第四章-连续时间傅里叶变换.ppt

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1、第四章-连续时间傅里叶变换本本章的主要内容章的主要内容:1.连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换;2.傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;3.傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质;4.系统的频率响应及系统的频域分析；系统的频率响应及系统的频域分析；在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。是这一章要解决的

2、问题。4.0 引言引言 Introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。趋于无穷

3、大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换Representation of Aperiodic Signals:The Continuous-Time Fourier Transform一一.从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大时，频谱的幅度随增大时，频谱的幅度随 的增大而下降；谱线的增大而下降；谱线间隔随间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。的增大而减小；但频谱的包络不变。再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：再次考

4、察周期性矩形脉冲的频谱图：当当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)00 由于由于 也随也随 增大而减小，并最终趋于增大而减小，并最终趋于0 0，考查，考查 的变化，它在的变化，它在 时应该是有限的。时应该是有限的。于是，我们推断出于是，我们推断出:当当 时，离散的频谱将演变为连续的频谱。时，离散的频谱将演变为连续的频谱。由由当当 时时,如果令如果令则有则有与周期信号傅立叶级数对比有：与周期信号傅立叶级数对比有：这表明这表明:周期信号的频谱就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。周期信号的频谱

5、就是与它相对应的非周期信号频谱的样本。根据傅立叶级数表示：根据傅立叶级数表示：连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换当当时，时，于是有：于是有：傅立叶反变换傅立叶反变换 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为连续分布、振幅为 的复指数信号之和。的复指数信号之和。由于由于 具有频谱随频率分具有频谱随频率分布的物理含义，因而称布的物理含义，因而称 为频谱密度函数。为频谱密度函数。于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。可

6、见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络。期信号频谱的包络。既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。二二.傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。2.Di

7、richlet 条件条件a.绝对可积条件绝对可积条件1.若若则则 存在。存在。也有相应的两组条件：也有相应的两组条件：b.在任何有限区间内，在任何有限区间内，只有有限个极值点，只有有限个极值点，且极值有限。且极值有限。c.在任何有限区间内，在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。只有有限个第一类间断点。应该指出应该指出:这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件。和周期信号的情况一样，当和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间

8、断点附近会产生本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs 现象。现象。这两组条件并不等价。例如：这两组条件并不等价。例如：是平方可积的，但是并不绝对可积。是平方可积的，但是并不绝对可积。三三.常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换：1.0102.结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。以用一幅图表示信号的频谱。对此例有对此例有103.0 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单

9、位冲激响应单位冲激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个LTI系统的特性，系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。的意义。01 显然，将显然，将 中的中的 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即是相应周期信号的频谱，即是相应周期信号的频谱4.矩形脉冲矩形脉冲:1 10 01 10 00 00 0不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。(称为理想低通滤波器称为理想低通滤波器)与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。与矩形脉冲情况对比，可以

10、发现信号在时域和频域之间存在一种对偶关系。5.1，0，1 10 00 0对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下:1 10 01 10 00 00 0 同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。谱主瓣越宽，反之亦然。对例对例5.我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于一个冲激。将趋于一个冲激。6.若若 则有则有因为因为所以所以四四.信号的带宽信号的带宽(Bandwidth of Signals):由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于

11、低频分量。另一方面，传输信号的系由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率统都具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需分量都有效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法要对信号定义带宽。通常有如下定义带宽的方法:2.对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽度形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频

12、谱第一个零点内的范围即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。为信号带宽。下降到最大值的下降到最大值的 时对应的频率范围时对应的频率范围,此时带内信号此时带内信号分量占有信号总能量的分量占有信号总能量的1/2。1.以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，脉宽乘以带宽等于常数C(脉宽带宽积脉宽带宽积)。这清。这清楚地反映了频域和时域的相反关系。楚地反映了频域和时域的相反关系。4.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表

13、示，非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法的不一致，在某些情况下述方法的不一致，在某些情况下,会给我们带来不便。但由于周期信号不满足会给我们带来不便。但由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，条件，因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。因而不能直接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。The Fourier Transformation of Periodic Signals所对应的信号所对应的信号考查考查 这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为就有就有周期

14、信号的傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示若若 则则 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。例例1：例例2：例例3：均匀冲激串均匀冲激串010例例4.周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲014.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域

15、特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。掌握和运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。1.线性线性:Linearity则则Properties of the Continuous-Time Fourier Transform若若2.时移时移:Time Shifting这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。则则若若3.共轭对称性共轭对称性:Conjugate and Symmetry 若若 则则所以所以即即 若若 是实信号，则是实信号，则于是有于是有:由由可得可得即实部是偶函数

16、即实部是偶函数虚部是奇函数虚部是奇函数 若若则可得出则可得出即：模是偶函数，相位是奇函数即：模是偶函数，相位是奇函数 若若则可得则可得 如果如果即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则表明：表明：实偶信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶变换是偶函数。表明表明 是实函数。是实函数。若若 即信号是奇函数，同样可以得出即信号是奇函数，同样可以得出:所以所以又因为又因为表明表明 是奇函数是奇函数表明表明 是虚函数是虚函数 若若则有则有:例例:的频谱的频谱:101/20-1/21/20将将 分解为偶部和奇部有分解为偶部和奇部有4.时域微分与积分时域微分与积分:Differentiation and I

17、ntegration(可将微分运算转变为代数运算可将微分运算转变为代数运算)(将将两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)由时域积分特性从由时域积分特性从也可得到也可得到:（时域积分特性）（时域积分特性）则则若若5.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换:Scaling当当 时，有时，有 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。这就从理倍，反之亦然。这就从理论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。论上证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉宽带宽积等于常数

18、的结论。则则若若时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）6.对偶性对偶性:Duality若若则则证明：证明：也可由也可由得到证明。得到证明。根据根据得得这就是移频特性这就是移频特性例如例如:由由 有对偶关系有对偶关系利用时移特性有利用时移特性有再次对偶有再次对偶有由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由由得得所以所以频域微分特性频域微分特性该特性也可由对偶性从时域微分特性得出该特性也可由对偶性从时域微分特性得出:由由有有利用时域微分特性有利用时域微分特性有对对再次对偶得再次对偶得频域微分特性频域微

19、分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性利用时域积分特性利用时域积分特性再次对偶再次对偶由由有有频域积分特性频域积分特性7.Parseval定理定理:若若则则 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于 表示了信号表示了信号能量在频域的分布，因而称其为能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。4.4 卷积性质卷积性质 The Convolution Property一一.卷积特性：卷积特性：由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进行分析

20、成为可能。本质上，卷积特性的成立系统在频域进行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是因为复指数信号是一切正是因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。则则若若由由表明：表明：故有故有可将可将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过LTI系统时都要受到系统系统时都要受到系统与与 对应的特征对应的特征值值的加权。这个特征值就是的加权。这个特征值就是所以所以 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的复指数信号的复指数信号 通过通过LTI系统时，系统对输入信系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。号在幅度上

21、产生的影响，所以称为系统的频率响应。鉴于鉴于 与与 是一一对应的，因而是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应统的频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了定性保证了二二.LTI系统的频域分析法系统的频域分析法:根据卷积特性根据卷积特性,可以对可以对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析,其过程为其过程为:1.1.由由2.2.根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出3.3.4.4.4.5 相乘性质相乘性质

22、The Multiplication Property利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质若若则则 一个频带限制在一个频带限制在0到到fx以内的低通信号以内的低通信号x(t)，如果以，如果以fs 2fx的抽样速率进行均匀抽样，则的抽样速率进行均匀抽样，则x(t)可可以由抽样后的信号完全确定。以由抽样后的信号完全确定。低通信号的均匀理想抽样定理低通信号的均匀理想抽样定理 最小抽样速率最小抽样速率fs=2fx称为奈奎斯特速率，最大抽样时间间隔称为奈奎斯特速率，最大抽样时间间隔1/2fx称为奈奎斯特间隔。称为奈奎斯特间隔。理想抽样的频谱函数图理想抽样的频谱函数图抽

23、样脉冲序列是一个周期性冲击序列抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列 它的频谱它的频谱 T()必然是离散的必然是离散的 抽样后的信号可表示成抽样后的信号可表示成样后信号样后信号ms(t)又可表示为又可表示为抽样后信号的频谱为抽样后信号的频谱为混叠现象混叠现象 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。其中一个信号称为载波，另一个是调制信号。例例1:移频性质移频性质例例2.正弦幅度调制正弦幅度调制:1001/2 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频

24、谱搬移到载频位置。正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。例例3.同步解调同步解调:1/21/41/4 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为的系统即可从的系统即可从 恢复出恢复出 。20只要只要即可。即可。具有此频率特性的具有此频率特性的LTI系统称为理想低通滤波器。系统称为理想低通滤波器。例例4.中心频率可变的带通滤波器：中心频率可变的带通滤波器：A1理想低通的频率响应理想低通的频率响应1等效带通滤波器等效带通滤波器 相当于从相当于从 中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为

25、的带通滤波器，改变的带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。即可实现中心频率可变。4.6 傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表(自学自学)工程实际中有相当广泛的工程实际中有相当广泛的LTI系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般系统其输入输出关系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式的形式的LCCDE是是:4.7 由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统一一.由由LCCDE描述的描述的LTI系统的频率特性系统的频率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient

26、 Differential Equations 由于由于 是一切是一切LTI系统的特征函数，因此系统的特征函数，因此，当，当 系统的输入为系统的输入为 时，系时，系统所产生的响应就是统所产生的响应就是 。表明在。表明在 的情况下，求解的情况下，求解LCCDE即即可得到可得到 。但是这种方法太麻烦，很少使用。但是这种方法太麻烦，很少使用。对对LCCDE两边进行傅立叶变换有：两边进行傅立叶变换有：由于由于 可见由可见由LCCDE描述的描述的LTI 系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由 LCCDE 描述的描述的LTI系统，当需要求得其系统，

27、当需要求得其 时时(比如时域分析时比如时域分析时)，往往是由，往往是由 做反变换得到。做反变换得到。对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行。对有理函数求傅立叶反变换通常采用部分分式展开和利用常用变换对进行。二二.频率响应的求法：频率响应的求法：1.1.用微分方程表征的系统用微分方程表征的系统例：例：可见，可见，对对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。2.2.以方框图描述的系统以方框图描述的系统例：例：3.3.互联系统的互联系统的*级联级联:*并联并联:H1(j)H2(j)H

28、1(j)H2(j)*反馈联结反馈联结:1.通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时间信号通过连续时间傅立叶变换，建立了将连续时间信号(包括周期、非周期信号包括周期、非周期信号)分解为复指分解为复指数信号分量的线性组合的方法。数信号分量的线性组合的方法。2.通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时域特性与频域特性的关系。卷积特性是通过讨论傅立叶变换的性质，揭示了信号时域特性与频域特性的关系。卷积特性是LTI系系统频域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基统频域分析方法的理论基础，相乘特性则是通信和信号传输领域各种调制解调技术的理论基础。础。4.8 小结小结 Summary 3.对对LTI系统建立了频域分析的方法。系统建立了频域分析的方法。5.稳定的稳定的LTI系统可以通过其频率响应来描述。系统可以通过其频率响应来描述。4.对由对由LCCDE描述的描述的LTI系统，可以很方便地由系统，可以很方便地由LCCDE或系统框图得到其或系统框图得到其 。6.建立了系统互联时，系统频率响应与各子系统频率响应的关系。建立了系统互联时，系统频率响应与各子系统频率响应的关系。