2.3.1离散型随机变量均值.ppt

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1、2、A或或B发生发生(A或或B至少有一个发生）：至少有一个发生）：A+B P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)事件事件A、B互斥：互斥：P(A+B)=P(A)+P(B)1、事件的相互独立性、事件的相互独立性判断法一判断法一:P(AB)=P(A)P(B)是否成立是否成立;判断法二判断法二:事件事件A,B的概率彼此无影响的概率彼此无影响.（如有放回地取）（如有放回地取）成才强化（三十九）成才强化（三十九）10：已知：已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事当事件件A、B相互独立时，相互独立时，P(A+B)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.30.5求概率

2、：求概率：（1）二项分布）二项分布一般地，在一般地，在n n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A A发生的次数为发生的次数为X,X,在每次试验中事件在每次试验中事件A A发生的概率为发生的概率为p p，那么在，那么在n n次独立重复试次独立重复试验中，事件验中，事件A A恰好发生恰好发生k k次的概率为：次的概率为：某批件产品的次品率为某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出，现从中任意地依次抽出3件件进行抽验（放回抽取），恰好抽到进行抽验（放回抽取），恰好抽到1件次品的概率？件次品的概率？1、是三次独立重复试验、是三次独立重复试验；2、事件、事件A发生（每次抽到次品）发生

3、（每次抽到次品）的概率是的概率是2%；3、事件、事件A（抽到（抽到1件次品）恰好发生一次件次品）恰好发生一次某批件产品的次品率为某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出，现从中任意地依次抽出3件件进行抽验（不放回抽取），恰好抽到进行抽验（不放回抽取），恰好抽到1件次品的概率？件次品的概率？显然：三次试验不是独立重复试验，所以不能用二项分布的显然：三次试验不是独立重复试验，所以不能用二项分布的公式公式求概率，如求概率，如n=500？求概率：求概率：某人骑车从家到学校的途中有某人骑车从家到学校的途中有5 5个路口个路口,假设他在各个路口遇假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的到红灯的事件

4、是相互独立的,且概率均为且概率均为1/2.1/2.求此人首次遇求此人首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过的路口数的分布列到红灯或到达目的地而停车时所经过的路口数的分布列;独立但不是二项分布独立但不是二项分布求概率：求概率：1、二项分布用公式、二项分布用公式2、独立用乘法、独立用乘法3、古典用分式（排列组合）、古典用分式（排列组合）（20102010江西理数）江西理数）11.11.一位国王的一位国王的铸币铸币大臣在每箱大臣在每箱1010枚的枚的硬硬币币中各中各掺掺入了一枚劣入了一枚劣币币，国王，国王怀怀疑大臣作弊，他用两种疑大臣作弊，他用两种方法来方法来检测检测。方法一：在。方法一：在1010

5、箱子中各任意抽箱子中各任意抽查查一枚；方法一枚；方法二：在二：在5 5箱中各任意抽箱中各任意抽查查两枚。求国王用方法一、二能两枚。求国王用方法一、二能发发现现至少一枚劣至少一枚劣币币的概率？的概率？和=引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为1818元/kg，2424元/kg，3636元/kg 的的3 3种糖果按种糖果按3 3：2 2：1 1的的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？都相等，如何对混合糖果定价才合理？定价为定价为 可以吗？可以吗？x 18 24 36 p

6、 1/2 1/3 1/6181/2+241/3+361/6 =23=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)如果你买了如果你买了如果你买了如果你买了1kg1kg这种混合这种混合这种混合这种混合糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的实际价值实际价值实际价值实际价值刚好是刚好是刚好是刚好是2323元吗？元吗？元吗？元吗？样本平均值样本平均值权数权数加权平均加权平均 则称则称 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数学期望又简称为期望期望。X P 一般

7、地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为它反映了离散型随机它反映了离散型随机变量取值的平均水平变量取值的平均水平。1 1、离散型随机变量均值的定义、离散型随机变量均值的定义归纳求离散型随机变量的均值归纳求离散型随机变量的均值(期望期望)的步骤的步骤：、确定离散型随机变量可能的取值。、确定离散型随机变量可能的取值。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、写出分布列，并检查分布列的正确与否。、求出均值、求出均值(期望期望)。例例1 1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数的点数X X的均值的均值 X 1 2 3 4 5 6 P

8、 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X X的取值为的取值为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量X X的均值为的均值为E E（X X）=1 1/6+2 1/6=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解你能理解3.5的含义吗？的含义吗？变式变式：将所得点数的：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1，试求试求Y Y的均值？的均值？X 1 2 3 4 5 6 P 1/6

9、1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量Y Y的取值为的取值为3 3，5 5，7 7，9 9，1111，1313其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量Y Y的均值为的均值为E E（Y Y）=31/6+51/6=31/6+51/6+71/6+91/6+111/6+131/6=8+71/6+91/6+111/6+131/6=8=2E（X）+1Y35791113变式变式：将所得点数的：将所得点数的2 2倍加倍加1 1作为得分数，即作为得分数，即Y=2X+1Y=2X+1，试求试求Y Y的均值？的均值？设设X X为离散型随机变量，若为离散型随机变量，若Y=Y=aX+baX+b

10、,，其中，其中a,ba,b为常数，为常数，则则EY=EY=E(aX+bE(aX+b)=)=aEX+b2 2、随机变量的期望值（均值）的线性性质、随机变量的期望值（均值）的线性性质 X P Y P 证：设离散型随机变量证：设离散型随机变量X X的概率分布为的概率分布为所以所以Y Y的分布列为的分布列为特别地：特别地：E(cE(c)=c()=c(其中其中c c为常数为常数)1 1、随机变量、随机变量 的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=

11、.0.40.1练习：练习：解解:的分布列为的分布列为 所以所以 EE0 0P(P(0)0)1 1P(P(1)1)0 00.150.151 10.850.850.850.85例例2 2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概率为分已知姚明目前罚球命中的概率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？0 1 P 0.15 0.853 3、几个特殊分布的期望、几个特殊分布的期望1-PPP1-PP结论结论1 1：两点分布的期望：若：两点分布的期望：若X XB B（1 1，p p），

12、则），则EX=pEX=p 求证：求证：若若B(n，p)，则则E=npE =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np由题由题B(10，0.85),则则E=100.85=8.5例例3 3：篮球运动员在比赛中每次罚球命中

13、得：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不分，罚不中得中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概率为分已知姚明目前罚球命中的概率为0.850.85，求他，求他罚球罚球1010次时进球个数次时进球个数的均值？的均值？结论结论2 2：二项分布的期望：若：二项分布的期望：若B(nB(n，p)p)，则则EE=npnp变式变式1：罚球：罚球10次的得分次的得分的均值？的均值？变式变式2：若罚球命中得：若罚球命中得2分，罚不中得分，罚不中得0分，罚球分，罚球10次的得分次的得分X的均值？的均值？由题由题B(10，0.85),则则E=100.85=8.5变式变式3：若罚球命中得：若罚球命中得3分，罚不中得

14、分，罚不中得-1分，罚球分，罚球10次的得分次的得分Y的均值？的均值？练习：练习：一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红个红球和球和2 2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5 5次，则取到次，则取到红球次数的数学期望是红球次数的数学期望是 .3例例3 3、一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选择题有择题有4 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得每题选择正确答案得5 5分，不作出选择或选错不得分，分，不作出选择或选错不得分，满分满分100100分。学生甲选

15、对任一题的概率为分。学生甲选对任一题的概率为0.90.9，学生乙，学生乙则在测验中对每题都从则在测验中对每题都从4 4个选项中随机地选择一个。个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。值。解解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是答案的选择题个数分别是和和，则，则 B(20B(20，0.9)0.9)，B(20B(20，0.25)0.25)，EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生

16、甲和学生乙在这次英语测验分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是中的成绩分别是55和和55。所以，他们在测验中的成绩。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是的均值分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525例例4：根据气象预报：根据气象预报,某地区近期有小洪水的某地区近期有小洪水的概率为概率为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01.该地区某该地区某工地上有一台大型设备工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失遇到大洪水时损失60000元元,遇到小洪水损失遇到小洪水损失10000元元.为保护设为保护设备备,有以下有以下3种方案种方

17、案:方案方案1:运走设备运走设备,搬运费为搬运费为3800元元;方案方案2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2000元元,但围墙只能防小洪水但围墙只能防小洪水;方案方案3:不采取任何措施不采取任何措施,希望不发生洪水希望不发生洪水.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?例例5 5、袋中有袋中有4 4个红球个红球,3,3个黑球个黑球,从袋中随机取球从袋中随机取球,每取每取到到1 1个红球得个红球得2 2分分,取到一个黑球得取到一个黑球得1 1分分.(1)(1)今从袋中随机取今从袋中随机取4 4个球个球,求得分求得分的概率分布与期的概率分布与期望望.(2)(2)今从袋中每次摸今从袋中每次摸1

18、 1个球个球,看清颜色后放回再摸看清颜色后放回再摸1 1个球个球,求连续求连续4 4次的得分次的得分的期望的期望.练习：某商场的促销决策：练习：某商场的促销决策：统计资料表明，每年国庆节商场内促销活统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利可获利10万元；如遇下雨则损失万元；如遇下雨则损失4万元。万元。9月月30日气象预报国庆节下雨的概率为日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商，商场应选择哪种促销方式？场应选择哪种促销方式？作业：作业：P68 A2，3，4 B 1（2008湖北卷湖北卷17题）题）袋中有袋中有20个大小相同的球，其中记上个大小相同的球，其中记上0号的号的有有10个，记上个，记上n号的有号的有n个（个（n=1,2,3,4）.现现从袋中任取一球从袋中任取一球.X表示所取球的标号表示所取球的标号.（）求）求x的分布列，期望的分布列，期望;（）若）若 解：（解：（）X的分布列：的分布列：X的期望的期望：X01234P（）