1.2函数的极限.ppt

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1、第二节 函数极限(Limits of Functions)目的与要求目的与要求v理解函数极限的定义，能在学习过程中逐步加深对理解函数极限的定义，能在学习过程中逐步加深对 极限思想的理解极限思想的理解v理理解解函函数数左左极极限限与与右右极极限限(right-(right-and and left-hand left-hand limits)limits)的的概概念念，以以及及函函数数极极限限存存在在与与左左、右右极极限限之间的关系之间的关系 v理解无穷小、无穷大概念。掌握无穷小的比较方法理解无穷小、无穷大概念。掌握无穷小的比较方法 v熟练掌握极限的运算，会用两个重要极限求极限熟练掌握极限的运算

2、，会用两个重要极限求极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入我国古代数学家刘徽在我国古代数学家刘徽在九章算九章算术注术注利用圆内接正多边形计算利用圆内接正多边形计算圆面积的方法圆面积的方法 割圆术割圆术，就是极限，就是极限思想在几何上的应用。思想在几何上的应用。1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘

3、徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、

4、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的

5、引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”战国时期的一部

6、哲学著作，叫战国时期的一部哲学著作，叫庄子庄子 天下篇天下篇，其中有这样一句话，其中有这样一句话：二、函数极限二、函数极限(Limits of Functions)(Limits of Functions)1.自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限(1)204060801001.21.41.61.82连续型的变化连续型的变化(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)通过上面演示实验的观察可知通过上面演示实验的观察可知:AxyoA+A XX|x|XxXx-X2、自变量趋向有限值时函数的极限考虑函数考虑函数x024yAxyoA+A x0y=f(x)x0 x0+解

7、解：例例：二、无穷小量与无穷大量二、无穷小量与无穷大量1、定义、定义:极限为极限为零的变量零的变量称为称为无穷小量无穷小量.简称无穷小简称无穷小注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小.注意注意无穷多个无穷

8、小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是但是无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.4、无穷大、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大量无穷大量，简称无，简称无穷大穷大.不是无穷大不是无穷大无界，无界，5、无穷小的比较、无穷小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限定义定义:例如，例如，