1.1.1 正弦定理(1).ppt

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1、正弦定理 我国古代有嫦娥奔月的神话故事我国古代有嫦娥奔月的神话故事.宁静的夜晚，宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色时候，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色时候，你会想到什么？你会想到什么？那遥远不可及的月亮离我们地球究那遥远不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？竟有多远呢？1671年两个法国天文学家首次测出了地球与月年两个法国天文学家首次测出了地球与月球之间的距离大约为球之间的距离大约为385400km，他们当时是怎样测他们当时是怎样测出这个距离的呢？学完本章出这个距离的呢？学完本章解三角形解三角形之后这个之后这个问题就会迎刃而解问题就会迎刃而解.我们知道，在任意三角形中有大

2、边对大角，小边对小我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系角的边角关系（定性结论）（定性结论）.那么在任意三角形中边、角那么在任意三角形中边、角关系是否有定量结论呢？关系是否有定量结论呢？阅读教材第阅读教材第2页页第第3页，页，并回答问题：并回答问题：1.正弦定理是如何描述的；正弦定理是如何描述的；2.如何证明正弦定理如何证明正弦定理.CABacb问：问：在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？如图，在如图，在RtABC中，已知中，已知BC=a,AC=b,AB=c,则则思考：在直角三角形中，思考：在直角三角形中，“边边”与与“角角”的关系的

3、关系 所以所以CD=asinB=bsinA,即即同理可得同理可得DCabAB图1过点过点C作作CDAB于于D,此时有此时有若三角形是锐角三角形若三角形是锐角三角形,如图如图1,1,探究一且仿上可得D若三角形是钝角三角形若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗以上等式仍然成立吗?此时也有交交BC延长线于延长线于D,过点过点A作作ADBC，CAcbB图2探探究究二二正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即思考是否可以用其他方法证明正弦定理?jACB在锐角在锐角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为

4、.等式等式怎样建立三角形中边和角间的关系？怎样建立三角形中边和角间的关系？即即同理，过同理，过C作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得探究一：探究一：(向量方法向量方法)在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？入单位向量？怎样取数量积？jACB在钝角在钝角 中，中，过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于 ，则有则有j 与与 的夹角为的夹角为 ，j 与与 的夹角为的夹角为 .等式等式 .同样可证得：同样可证得：探究：探究：正弦定理还有其它的方法证明？正弦定理还有其它的方法证明？探究二：探究二：O

5、C/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,BACDabc而同理ha探究二探究二（面积法）（面积法）三角形面积公式剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：1，已知两角和一边，求其他角和边.2，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.3，边角互换一般地，把三角形的三角一般地，把三角形的三角A,B,C和他们所对和他们所对的边的边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。角形。例题讲解例题讲解已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和

6、一角定理的应用练1 在ABC 中，已知c=10,A=45。,C=30。求 a,b(精确到1cm）.解：且 b=19=已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角a=14=BACabc例题讲解例题讲解已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角三角形中大边对大角三角形中大边对大角已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理得所以 60,或120当 时,60C=90,C=30,练2 已知a=16，b=，A=30.求角B，C和边c当120时,B16300ABC16316(1)(2)三角形中大边对大角三角

7、形中大边对大角变式1:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c练2 已知a=16，b=，A=30.求角B，C和边c变式2:a=20,b=40,A=45解三角形.变式3:a=22,b=25,A=133解三角形.变式1:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以260,或1800260=1540由于1540+3001800故B只有一解（如图）C=1240,变式:a=30,b=26,A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以25.70,C=124.30,a b A B,三角形中大边对大角变式2:a=20,b=40,A=45解三角形.

8、解：由正弦定理得已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?思考思考，求，求B；判断判断 解的个数：解的个数：，求，求B；，求，求B；，求，求B；一解一解 一解一解 无解无解 两解两解 课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：2R数学使人聪颖数学使人聪颖 数学使人严谨数学使人严谨 数学使人深刻数学使人深刻 数学使人缜密数学使人缜密 数学使人坚毅数学使人坚毅 数学数学使人智慧使人智慧