

19、上的一根针上的一根针上的64646464个圆环个圆环个圆环个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡过渡过渡过渡”的作用的作用的作用的作用.1.1.1.1.每次只能移动每次只能移动每次只能移动每次只能移动1 1 1 1个圆环；个圆环；个圆环；个圆环；2.2.2.2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面

20、较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面.如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这64646464个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了.请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把 个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1 1 1号针移到号针移到号针移到号针移到3 3 3 3号针号针号针号针,最少需要移最少需要移最少需要移最少需

21、要移动多少次动多少次动多少次动多少次?1 12 23 3解解;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3123当当n=1n=1时时,a,a1 1=1=1当当n=2n=2时时,a,a2 2=3 3解解;设设a an n表示移动表示移动n n块金属片时的移动次数块金属片时的移动次数.当当n=3n=3时时,a,a3 3=7 7当当n=4n=4时时,a,a4 4=1515猜想猜想 a an n=2 2n n-1-1123除了归纳，在人们的创造发明活动中，还除了归纳，在人们的创造发明

22、活动中，还除了归纳，在人们的创造发明活动中，还除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比。例如：常常应用类比。例如：常常应用类比。例如：常常应用类比。例如：2.2.人们仿照鱼类的外型和它们在人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.1.1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿和蝗虫的牙齿,发明了锯发明了锯4、火星上是否存在生命？、火星上是否存在生命？引入引入3 3：3.3.苍蝇的眼睛是一种苍蝇的眼睛是一种“复眼复眼”，由，由30003000多只小眼组成，人们模仿它制多只小眼组成，人们模仿它制成了成了“蝇眼透镜蝇眼透镜”，

23、一次就能，一次就能照出千百张相同的相片。照出千百张相同的相片。可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太

24、阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球 由由两类对象两类对象具有具有某些某些类似特征类似特征和其中和其中一类对象的一类对象的某些某些已知特征已知特征,推出推出另一类对另一类对象也象也具有具有这些特征这些特征的推理称为的推理称为类比推理类比推理.注意：（注意：（1）类比推理是由）类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理 （2）类比推理的）类比推理的结论结论不一定成立不一定成立.圆的概念和性质圆的概念和性质球的概

25、念和性质球的概念和性质与与与与圆心圆心圆心圆心距离相等的两距离相等的两距离相等的两距离相等的两弦弦弦弦相等相等相等相等与与与与圆心圆心圆心圆心距离不等的两距离不等的两距离不等的两距离不等的两弦弦弦弦不不不不等等等等,距距距距圆心圆心圆心圆心较近的较近的较近的较近的弦弦弦弦较长较长较长较长.以点以点以点以点P(xP(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心为圆心为圆心,r,r为半径的为半径的为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为圆的方程为圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2(y-y(y-y0 0)2 2=r=r2 2.与与与与球心球心球心球心距离相等的两距离相等的两距离相等的两距离相等的两截面圆截

26、面圆截面圆截面圆面积面积面积面积相等相等相等相等;与与与与球心球心球心球心距离不等的两距离不等的两距离不等的两距离不等的两截面圆截面圆截面圆截面圆面面面面积不等积不等积不等积不等,距距距距球心球心球心球心较近的较近的较近的较近的截面圆截面圆截面圆截面圆面面面面积较大积较大积较大积较大.球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积类比推理类比推理1 1、利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质圆心圆心圆心圆心与与与与弦弦弦弦(非直径非直径非直径非直径)中点连线垂中点连线垂中点连线垂中点连线垂直于弦直于弦直于弦直于弦.球心球心球心球心与与与与截面圆截面圆截

27、面圆截面圆(不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆)圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆.以点以点以点以点P(xP(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心为球心为球心,r,r为半径为半径为半径为半径的球的方程为的球的方程为的球的方程为的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2.直角三角形直角三角形3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体 C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c

28、PDF PDE EDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S2：类比平面内直角三角形的勾股定理：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给试给出空间中四面体性质的猜想出空间中四面体性质的猜想思考：这个结论是正确的吗？思考：这个结论是正确的吗？2、类比推理、类比推理由由由由特殊特殊特殊特殊到到到到特殊特殊特殊特殊的推理的推理的推理的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.1、归纳推理

29、、归纳推理由由由由部分部分部分部分到到到到整体整体整体整体、特殊特殊特殊特殊到到到到一般一般一般一般的推理的推理的推理的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立.具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能;四、四、比较两个推理：比较两个推理：合合情情推推理理 小结小结归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点从具体问从具体问题

30、出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.归纳推理归纳推理归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理类比推理类比推理都是根据已有的事实都是根据已有的事实,经过观经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理合情推理合情推理.五、五、合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常

31、能帮助我们猜测和发现结论帮助我们猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向我们提供证明的思路和方向.3、(2005年全国年全国)计算机中常用的十六进位制是逢计算机中常用的十六进位制是逢16进进1的的计算制，采用数字计算制，采用数字0-9和字母和字母A-F共共16个计数符号，这些符个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；号与十进制的数的对应关系如下表；十六进位十六进位十进位十进位例如用例如用16进位制表示进位制表示+1，则，则（）（）十六进位十六进位9十进位十进位9101112131415E EP35 课本习题课本习题2.1 A组组1，3，5，6；B组组 1.