2.2.2直接证明与间接证明-反证法(上课).ppt

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1、-反证法反证法直接证明与间接证明直接证明与间接证明复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 思考？思考？将将9 9个球分别染成红色或白色个球分别染成红色或白色.那么无论怎那么无论怎样染样染,至少有至少有5 5个球是同

2、色的个球是同色的,你能证明这个你能证明这个结论吗结论吗?分析分析:假设有某种染法使红色球和白假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是这与球的总数是9矛盾矛盾.因此因此,无论怎无论怎样染样染,至少有至少有5个球是同色的个球是同色的.把这种不是直接从原命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立

3、），的条件下，结论不成立），经过正确的推理，经过正确的推理，最后得出矛盾最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做这样的证明方法叫做反证法反证法（归谬法）。（归谬法）。定义定义反证法的思维方法：反证法的思维方法：正难则反正难则反其过程包括：其过程包括：反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不真，从由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。而肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的从假设出发，经过一系列正确的推理，得出推理，得出矛盾矛盾；归缪矛盾归缪矛盾（1 1）与已知

4、条件）与已知条件矛盾矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义）与已有公理、定理、定义矛盾；矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。说明：说明：常用的正面叙述词语及其否定：常用的正面叙述词语及其否定：正面正面词语词语等于等于大于大于（）小于小于(b0ab0，那么，那么用用反证法证题反证法证题的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？（1 1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。（2 2）从这个）从这个假设出发假设出发，经过推理论证，得出，经过推理论证，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的

5、结论正确。练习：1“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为()A自然数a，b，c都是奇数B自然数a，b，c都是偶数C自然数a，b，c中至少有两个偶数D自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数答案D解析恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数2命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ()A有两个内角是直角B有三个内角是直角C至少有两个内角是直角D没有一个内角是直角答案C解析“最多”与“至少”互为否定，“一个”对应“两个”3 3 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一有且只有一个根。个根。应用反证法的情形：应用反证法的情形：

6、(1)(1)直接证明困难直接证明困难;(2)(2)需分成很多类进行讨论需分成很多类进行讨论（3)3)结论为结论为“至少至少”、“至多至多”、“有无穷有无穷多个多个”-类命题；类命题；（4 4）结论为）结论为 “唯一唯一”类命题；类命题；正难则反正难则反!用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 2 2证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、A

7、C,DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ACBD是平行四边形是平行四边形所以所以因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以因此因此所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.PO

8、BADC例例 2 2由于由于P点点一定不是圆心一定不是圆心O，连结连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，例3求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交证明不妨设直线a与平面相交，b与a平行，从而要证b也与平面相交假设b不与平面相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面内由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾(2)

9、b平面.则平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛盾综上所述，b与平面只能相交点评直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确1.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60.证明假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60.相加得ABC180.这与三角形内角和定理矛盾，所以A、B、C都小于60的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一个内角不小于60.练习：证明：用反证法证明a。假设直线a与平面不平行，则点A不在直线b上，否则ab=A与ab矛盾。过点A在平面内作直线

10、cb，由ab得ac。而Aa，且Ac，即ac=A，这与ac相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。则由于a不在平面内，有a与相交，设a=A。总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾是与题设矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知定义、与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?推理推理 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理（归纳、类比）（归纳、类比）（三段论）（三段论）证明证明 直接证明直接证明 间接证明间接证明（分析法、综合法）（分析法、综合法）（反证法）（反证法）数学数学公理化思想公理化思想