1.2数列的极限45064.ppt

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1、第二节 数列极限 自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的的客观基础。本节中我们将介绍微积分发展史中的两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育两个典型问题，在解决这两个问题的过程中，孕育了极限思想，并产生了微积分的两个分支了极限思想，并产生了微积分的两个分支-微微分学和积分学。分学和积分学。(Limits of Sequences)1

2、2/13/20221一一 问题的提出问题的提出二二 数列极限数列极限第二节 数列极限(Limits of Sequences)三三 数列极限的性质数列极限的性质五五 思考判断题思考判断题四四 内容及数学思想方法小结内容及数学思想方法小结12/13/202221 1 割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法利用圆内接正多边形计算圆面积的方法 割圆术割圆术，就是极限思想在几何上的应用。，就是极限思想在几何上的应用。一一 问题的提出问题的提出(Introduction)12/13/20223正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面

3、积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.141612/13/20224二 数列的极限1 1 数列数列LL,21nxxx数列的通项数列的通项nx例如例如xyO.(Limits of Sequences)12/13/20225注：注：1）数列对应着数轴上一个点列，可看作）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取一动点在数轴上依次取2）数列是以自然数为定义域）数列是以自然数为定义域的函数的函数12/13/202262 数列极限的定义数列极限

4、的定义从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的从前面的实例可以看出，他们具有一个共同的属性属性-收敛性收敛性。正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积抛开具体含义，抽象得到数学模型抛开具体含义，抽象得到数学模型-数列极限数列极限。12/13/20227播放播放图形演示图形演示12/13/20228通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:极限的粗略定义极限的粗略定义).(n1xn12/13/20229一般地，).(naxn12/13/202210极限的精确定义极限的精确定义如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e(不论它多么不论它多么小小

5、),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不等式不等式e e-axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn=或或).(naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注注但但N不是不是的函数的函数如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数e e12/13/202211具有任意性，确定性具有任意性，确定性N具有存在性，相应性具有存在性，相应性4）数列的极限与前面的有限项无关）数列的极限与前面的有限项无关。3）极限的精确定义极限的精确定义

6、任意任意存在存在12/13/2022123 几何解释几何解释,limaxnn=12/13/2022134 用数列极限的定义证明极限用数列极限的定义证明极限.例例1证证所以所以,12/13/202214例例2证明证明所以所以,说明说明常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.12/13/202215例例3证证12/13/2022161 唯一性唯一性定理定理1 1 收敛的数列只有一个极限收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.三三 数列极限的性质数列极限的性质12/13/202217例例4 证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可

7、能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.12/13/2022182 有界性有界性例如例如,limaxnn=12/13/202219定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证注注1 有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.注注2 2 无界数列必定发散无界数列必定发散.注注3 3 有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛.12/13/202220定理定理3 3 收敛的数列的保号性收敛的数列的保号性.证证12/13/2022214 4 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系.12/13/202222定理定理4 4 收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系.由定义由定义,12/13/202223四四 内容小结及数学思想方法内容小结及数学思想方法数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性，唯一性有界性，唯一性.思想方法思想方法 12/13/202224五五 思考判断题思考判断题下列定义是否可作为数列极限的定义；下列定义是否可作为数列极限的定义；1、对任意的对任意的2、对任意的、对任意的12/13/202225