3.2平面向量基本定理.ppt

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1、3.2平面向量基本定理平面向量基本定理一般地一般地,实数实数 与向量与向量 的积是一个向量的积是一个向量,记作记作:(1)(2)当当 时时,的方向与的方向与 的方向相同的方向相同;当当 时时,的方向与的方向与 的方向相同的方向相同;(3)当当 时时,或或 时时,一、数乘的定义：一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下:二、二、数乘数乘的运算律：的运算律：(2)(2)第一分配律第一分配律:(1)(1)结合律结合律:(3)(3)第二分配律第二分配律:1.1.定理定理:向量向量 与非零向量与非零向量 共线的共线的充要条件充要条件是有是有且只有一个实数且只有一个实数 ,使得使得.三

2、、向量共线的充要条件：三、向量共线的充要条件：2).2).证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCDAB=AB=CDCD AB ABCDCD 利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题直线平行问题.但要注意的是但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念向量平行和直线平行在重合概念上有区别上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行而两向量平行则含两向量重合则含两向量重合.2.2.定理的应用：定理的应用：定理的应用：定理的应用

3、：1).1).证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线3).3).证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:ABAB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上又又又又B B为公共点为公共点为公共点为公共点 A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线AB AB BC BC AB=AB=BCBC 设设 、是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，我们研究我们研究 a 与与 、之间的关系。之间的关系。a研究研究OC=OM+ON=OC=OM+ON=OA+OBOA

4、+OB即即 a=+.=+.aA AO OaC CB BN NM M M MN N平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、使共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、是同一平面内的两个不a=+示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量 、叫做表（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、是否相同？（可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC=2OB+ON OC=2OB+O

5、N OC=2OA+OEOC=2OA+OEOC=OF+OE OC=OF+OE(1)(1)不不共线的共线的向量向量 叫做这一平面内所有向量叫做这一平面内所有向量 的一组基底的一组基底;平面向量基本定理平面向量基本定理:(4)基底给定时基底给定时,分解形式唯一分解形式唯一.(2)基底不唯一基底不唯一;如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 ,使使(3)任一向量任一向量 都可以沿两个不共线的方向（都可以沿两个不共线的方向（的的 方向）分解成两个向量（方向）分解成两个向量（）和的形式；）

6、和的形式；说明：说明：已知向量 求做向量-2.5 +3 例1：、OABC例例2：凸四边形：凸四边形ABCD的边的边AD,BC的中点分别为的中点分别为E,F,用用 表示表示DABCEFDCAB,例例3.3.如图如图,不共线不共线,用用 表示表示OPBA变式：变式：不共线不共线,点点P P在在O O、A A、B B所在的平面内所在的平面内,且且 求证：求证：A A、B B、P P三点共线三点共线 例4、如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB解析：BC=BD+DC=MN=DN-DM

7、=(AN-AD)-DC(ADAB)+DCANMCDBDC=AB=设AB=,AD=,则有：=-.=-+=-+评析评析 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作作 ，与与 反向反向OABOAB则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作与与 垂直垂直，OAB注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点同起点的的 与与 同向同向OAB向量的正交分解向量的正交分解在在平面上，如果选取互相垂直的向量作平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带

8、来方便为基底时，会为我们研究问题带来方便平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立则称（则称（x，y）是向量是向量 的坐标的坐标 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.记作：记作：（1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x,y)注意：注意：(4)如图以原点如图以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.Oxy平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(x,y)

9、A此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标（5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同（1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x,y)注意：注意：（3）两个向量）两个向量 相等的充要条件：相等的充要条件：(6)例例1如图，用基底如图，用基底 ，分别表示向量分别表示向量 并求它们的坐标并求它们的坐标解：由图可知解：由图可知同理，同理，平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示A1AA2yxO1课后作业:作业本小结回顾小结回顾一、对一、对一、对一、对 平面向量基本定理平面向

10、量基本定理平面向量基本定理平面向量基本定理 的理解：的理解：的理解：的理解：e e1 1,e e2 2是平面向量内两个不共线的固定向量，则任是平面向量内两个不共线的固定向量，则任是平面向量内两个不共线的固定向量，则任是平面向量内两个不共线的固定向量，则任意向量意向量意向量意向量a a可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。可以在这两个向量的方向上进行分解。当当当当|e e1 1|=|=|e e2 2|=1|=1且且且且e e1 1与与与与e e2 2垂直时，就可以建立直角坐标垂直时，就可以建立直角坐标垂直时，就可以建立直角坐标垂直时

11、，就可以建立直角坐标系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。二、两类问题：二、两类问题：1.用一组基底用一组基底表示表示任一向量任一向量 2.由一组基底的线性组合求由一组基底的线性组合求作向量作向量 作业：习题作业：习题作业：习题作业：习题5.3 P110-6,75.3 P110-6,7O问问问问:能否作出向量能否作出向量能否作出向量能否作出向量 使使使使 成立？成立？成立？成立？这样的这样的这样的这样的 有几个？有几个？有几个？有几个？已知向量已知向量已知向量已知向量 （如图如图如图如图），），），），及实数及实数及实数及实数1 1 1 1=-2.5=-2.5=-2.5=-2.5，2 2 2 2=3=3=3=3 已知向量已知向量已知向量已知向量及向量及向量及向量及向量 （如图）（如图）（如图）（如图）问问问问:能否找出实数对能否找出实数对能否找出实数对能否找出实数对1 1 1 1与与与与2 2 2 2 使使使使 成立？成立？成立？成立？而这样的而这样的而这样的而这样的1 1 1 1与与与与2 2 2 2有多少对？有多少对？有多少对？有多少对？O