1.1.1变化率问题(1).ppt

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1、2022/12/13(1)在经营某商品中，甲挣到在经营某商品中，甲挣到10万元，乙万元，乙挣到挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？的经营成果？(2)在经营某商品中，甲用在经营某商品中，甲用5年时间挣到年时间挣到10万元，乙用万元，乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万元，如万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？何比较和评价甲，乙两人的经营成果？问题引入：问题引入：某市某市2007年年4月月20日最高气温为日最高气温为33.4，而，而4月月19日和日和4月月18日的最高气温分别为日的最高气温分别为24.4和和18.6，短短两天时间，气温陡增，短短两天时间

2、，气温陡增14.8，闷热中的人们无不感叹：闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！天气热得太快了！”问题引入：问题引入：变化率！变化率！注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑注：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量相对于另一个量改变了多少一个量相对于另一个量改变了多少.1.1.变化率变化率 一个变量相对于另一个变量的变化一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做而变化的快慢程度叫做变化率变化率 问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程的过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来

3、气球的半径增加越来越慢越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是 如果将半径如果将半径r表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为当当V从从1增加到增加到2时时,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为 显然显然0.620.16分析一下分析一下:问题提升：问题提升：当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2 时时,

4、气球的平均膨胀率是多少呢气球的平均膨胀率是多少呢?在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高度度h(h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒（单位：秒)存存在函数关系在函数关系 h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.hto问题问题2 高台跳水高台跳水平均速度平均速度平均速度实质就是运动平均速度实质就是运动员在某段时间内的员在某段时间内的位移位移对于时间的对于时间的平均变化率平均变化率，在物理上叫平均速度在物理上叫平均速度htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10分析一下分析一下:当t从0增加

5、到0.5时,平均速度为当t从1增加到2时,平均速度为思考?当时间从当时间从t1 增加到增加到t2时时,运动员的运动员的平均平均速度是多少平均平均速度是多少?h(t)=-4.9t2+6.5t+10平均变化率平均变化率 将上述两个问题中的函数关系用将上述两个问题中的函数关系用 表示，那么问题中的变化率可用式子：表示，那么问题中的变化率可用式子：表示表示.这个式子称为函数这个式子称为函数 从从 到到 的平的平均变化率。均变化率。注：习惯上用注：习惯上用 ，即，即 可看作是可看作是 相对于相对于 的一个的一个“增量增量”；类似地，类似地，若设若设x=x2x1,y=f(x2)f(x1)我们称之为函数我们

6、称之为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率2.2.平均变化率的定义平均变化率的定义这里这里x是是x1的一个的一个“增量增量”：x2x1+x ;y是是(x1)的一个的一个“增量增量”:f(x2)=f(x1)+y.则则平均变化率平均变化率为为1、式子中、式子中x、y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 3、变式、变式理解：理解：求函数求函数y=f(x)在区间在区间x1，x2上的平均上的平均变化率的变化率的步骤步骤：归纳：归纳：例、例、设函数设函数f(x)=2x,当从当从2变到

7、变到1.9时时,求求 x和和 y.解解 x1.90.1 yf(1.9)f(2)0.2已知函数已知函数，分，分别计别计算算在下列区在下列区间间上的平均上的平均变变化率：化率：（1）1，3；（2）1，2；(1)函数函数f(x)在在1,3上的平均变化率为上的平均变化率为4(2)函数函数f(x)在在1,2上的平均变化率为上的平均变化率为3例：例：练习练习1 1、已知函数、已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+x+x的图象上的一点的图象上的一点A A(-1,-2)(-1,-2)及临近一点及临近一点B(-1+x,-2+y),B(-1+x,-2+y),则则y/x=()y/x=()A A、3 B3 B、

8、3x-(x)3x-(x)2 2 C C、3-(x)3-(x)2 2 D D、3-x 3-x DA3.3.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-x-x在区间在区间1,t1,t的平均变的平均变化率是化率是2 2，求，求t t的值。的值。t t2 2例、求例、求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率.例例1 1、某婴儿从出生到第、某婴儿从出生到第1212个月的体重变化个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第如图所示，试分别计算从出生到第3 3个月与个月与第第6 6个月到第个月到第1212个月该婴儿体重的平均变化个月该婴儿体重的平均变化率率T(月)W(kg)639123.5

9、6.58.611例例 (1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2(2)解：解：y=f(x+x)-f(x)=2x x+(x)2 平均变化率平均变化率为为:思考思考2：平均平均变变化率有什么几何意化率有什么几何意义义呢？呢？平均变化率的几何平均变化率的几何意义就是意义就是函数函数f(x)图像上两点图像上两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)所在直所在直线的斜率。线的斜率。变式：变式：过曲线过曲线y=f(x)=xy=f(x)=x3 3上两点上两点P P（1 1，1 1）和和Q(1+x,1+y)Q(1+x,1+y)作曲线的割线，作曲线的割线，求出当求出当x=0.1x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.1、过过y=x3上两点上两点P（1，1)、Q(1+x,1+y)作作割线，当割线，当x=2x=2时时,求求 (1)(1)点点Q Q的坐标的坐标;(2)y (2)y的值的值;(3)(3)割线割线PQPQ的斜率的斜率.解 (1)Q(3,27)，练习练习小结：小结：1.函数的平均变化率：函数的平均变化率：2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤: