1.1 行列式的定义.ppt

《1.1 行列式的定义.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.1 行列式的定义.ppt（37页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 1线 性 代 数 线 性 代 数 2 2一、一、教学内容教学内容线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，线性代数是工科各专业必修的重要基础理论课，线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、线性代数的主要内容包括：行列式、矩阵、向量代数、是工科是工科线性代数在工程技术、科学研究线性代数在工程技术、科学研究本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中本课堂仅介绍前六个方面的内容，且其中带带“*”号号新的数学语言与数学工具新的数学语言与数学工具。数学教学的主要课程之一。数学教学的主要课程之一。和各行各业中有着广泛的应用。和各行各业中有着广泛的应用。线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与

2、线性线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性变换等变换等。的内容不需要掌握。的内容不需要掌握。3 3二、教学及考核方式二、教学及考核方式考试方式：考试方式：闭卷闭卷作业：作业：每周一次每周一次主要参考书主要参考书:同济版同济版或者或者清华版清华版线性代数线性代数答疑：答疑：每周一次每周一次课堂教学：课堂教学：40 学时学时考试成绩：考试成绩：作业占作业占 20%，考试占，考试占80%(练习册练习册)4第一章 行列式第一章第一章 行列式行列式1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 克莱姆克莱姆(Cramer)法则法则1.1 行列式的定义行列式的定义5第一章 行列式1.1

3、行列式的定义1.1 行列式的定义行列式的定义一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二、二、n 阶行列式阶行列式6第一章 行列式1.1 行列式的定义利用消元法求解二元线性方程组利用消元法求解二元线性方程组一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式行列式的引入来源于求解线性方程组，行列式的引入来源于求解线性方程组，求解是数学与工程中最基本的问题之一。求解是数学与工程中最基本的问题之一。而线性方程组的而线性方程组的得得得得两式相减消去两式相减消去 得得引例引例7第一章 行列式1.1 行列式的定义方程组的解为方程组的解为两式相减消去两式相减消去 得得类似地，消去类似地，消去 得得当当 时，时，由此引入

4、二阶行列式的定义由此引入二阶行列式的定义8第一章 行列式1.1 行列式的定义称下式为称下式为二阶行列式二阶行列式 定义定义定义定义 对角线法对角线法副对角线副对角线主对角线主对角线一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式9第一章 行列式1.1 行列式的定义 利用二阶行列式求解二元线性方程组利用二阶行列式求解二元线性方程组对于二元线性方程组对于二元线性方程组当当 时，时，方程组的解为方程组的解为其中其中记记记记问题问题问题问题 当当 时，时，方程组的解会怎么样？方程组的解会怎么样？10第一章 行列式1.1 行列式的定义解解例例求解二元线性方程组求解二元线性方程组(惟一解惟

5、一解)11第一章 行列式1.1 行列式的定义解解例例求解二元线性方程组求解二元线性方程组(无穷多解无穷多解?)12第一章 行列式1.1 行列式的定义解解例例求解二元线性方程组求解二元线性方程组(无解无解?)13第一章 行列式1.1 行列式的定义2.三阶行列式三阶行列式一、一、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式利用消元法求解三元线性方程组利用消元法求解三元线性方程组逐步消去逐步消去 可得可得引例引例其中其中由此引入三阶行列式的定义由此引入三阶行列式的定义14第一章 行列式1.1 行列式的定义称下式为称下式为三阶行列式三阶行列式 定义定义定义定义2.三阶行列式三阶行列式一、一

6、、二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.二阶行列式二阶行列式问题问题问题问题三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？三阶行列式有何计算规律？它与二阶行列式如何统一？15第一章 行列式1.1 行列式的定义(1)对角线法对角线法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?16第一章 行列式1.1 行列式的定义(2)沙路法沙路法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?17第一章 行列式1.1 行列式的定义(3)排列法排列法 三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 3!项项每项都是位于每项都是位于不同行不同行不同列不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积为排列为排列 的

7、的逆序数逆序数(?)为自然数为自然数 的一个排列的一个排列;其中其中 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?18第一章 行列式1.1 行列式的定义(4)递推法递推法 三阶行列式计算规律的三阶行列式计算规律的探讨探讨?利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，利用已定义的二阶行列式来计算三阶行列式，即即19第一章 行列式1.1 行列式的定义计算三阶行列式计算三阶行列式例例按对角线法则，有按对角线法则，有解解20第一章 行列式1.1 行列式的定义方程左端为方程左端为解解例例 求解方程求解方程由由 解得解得或或21第一章 行列式1.1 行列式的定义 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶

8、行列式求解三元线性方程组对于三元线性方程组对于三元线性方程组则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为令令22第一章 行列式1.1 行列式的定义求解线性方程组求解线性方程组例例解解故方程组的解为故方程组的解为23第一章 行列式1.1 行列式的定义由题意得由题意得求一个二次多项式求一个二次多项式 使使例例设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为解解故所求多项式为故所求多项式为由由有有24第一章 行列式1.1 行列式的定义二二、n 阶行列式阶行列式前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别前面从二元与三元线性方程组的求解问题出发，分别引出了二阶与三阶行列式的概念，引出了二阶与三阶行列式的概念

9、，那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法那么，这些行列式的概念以及线性方程组的求解方法阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。阶行列式求解二元与三元线性方程组的方法。能否推广并应用到能否推广并应用到 n 元线性方程组的求解问题呢？元线性方程组的求解问题呢？在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种在对三阶行列式的计算所探讨的几种规律中，到底哪一种更具有一般性呢？更具有一般性呢？并给出了利用二阶与三并给出了利用二阶与三特别是特别是25第一章 行列式1.1 行列式的定义二二、n 阶行列式阶行列式经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。经过前人不懈的努力，终于摸索出了统一的规律。

10、本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，本课堂将采用递推法来定义一般的行列式，避开诸如排列、逆序等一些概念。避开诸如排列、逆序等一些概念。们发现前面提到的们发现前面提到的对角线法对角线法与与沙路法沙路法并不适合更一般的情并不适合更一般的情形，形，还是对排列法有所了解。还是对排列法有所了解。人人而而排列法排列法与与递推法递推法才是真正可以推广的方法。才是真正可以推广的方法。其目的是其目的是不过有兴趣的同学最好不过有兴趣的同学最好26第一章 行列式1.1 行列式的定义并按照特定的运算法则对应到并按照特定的运算法则对应到二二、n 阶行列式阶行列式1.余子式和代数余子式余子式和代数余子式把元素把元素 a

11、i j 所在的所在的第第 i 行行和和第第 j 列列划去后，划去后，(n-1)列元素组成列元素组成(n-1)阶行列式，阶行列式，剩下的剩下的(n-1)行行即：即：将将 个数排成个数排成 n 行行 n 列列,一个数，一个数，（?）称之为称之为 n 阶行列式阶行列式，记为记为27第一章 行列式1.1 行列式的定义二二、n 阶行列式阶行列式1.余子式和代数余子式余子式和代数余子式称称 Ai j 为元素为元素 ai j 的的代数余子式代数余子式.称称 Mi j 为元素为元素 ai j 的的余子式余子式.定义定义定义定义记记28第一章 行列式1.1 行列式的定义设行列式设行列式例如例如则则为元素为元素

12、a23 的余子式，的余子式，为元素为元素 a23 的代数余子式的代数余子式.注意注意无论是行列式还是余子式，其结果都是无论是行列式还是余子式，其结果都是“数数”.那么它们到底以什么样的那么它们到底以什么样的运算法则运算法则得到一个数呢？得到一个数呢？29第一章 行列式1.1 行列式的定义二、二、n 阶行列式阶行列式1.余子式和代数余子式余子式和代数余子式2.行列式的递推定义行列式的递推定义定义定义称下式为称下式为 n 阶行列式阶行列式 当当 时，时，当当 时时.其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式.30第一章 行列式1.1 行列式的定义计算行列式计算行列式例例解解31第一章 行列式1.1

13、行列式的定义定理定理其中其中 为为 的代数余子式的代数余子式.对于任意的对于任意的 j 都有都有 称此计算方式为称此计算方式为将行列式按第将行列式按第 j 列展开列展开.当当 时，时，当当 时时.将行列式按任意列展开将行列式按任意列展开 证明证明(略略)32第一章 行列式1.1 行列式的定义计算行列式计算行列式例例解解按第二列展开，得按第二列展开，得33第一章 行列式1.1 行列式的定义例例 计算行列式计算行列式解解按第二列展开，按第二列展开，得得34第一章 行列式1.1 行列式的定义二、二、n 阶行列式阶行列式1.余子式和代数余子式余子式和代数余子式2.行列式的递推定义行列式的递推定义3.几

14、个典型的行列式几个典型的行列式35第一章 行列式1.1 行列式的定义3.几个典型的行列式几个典型的行列式(2)上三角上三角与与下三角行列式下三角行列式(1)对角行列式对角行列式启发启发 能否将一个一般能否将一个一般行列式行列式(的计算问题的计算问题)转化转化为对角或者为对角或者上三角行列式上三角行列式(的计算问题的计算问题)？36第一章 行列式1.1 行列式的定义附：附：n 阶行列式的另一种定义阶行列式的另一种定义其中其中为自然数为自然数 的一个的一个排列排列;为排列为排列 的的逆序数逆序数求求 的系数的系数.已知已知思考题思考题答案答案 的系数为的系数为37第一章 行列式1.1 行列式的定义 轻松一下吧