与分数有关的故事2.ppt

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1、与分数有关的故事与分数有关的故事王一鹏王一鹏破碎数破碎数在拉丁文里，分数一在拉丁文里，分数一词词来源于来源于frangere，是打破、断裂之意，因此，是打破、断裂之意，因此分数也曾被人叫做是分数也曾被人叫做是“破碎数破碎数”在数的在数的历历史上，分数几乎与自然数史上，分数几乎与自然数同同样样古老。然而，分数在数学中古老。然而，分数在数学中传传播并播并获获得自己的地位，却用了几千得自己的地位，却用了几千年的年的时间时间。掉掉进进分数里去分数里去在欧洲，在欧洲，这这些些“破碎数破碎数”曾曾经经令人令人谈谈虎色虎色变变，视为视为畏途。畏途。7世世纪时纪时，有个，有个数学家算出了一道数学家算出了一道8

2、个分数相加个分数相加的的习习题题，竟被，竟被认为认为是作了一件了不起的是作了一件了不起的大事情。大事情。德国人形容某个人德国人形容某个人陷入困境陷入困境时时，还还常常引用一句古老的常常引用一句古老的谚语谚语，说说他他“掉掉进进分数里去了分数里去了”。单单分子分数分子分数古埃及人只使用古埃及人只使用单单分子分数，即使用分子分数，即使用分子分子为为1的那些分数。遇到其他分数，的那些分数。遇到其他分数，都得拆成都得拆成单单分子分数的和。分子分数的和。例如例如 ，于是就用，于是就用表示表示问题问题：请问请问 如何写成两个如何写成两个单单分子之分子之和？和？辛苦的一道辛苦的一道题题目目由于有了由于有了这

3、这种奇特的种奇特的规规定，古埃及定，古埃及的分数运算的分数运算显显的特的特别别繁繁琐琐。如果要如果要计计算算 与与 的和，你猜猜看，的和，你猜猜看，埃及人怎么算？埃及人怎么算？首先他首先他们们把把这这两个分数都拆成两个分数都拆成单单分分子分数，然后再把分母相同的分数子分数，然后再把分母相同的分数加起来，然后遇到分子不是加起来，然后遇到分子不是1的分数，的分数，又再拆成又再拆成单单分子分数分子分数.辛不辛苦辛不辛苦？中国的分数中国的分数在西方，分数理在西方，分数理论论的的发发展出奇的展出奇的缓缓慢，慢，而中国，在而中国，在汉汉朝朝时时，已，已经对经对分数的运算分数的运算作深入的研究。他作深入的研

4、究。他们们已会已会约约分分、扩扩分分、通分通分的的观观念，甚至念，甚至现现在常用的在常用的辗转辗转相除相除法法，就是由当，就是由当时时古老的方法演古老的方法演变变而来。而来。苏联苏联数学史数学史专专家家包包尔尔加加尔尔斯基斯基公正的公正的评评价价说说：在人：在人类类文化文化发发展的初期，展的初期，中国的中国的数学数学远远领远远领先于世界其他各国。先于世界其他各国。与分数有关的数学与分数有关的数学问题问题及及动动脑动动脑一、一、丢丢番番图图的墓碑的墓碑二、奇怪的二、奇怪的遗遗嘱嘱三、老母舅分三、老母舅分钻钻石石四、四、动动脑动动脑（1）五、五、动动脑动动脑（2）六、六、动动脑动动脑（3）GoGo

5、GoGoGoGo数学家的墓碑数学家的墓碑古往今来，大概只有数学家的墓古往今来，大概只有数学家的墓志志铭铭最最为为言言简简意意赅赅，他，他们们的墓碑的墓碑上不是上不是长长篇篇传记传记，歌，歌颂颂光光辉辉的一的一生，往往只是刻着生，往往只是刻着一个一个图图形形或写或写着着一个数一个数，但，但这这此形和数，却表此形和数，却表达了他达了他们们一生一生执执着的追求和着的追求和闪闪亮亮的的业绩业绩。阿基米德的墓碑阿基米德的墓碑阿基米德是古希腊数学家、力学家。阿基米德是古希腊数学家、力学家。后人常把他与牛后人常把他与牛顿顿、高斯并列、高斯并列为为有有史以来三个史以来三个贡贡献最大的数学家。献最大的数学家。有

6、关他的故事也广有关他的故事也广为为流流传传。他的墓。他的墓碑很特殊，上面只刻着一个碑很特殊，上面只刻着一个圆圆柱，柱，圆圆柱里内切着一个球，柱里内切着一个球，这这个球的直个球的直径恰与径恰与圆圆柱的高相等。柱的高相等。Go鲁鲁道夫的墓碑道夫的墓碑德国人德国人鲁鲁道夫，把道夫，把的近似的近似值值算算到小数点后面到小数点后面35位，位，这这是当是当时时的的世界世界纪录纪录。他死后，把。他死后，把的的36位位小数刻在他的墓碑上。小数刻在他的墓碑上。=3.14159265358979323846264338327950288.高斯的墓碑高斯的墓碑大数学家高斯曾大数学家高斯曾经经表示，在表示，在他去世以

7、后，希望人他去世以后，希望人们们在他在他的墓碑上刻上一个正的墓碑上刻上一个正17边边形，形，因因为为他是在完成了正他是在完成了正17边边形形的的标标尺作尺作图图后，才决定献身后，才决定献身于数学研究的于数学研究的.丢丢番番图图的墓碑的墓碑在众多的数学家的墓碑中，被誉在众多的数学家的墓碑中，被誉为为代数学鼻祖的代数学鼻祖的丢丢番番图图的墓的墓志，可算是一个少志，可算是一个少见见的例外。的例外。丢丢番番图图是公元三世是公元三世纪亚历纪亚历山大里山大里亚亚城人。碑文很奇特，用一种未城人。碑文很奇特，用一种未知的方式写出了他的一生：知的方式写出了他的一生：过过路人！路人！这这里埋着里埋着丢丢番番图图的

8、骨灰，下面的骨灰，下面的数目可以告的数目可以告诉诉你他寿命多你他寿命多长长。他的生命的六分之一是幸福的童年。他的生命的六分之一是幸福的童年。再活十二分之一，再活十二分之一，颊颊上上长长出了出了细细细细的胡的胡须须。又又过过了生命的七分之一他才了生命的七分之一他才结结婚。婚。再再过过了五年，他感到很幸福，得了一个了五年，他感到很幸福，得了一个儿子。儿子。可是可是这这孩子的生命只有他父孩子的生命只有他父亲亲的的一半。儿子死后，老人在悲痛中活了四年，儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结结束了束了尘尘世生涯。世生涯。请问请问：丢丢番番图图活了多大年活了多大年纪纪才和死神相才和死神相见见？神圣的猫神圣的猫

9、古古时时候，人候，人们们会将一些会将一些动动物奉若物奉若神明，例如神明，例如古埃及古埃及人将猫尊人将猫尊为为神神圣的月亮和富裕的女神，圣的月亮和富裕的女神，顶顶礼膜礼膜拜，拜，谁谁家的猫死了，全家人都得家的猫死了，全家人都得剪掉剪掉头发头发，剃光眉毛，以示哀悼；，剃光眉毛，以示哀悼；而而谁谁要是要是杀杀死了猫，即使是无意死了猫，即使是无意的，也会被的，也会被处处以极刑。以极刑。奉若神明的牛奉若神明的牛印度人印度人也有也有类类似的似的习习俗，不俗，不过过，他他们顶们顶礼膜拜的不是猫，而是牛。礼膜拜的不是猫，而是牛。即使牛横冲直撞，践踏庄稼，人即使牛横冲直撞，践踏庄稼，人们们也不敢干涉，至于有人屠

10、宰牛，也不敢干涉，至于有人屠宰牛，则则无异于犯下了滔天大罪。无异于犯下了滔天大罪。由于由于这这种奇特的种奇特的习习俗，印度人民俗，印度人民中流中流传传着一个非常有趣的故事：着一个非常有趣的故事：奇怪的奇怪的遗遗嘱嘱相相传传在非常遥在非常遥远远的古的古代，老王代，老王害了重病，害了重病，临终临终前，他将三个儿子叫到床前，立了前，他将三个儿子叫到床前，立了一份一份遗遗嘱。嘱。遗遗嘱里嘱里规规定定3个儿子能个儿子能够够分掉他的分掉他的17头头牛，牛，但又但又规规定：老大定：老大应应得得总总数的数的1/2，老二，老二应应得得总总数的数的1/3，而老三只能得，而老三只能得总总数的数的1/9。请问请问：三

11、个儿子是否能完成：三个儿子是否能完成遗遗嘱上的嘱上的规规定？定？解决解决遗遗嘱上的嘱上的问题问题这种分法需要活活杀死两头牛，这种分法需要活活杀死两头牛，根本行不通根本行不通即使杀死两头牛，也无法将即使杀死两头牛，也无法将17头牛分完。怎么办呢？头牛分完。怎么办呢？聪聪明的老明的老农农三个儿子三个儿子请请教了很多有学教了很多有学问问的人，的人，都想不出好方法。都想不出好方法。一天，一个老一天，一个老农牵农牵着一着一头头牛，告牛，告诉诉三个儿子三个儿子说说：这这事其事其实实很容易，我把很容易，我把这头这头牛借牛借给给你你们们，你，你们们按按总总数的数的1/2，1/3，1/9去分，分完再把去分，分完

12、再把这头这头牛牛还给还给我。我。一借一一借一还还，解决，解决问题问题三个儿子依照老三个儿子依照老农农的方法的方法试试一一试试，他，他们们目前有目前有18头头牛，老大分牛，老大分1/2，得，得9头头；老二分老二分1/3，得，得6头头；老三分；老三分1/9，得，得2头头。真是巧极了，真是巧极了，刚刚好分完好分完17头头牛，剩下牛，剩下一一头头牛，原封不牛，原封不动还给动还给老老农农。这这个个难难住住许许多人的数学多人的数学问题问题，就在，就在这这变变魔魔术术似的一借一似的一借一还还中，干脆利落的中，干脆利落的解决了。解决了。老母舅分老母舅分钻钻石石法国有一法国有一为为守守财财奴，生前一毛不拔，奴，

13、生前一毛不拔，死后却要把死后却要把13颗颗光彩光彩夺夺目的目的钻钻石留石留给给三个女儿。三个女儿。遗遗嘱是：老大嘱是：老大应应得得1/2，老二，老二应应得得1/3，老三，老三应应得得1/4。儿子。儿子因因为为生前不尊敬老父，只能两手空生前不尊敬老父，只能两手空空。空。三姊妹喜得心花怒放，可是要如何三姊妹喜得心花怒放，可是要如何分配呢？分配呢？三姊妹三姊妹请请来舅舅来舅舅为为他他们们做主，舅舅要求做主，舅舅要求必必须须先先给给他一他一颗颗当酬当酬劳劳。三姊妹。三姊妹虽虽然心然心疼，但仍然答疼，但仍然答应应了。了。剩下剩下12颗钻颗钻石，大姐分得石，大姐分得1/2（即（即为为6颗颗），二姐分得，二

14、姐分得1/3（即（即为为4颗颗）最后只剩）最后只剩2颗颗。小妹小妹应应得得1/4（即是（即是3颗颗），但只剩），但只剩2颗颗，小妹小妹伤伤心的哭起来，舅就只好安慰心的哭起来，舅就只好安慰说说：好吧！我不要酬好吧！我不要酬劳劳，这颗还给这颗还给你了。你了。其其实这实这是舅舅有意的安排，是舅舅有意的安排，终终于于圆满圆满解解决决钻钻石的分配。石的分配。动动脑动动脑（1）S是是1到到100自然数的倒数所成的自然数的倒数所成的集合。集合。即即S=1,1/2,1/3,1/4,1/98,1/99,1/100 请请在在S中找出中找出4个数，他个数，他们们的的总总合合小于小于1，但最接近，但最接近1。动动脑动

15、动脑（2）请请填写下式左填写下式左边边的两个分母（都的两个分母（都是自然数），使得等式成立。是自然数），使得等式成立。答案是否只有一组？还是不只一答案是否只有一组？还是不只一组？组？动动脑动动脑（3）提示：动动脑动动脑（2）的解答）的解答答案只有一组，如果答案只有一组，如果1997换成一个合数，换成一个合数，答案就不只一组答案就不只一组over阿基米德阿基米德最得意最得意的杰作是导出的杰作是导出圆圆柱内切球体的体柱内切球体的体积是圆柱体积的积是圆柱体积的三分之二倍三分之二倍。这。这定理就刻在他的定理就刻在他的墓碑上，也成为墓碑上，也成为他名垂千古的一他名垂千古的一大注记。大注记。分数分数应用用

16、题（一）、数形（一）、数形结合思想合思想【例【例1】小王有一桶汽油，第一次用】小王有一桶汽油，第一次用去去 ，第二次比第一次多用去，第二次比第一次多用去20千克，千克，还剩下剩下22千克。原来千克。原来这桶汽油有多桶汽油有多少千克？少千克？【例【例2】一堆煤，第一次用去】一堆煤，第一次用去这堆煤堆煤的的20%，第二次用去，第二次用去290千克，千克，这时剩下的煤比原来剩下的煤比原来这堆煤的一半堆煤的一半还多多10千克，求原来千克，求原来这堆煤共有多少千堆煤共有多少千克？克？（二）、（二）、对应思想思想 量率量率对应是解答分数是解答分数应用用题的根的根本思想，量率本思想，量率对应是通是通过题中具

17、体中具体数量与抽象分率之数量与抽象分率之间的的对应关系来关系来分析分析问题和解决和解决问题的思想。（量的思想。（量率率对应常常和画常常和画线段段图结合使用，合使用，效果极佳。）效果极佳。）【例【例3】小王到厂里打暑期工，】小王到厂里打暑期工，该厂厂女女职工占全厂工占全厂职工人数的工人数的 ，比男，比男职工少工少144人，人，缝纫机厂共有机厂共有职工多工多少人？少人？分析与解分析与解 解解题的关的关键是找到与具是找到与具体数量体数量144人的相人的相对应的分率。的分率。【例【例4】菜】菜农张大伯大伯卖一批大白菜，一批大白菜，第一天第一天卖出出这批大白菜的批大白菜的 ，第二，第二天天卖出出余下余下

18、的的 ，这时还剩下剩下240千千克大白菜未克大白菜未卖，这批大白菜共有多批大白菜共有多少千克？少千克？（三）、（三）、转化思想化思想 1、从分数的意、从分数的意义出出发，把分数，把分数变成份数成份数进行行“率率”的的转化化【例【例5】男生人数是女生人数的】男生人数是女生人数的 ，男生人数是，男生人数是学生学生总人数的几分之几？若全班共有学生人数的几分之几？若全班共有学生54名，名，需要需要调来几名男生，才能来几名男生，才能实现“男女平等男女平等”？【例【例6】兄弟两人各有人民】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟若干元，其中弟的的钱数是兄的数是兄的 ，若弟，若弟给兄兄4元，元，则弟的弟的钱数数是兄

19、的是兄的 ，求兄弟两人原来各有多少元？，求兄弟两人原来各有多少元？2、直接运用分率、直接运用分率计算算进行行“率率”的的转化化【例【例7】甲是乙的】甲是乙的 ，乙比丙少，乙比丙少1/5，甲是丙的，甲是丙的的几分之几？的几分之几？【例【例8】某工厂】某工厂计划一月份生划一月份生产一批零件，由一批零件，由于改于改进生生产工工艺，结果上半月生果上半月生产了了计划的划的 ，下半月比上半月多生，下半月比上半月多生产了上半月的了上半月的 ，这样全月全月实际生生产了了1980个零件，一月份个零件，一月份计划生划生产多少个？多少个？3、通、通过恒等恒等变形，形，进行行“率率”的的转化化【例【例9】甲的】甲的

20、等于乙的等于乙的 ，甲是乙的几分之几，甲是乙的几分之几？【例【例10】五（】五（2）班有学生）班有学生54人，男生人数的人，男生人数的75%和女生人数的和女生人数的80%都参加了都参加了课外外兴趣小趣小组，而未参加而未参加课外外兴趣小趣小组的男、女生人数的男、女生人数刚好相好相等，等，这个班男、女生各有多少人？个班男、女生各有多少人？（四）、（四）、变中求定的解中求定的解题思想思想 分数（百分数）分数（百分数）应用用题中有中有许多多数量前后数量前后发生生变化的化的题型，一个数型，一个数量的量的变化，往往引起另一个数量的化，往往引起另一个数量的变化，但化，但总存在着不存在着不变量。解量。解题时要

21、善于抓住不要善于抓住不变量量为单位位“1”，问题就会迎刃而解。就会迎刃而解。1、部分量不、部分量不变 【例【例11】有两种糖放在一起，其中】有两种糖放在一起，其中软糖占糖占 ，再放入，再放入16块硬糖以后，硬糖以后，软糖占两种糖糖占两种糖总数的数的 ，求，求软糖有糖有多少多少块？2、和不、和不变 【例【例12】小明看一本】小明看一本课外外读物，物，读了几天后，已了几天后，已读的的页数是剩下数是剩下页数数的的 ，后来他又，后来他又读了了20页，这时已已读的的页数是剩下数是剩下页数的数的 ，这本本课外外读物共有多少物共有多少页？练习2兄弟三人合兄弟三人合买一台彩一台彩电，老大出的，老大出的钱是其是其他两人出他两人出钱总数的数的 ，老二出的，老二出的钱是其他两人出是其他两人出钱总数的数的 ，老三比老二多出，老三比老二多出400元。元。问这台彩台彩电多少多少钱？（六）、用方程解（六）、用方程解应用用题思想思想【例【例13】某工厂第一】某工厂第一车间人数比第二人数比第二车间的的 多多16人，如果从第二人，如果从第二车间调40人到第一人到第一车间，这时两个两个车间的人数正好相等，原来两个的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？各有多少人？