(8)2.1导数的概念.ppt

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1、第二章第二章 导数与微分导数与微分第一节第一节 导数概念导数概念第二节第二节 导数的基本公式、运算法则导数的基本公式、运算法则第三节第三节 高阶导数高阶导数第四节第四节 微分微分第五节第五节 导数与微分的简单应用导数与微分的简单应用第一节第一节 导数概念导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系四、函数可导性与连续性的关系一、一、引例引例1.变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置

2、 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导可导,在点的导数导数.运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率若上述极限不存在,在点 不可导.就说函数的导数为无穷大.也称在注:导函数的定义导函数的定义 如果函数

3、y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作易见易见 求导数的步骤求导数的步骤(1)求增量(2)算比值(3)(3)求极限求极限例例1.求函数解解:说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，例如，例例2.求函数的导数.解解:则即类似可证得解解例例3 求函数求函数的导数的导数.即即例例4 求函数求函数 的导数的导数 解解即即单侧导数单侧导数1.左导数左导数:2.右导数右导数:函数f(x)在某点处可导 等价左导数和右导数都存在且相等.函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是

4、指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数 解解例例5即即练习练习 练习练习 三、导数的几何意义三、导数的几何意义1 1.几何意义几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为 解 所求法线方程为 并写出在该点处的切线方程和法线方程 所求切线及法线的斜率分别为 所求切线方程为 即4x+y-4=0 即2x-8y+15=0 例6.求等边双曲线 在点 处的切线的斜率练习练习.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线四、四、函数的可导性与连续性的

5、关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.2证证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意注意:函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x=0 处连续,但不可导.即解解例例7 讨论函数讨论函数在在x=0处不可导处不可导在x=0处的连续性和可导性内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.解解:因为5.设存在,且求所以 作业：作业：p-89 习题习题2-1 1(1),(4);2(5);3(3),(4);4;5;6(2);8(3)