1.1.2《类比推理》课件(北师大版选修2-2).ppt

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1、课程目标设置主题探究导学1.1.类比推理的结论能作为定理应用吗？类比推理的结论能作为定理应用吗？提示：类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在提示：类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，一般情况下，如果类比的相似性越多，被研究中的事物的特征，一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间就越相关，那么类比得出的命题相似的性质与推测的性质之间就越相关，那么类比得出的命题就越可靠就越可靠.类比推理的结论具有猜测性、或然性，即可能真类比推理的结论具有猜测性、或然性，即可能真,也也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的可能假，它是一

2、种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，但推理的结论不一定正确，有待进一步证明，因此实用价值，但推理的结论不一定正确，有待进一步证明，因此类比推理的结论不能作为定理应用类比推理的结论不能作为定理应用.2.2.归纳推理与类比推理有什么区别与联系？归纳推理与类比推理有什么区别与联系？提示：归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、提示：归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，然后提出猜想的推理，其结论都具有或然分析、比较、联想，然后提出猜想的推理，其结论都具有或然性，都是合情推理；归纳推理是部分到整体，由个别到一般的性，都是合情推理；归纳推理是部分到整体，

3、由个别到一般的推理；而类比推理是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特推理；而类比推理是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特殊的推理殊的推理.3.3.对命题对命题“正三角形的内切圆切于三边中点正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的（四面体的内切球切于四面各正三角形的（）(A)(A)一条中线上的点，但不是重心一条中线上的点，但不是重心(B)(B)一条垂线上的点，但不是垂心一条垂线上的点，但不是垂心(C)(C)一条角平分线上的点，但不是内心一条角平分线上的点，但不是内心(D)(D)中心中心提示：选提示：选D.D.平面内的正三角形类比空间中正四面体

4、，平面内平面内的正三角形类比空间中正四面体，平面内的圆类比空间中的球，正三角形各边中点类比空间正四面体各的圆类比空间中的球，正三角形各边中点类比空间正四面体各面中心，因此选面中心，因此选D.D.典型例题精析知能巩固提高一、选择题（每题一、选择题（每题5 5分，共分，共1515分）分）1.1.（20102010莆田高二检测）下面使用类比推理正确的是（莆田高二检测）下面使用类比推理正确的是（）(A)(A)“若若a a3=b3=b3 3，则，则a=ba=b”,类比推出类比推出“若若a a0=b0=b0,0,则则a=ba=b”(B)(B)“若若(a+b)ca+b)c=ac+bcac+bc”,类比推出类

5、比推出“(a ab)cb)c=acacbcbc”(C)(C)“若若(a+b)ca+b)c=ac+bcac+bc”,类比推出类比推出“(c0)(c0)”(D)D)“(ab)(ab)n n=a an nb bn n”,类比推出类比推出“(a+b)a+b)n n=a an n+b+bn n”【解析解析】选选C.C.由类比推理的形式结合代数式的运算律可知由类比推理的形式结合代数式的运算律可知C C正确正确.2.2.三角形的面积为三角形的面积为S=(a+b+c)S=(a+b+c)r,r,其中其中a,b,ca,b,c为三角形的边为三角形的边长，长，r r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面为三

6、角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（体的体积为（r r为四面体内切球的半径）（为四面体内切球的半径）（）（A A）V=V=abcabc（B B）V=(SV=(S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4)r r（C C）V=(SV=(S1 1+S+S2 2+S+S3 3+S+S4 4)r r（D D）V=(ab+bc+ac)V=(ab+bc+ac)r r【解析解析】选选C.C.此题应从两方面进行类比：一方面由平面几何类此题应从两方面进行类比：一方面由平面几何类比到空间几何时，边长应类比面积，另一方面，从方法上进行比到空间几何时，边长应类比面积，另一方面，从方法上进行类

7、比，三角形的面积是将内切圆圆心与三角形顶点相连，将三类比，三角形的面积是将内切圆圆心与三角形顶点相连，将三角形分割为三个三角形，求其面积之和，类似的，将内切球球角形分割为三个三角形，求其面积之和，类似的，将内切球球心与四面体四个顶点相连，则原四面体被分割为四个四面体，心与四面体四个顶点相连，则原四面体被分割为四个四面体，求其体积之和求其体积之和.【解析解析】选选C.C.由类比推理的形式知选项由类比推理的形式知选项C C符合符合.二、填空题（每题二、填空题（每题5 5分，共分，共1010分）分）4.4.现有一个关于平面图形的命题：现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个如图所示，

8、同一个平面内有两个边长都是边长都是a a的正方形，其中一个的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间，有两个棱类比到空间，有两个棱长均为长均为a a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为两个正方体重叠部分的体积恒为_._.【解析解析】在平面图形中，重叠部分的面积在平面图形中，重叠部分的面积 ,类比到类比到空间时，则重叠部分的体积应为空间时，则重叠部分的体积应为 .答案：答案：5.5.（20102010黄山高二检测

9、）设等差数列黄山高二检测）设等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则S S4 4,S,S8 8-S-S4 4,S,S1212-S-S8 8,S,S1616-S-S1212成等差数列成等差数列.类比以上结论有：设等比数类比以上结论有：设等比数列列 b bn n 的前的前n n项积为项积为T Tn n，则，则T T4 4，_，_，成等比数成等比数列列.【解题提示解题提示】等差数列与等比数列中的类比是等差数列与等比数列中的类比是“和和”类比类比到到“积积”，“差差”类比到类比到“商商”.【解析解析】答案：答案：三、解答题（三、解答题（6 6题题1212分，分，7 7题题131

10、3分，共分，共2525分）分）6.6.通过计算可得下列等式：通过计算可得下列等式：2 23 3-1-13 3=3=31 12 2+3+31+1;31+1;33 3-2-23 3=3=32 22 2+3+32+1;2+1;4 43 3-3-33 3=3=33 32 2+3+33+1;3+1;(n+1)(n+1)3 3-n-n3 3=3=3n n2 2+3+3n+1.n+1.将以上各等式两边分别相加，得将以上各等式两边分别相加，得(n+1)(n+1)3 3-1-13 3=3(1=3(12 2+2+22 2+n+n2 2)+3(1+2+3+)+3(1+2+3+n)+nn)+n,即即1 12 2+2+

11、22 2+3+32 2+n+n2 2=n=n（n+1n+1）(2n+1).(2n+1).类比上述求法，请你求出类比上述求法，请你求出1 13 3+2+23 3+3+33 3+n+n3 3的值的值.【解析解析】224 4-1-14 4=4=41 13 3+6+61 12 2+4+41+1,1+1,3 34 4-2-24 4=4=42 23 3+6+62 22 2+4+42+1,2+1,4 44 4-3-34 4=4=43 33 3+6+63 32 2+4+43+1,3+1,(n+1)(n+1)4 4-n-n4 4=4=4n n3 3+6+6n n2 2+4+4n+1.n+1.将以上各式两边分别相

12、加，得将以上各式两边分别相加，得(n+1)(n+1)4 4-1-14 4=4=4(1(13 3+2+23 3+n+n3 3)+6)+6(1(12 2+2+22 2+n+n2 2)+4)+4(1+2(1+2+n)+nn)+n7.7.已知在已知在RtABCRtABC中，两直角边中，两直角边AC=bAC=b，BC=aBC=a，斜边，斜边ABAB上的高为上的高为h h，则，则 ,将此性质类比到立体几何中的三棱锥中，将此性质类比到立体几何中的三棱锥中，有何结论成立？能否给出证明？有何结论成立？能否给出证明？【解析解析】在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中，若三条侧棱中，若三条侧棱VAVA、VBVB、V

13、CVC两两垂直，两两垂直，且长度分别为且长度分别为a,b,ca,b,c，顶点，顶点V V到底面到底面ABCABC的距离的距离VH=hVH=h，则，则证明如下：如图所示，连结证明如下：如图所示，连结AHAH，并延长交，并延长交BCBC于于D D，连结，连结VDVD，因为因为VAVBVAVB，VAVCVAVC，VBVC=VVBVC=V，所以，所以VAVA平面平面VBCVBC，所以所以VABCVABC，VAVD.VAVD.因为因为VHVH平面平面ABCABC，所以，所以VHBCVHBC，所以，所以BCBC平面平面VADVAD，所以，所以BCVD.BCVD.1.1.（5 5分）如图所示，椭圆中心在坐分

14、）如图所示，椭圆中心在坐标原点，标原点，F F为左焦点，当为左焦点，当FBABFBAB时，时，其离心率为其离心率为 ，此类椭圆被称，此类椭圆被称为为“黄金椭圆黄金椭圆”，类比，类比“黄金椭圆黄金椭圆”可推算出可推算出“黄金双曲线黄金双曲线”的离心率的离心率e e等于（等于（）【解题提示解题提示】进行类比的关键是：进行类比的关键是：BFABBFAB，抓住这一特征，抓住这一特征可得可得“黄金双曲线黄金双曲线”的离心率的离心率.【解析解析】选选B.B.由由“黄金椭圆黄金椭圆”的特征：的特征：“左焦点左焦点F F与短轴的一个端点与短轴的一个端点B B的连线的连线垂直于这个端点与右顶点垂直于这个端点与右

15、顶点A A的连线的连线”容容易得到易得到“黄金双曲线黄金双曲线”的特征是：左的特征是：左焦点焦点F F与虚轴的一个端点与虚轴的一个端点B B的连线垂直的连线垂直于这个端点与右顶点于这个端点与右顶点A A的连线的连线.如图，如图，设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,2a,2b,2c,则则F F（-c,0),B(0,b),A(a,0)-c,0),B(0,b),A(a,0)，由，由FBABFBAB可知：可知：=0=0，即即(c,b)c,b)(-a,b(-a,b)=0,)=0,又又b b2 2=c=c2 2-a-a2 2,所以所以c c2 2-a-

16、a2 2-ac=0,-ac=0,两边同除以两边同除以a a2 2,可得可得e e2 2-e-1=0-e-1=0，解得，解得 ,又双曲线的离心率又双曲线的离心率e e1,1,所以所以2.2.（5 5分）（分）（20102010大庆高二检测）已知大庆高二检测）已知 b bn n 为等比数列，为等比数列，b b5 5=2=2，则，则b b1 1b b2 2b b9 9=2=29 9.若若aan n 为等差数列，为等差数列，a a5 5=2,=2,则则aan n 的类的类似结论为似结论为()()(A)a(A)a1 1a a2 2a a9 9=2=29 9(B)a(B)a1 1+a+a2 2+a+a9

17、9=2=29 9(C)a(C)a1 1a a2 2a a9 9=2=29 9(D)a(D)a1 1+a+a2 2+a+a9 9=2=29 9【解析解析】选选D.D.由等比数列中的积类比于等差数列中的和，等比由等比数列中的积类比于等差数列中的和，等比数列中的幂类比于等差数列中的积可得答案为数列中的幂类比于等差数列中的积可得答案为D.D.3.3.（5 5分）如图所示，在平面几何中，分）如图所示，在平面几何中，ABCABC的内角平分线的内角平分线CECE分分ABAB所成线段的比所成线段的比 ，把这个结论类比到空间：在三，把这个结论类比到空间：在三棱锥棱锥A-BCDA-BCD中，面中，面DECDEC平

18、分二面角平分二面角A-CD-BA-CD-B且与且与ABAB相交于相交于E E，则得，则得到的类比的结论是到的类比的结论是_._.【解析解析】结合图形，进行类比可得结合图形，进行类比可得答案：答案：4.4.（1515分）如图所示，面积为分）如图所示，面积为S S的平面凸四边形的第的平面凸四边形的第i i条边的条边的边长记为边长记为a ai i(i(i=1,2,3,4),=1,2,3,4),此四边形内任一点此四边形内任一点P P到第到第i i条边的距离条边的距离记为记为h hi i（i=1,2,3,4)i=1,2,3,4)，若，若 ,则则类比以上性质，体积为类比以上性质，体积为V V的三棱锥的第的

19、三棱锥的第i i个面的面积记为个面的面积记为S Si i(i(i=1,2,3,4)=1,2,3,4)，此三棱锥内任一点，此三棱锥内任一点Q Q到第到第i i个面的距离记为个面的距离记为H Hi i（i=1,2,3,4),i=1,2,3,4),若若 ,求求 的值的值.【解析解析】如图，连接如图，连接PAPA，PBPB，PCPC，PDPD，则四边形的面积可以看，则四边形的面积可以看成是四个三角形的面积之和，成是四个三角形的面积之和，类比此方法，我们可以采用等体积法解决三棱锥的相应性质：类比此方法，我们可以采用等体积法解决三棱锥的相应性质：如图，如图，H H1 1，H H2 2，H H3 3，H H4 4依次是三棱锥依次是三棱锥Q-BCDQ-BCD、Q-ADCQ-ADC、Q-ABDQ-ABD和和Q-ABCQ-ABC的高，三棱锥的体积可以看成是这四个三棱锥的体积的高，三棱锥的体积可以看成是这四个三棱锥的体积之和之和.所以所以S S1 1=K,S=K,S2 2=2K,S=2K,S3 3=3K,S=3K,S4 4=4K,=4K,所以所以V=(KHV=(KH1 1+2KH+2KH2 2+3KH+3KH3 3+4KH+4KH4 4)=K(H=K(H1 1+2H+2H2 2+3H+3H3 3+4H+4H4 4),),故故H H1 1+2H+2H2 2+3H+3H3 3+4H+4H4 4=,=,即即