1.4 数学归纳法 课件(北师大选修2-2)50945.ppt

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1、第第一一章章4 4 理解教材新知理解教材新知把握热把握热点考向点考向应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下那么整排自行车就会倒下 问题问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？条件？提示：提示：(1)第一辆自行车倒下；第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下行

2、车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下 问题问题2：这种现象对你有何启发？：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数提示：这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数有关的数学问题学问题 数学数学归纳归纳法及其基本步法及其基本步骤骤：数学数学归纳归纳法是用来法是用来证证明某些与明某些与 有关的数学命有关的数学命题题的一种方法，它的基本步的一种方法，它的基本步骤骤是：是：(1)验证验证：时时，命，命题题成立；成立；(2)在假在假设设当当 时时命命题题成立的前提下，推出成立的前提下，推出当当 时时，命，命题题成立成立 根据根据(1)(2)可以断定命可以断定命题对题对一切正整数一切正整数n都

3、成立都成立正整数正整数nn1nk(k1)nk1 1数学归纳法仅适用于与正整数数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题有关的数学命题的证明的证明 2应用数学归纳法时应注意：应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；一不可；(2)在证明在证明nk1命题成立时，必须使用归纳假设的命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法结论，否则就不是数学归纳法 思路点拨思路点拨运用数学归纳法由运用数学归纳法由nk到到nk1，等式左边增加了两项结合等式右边的结构特点，进等式左边增加了两项结合等式右边的结构特点，进一步确定

4、所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可构形式即可 一点通一点通用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于命题，关键在于“看项看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由的取值是否有关，由nk到到nk1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项1用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1427310n(3n1)n(n1)2(其中其中nN)证明：证明：当当n1时，左

5、边时，左边144，右边，右边1224，左边右边，等式成立左边右边，等式成立假设当假设当nk(kN)时等式成立，时等式成立，即即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当那么，当nk1时，时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当即当nk1时等式也成立时等式也成立根据根据和和，可知等式对任何，可知等式对任何nN都成立都成立2证明证明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)证明：证明：当当n1时，左边时，左边12223，右边右边1(211)3，左边右边，等式成立左边右边，等式成立假设当假设当nk

6、(k1)时等式成立，时等式成立，即即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)成立，成立，则当则当nk1时，时，左边左边12223242(2k1)2(2k)22(k1)122(k1)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2(2k1)(k1)4(k1)2(k1)2k14(k1)(k1)(2k3)(k1)2(k1)1，当当nk1时等式成立时等式成立由由可知对于任意正整数可知对于任意正整数n，等式都成立，等式都成立.思路点拨思路点拨在由在由nk到到nk1的推证过程中可考的推证过程中可考虑使用虑使用“放缩法放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的

7、常用方法之一明不等式的常用方法之一 一点通一点通对于与正整数有关的不等式的证明，如果对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口的突破口3若若nN且且n5，求证，求证2nn2.证明：证明：当当n5时，

8、时，2552，不等式成立，不等式成立假设假设nk(k5，kN)时，时，2kk2.则当则当nk1时，时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2，即即nk1时不等式成立时不等式成立由由知，当知，当nN且且n5时，不等式时，不等式2nn2成立成立4用数学归纳法证明：当用数学归纳法证明：当nN时，时，12232nn(n1)n.证明：证明：当当n1时，左边时，左边1，右边，右边2,12，不等式，不等式成立成立假设当假设当nk(kN)时不等式成立，即时不等式成立，即12233kk(k1)k，那么，当那么，当nk1时，左边时，左边122233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)

9、(k2)k1(k1)1k1右边，即左边右边，即左边右边，右边，即当即当nk1时不等式也成立时不等式也成立根据根据和和，可知不等式对任意，可知不等式对任意nN都成立都成立.一点通一点通“观察观察归纳归纳猜想猜想证明证明”模式的题目的模式的题目的解法：解法：观察：由已知条件写出前几项；观察：由已知条件写出前几项；归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；猜想：猜想一般项的表达式；猜想：猜想一般项的表达式；证明：用数学归纳法证明猜想的结论证明：用数学归纳法证明猜想的结论解：解：(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，

10、猜想猜想an52n2(n2，nN)(2)证明：证明：当当n2时，时，a252225，猜想成立，猜想成立假设假设nk时成立，即时成立，即ak52k2(k2，kN)，当当nk1时，由已知条件和假设有时，由已知条件和假设有6平面内有平面内有n(n2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个个圆的交点个数为数为f(n)，猜想，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明的表达式，并用数学归纳法证明解：解：n2时，时，f(2)212，n3时，时，f(3)24623，n4时，时，f(4)661234，n5

11、时，时，f(5)1282045，猜想猜想f(n)n(n1)(n2)证明：证明：当当n2时，时，f(2)22(21)，猜想成立，猜想成立假设当假设当nk(k2)时猜想成立，即时猜想成立，即f(k)k(k1)，则则nk1时，其中圆时，其中圆O与其余与其余k个圆各有两个交点，而由假个圆各有两个交点，而由假设知这设知这k个圆有个圆有f(k)个交点，个交点，所以这所以这k1个圆的交点个数个圆的交点个数f(k1)f(k)2kk(k1)2kk2k(k1)(k1)1，即即nk1时猜想成立时猜想成立由由知：知：f(n)n(n1)(n2)运用数学归纳法时易犯的错误：运用数学归纳法时易犯的错误：(1)对项数估算的错误，特别是寻找对项数估算的错误，特别是寻找nk与与nk1的的关系时，项数发生什么变化被弄错关系时，项数发生什么变化被弄错 (2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了断了就通不过去了 (3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论导或计算而直接写出所要结论