3.1.1数系的扩充和复数的概念上课用1.ppt

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1、计数的需要计数的需要自然数（正整数与零）自然数（正整数与零）解方程解方程x+3=1整数整数解方程解方程3 x=5有理数有理数解方程解方程x2=2实数实数NZQR 可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留12/12/2022解方程解方程x2=1发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足 我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充12/12/2022 为了解决负数开平方问题，为了解决负数开平方问题，数学家数学家数学家数

2、学家大胆大胆大胆大胆引入一个引入一个引入一个引入一个新数新数新数新数 i i，把把把把 i i 叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：问题解决问题解决:(1)i i 2 21 1；(2)实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算进行四则运算进行四则运算,在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结

3、合律和分配律)仍然成立仍然成立仍然成立仍然成立.12/12/2022复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bR)的数叫做的数叫做复数复数,实实实实部部部部虚虚虚虚部部部部复数的代数形式复数的代数形式全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，通常用字通常用字母母z表示表示.一般用字母一般用字母C表示表示.知新知新 12/12/2022 15451545年意大利有名的数学年意大利有名的数学“怪杰怪杰”卡丹卡丹 第一次开始第一次开始 讨论讨论负数开平方的问题负数开平方的问题，当时复数被他称作，当时复数被他称作“诡辩量诡辩量”.”.几乎过了几乎过了100100年，年，笛卡尔笛卡

4、尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取了一个取了一个名字名字虚数但是又过了虚数但是又过了140140年，年，欧拉欧拉还是说这种数还是说这种数只是存在于只是存在于“幻想之中幻想之中”，并用，并用i i（imaginaryimaginary，即虚幻，即虚幻的的 缩写）来表示它的单位缩写）来表示它的单位.后来德国数学家后来德国数学家高斯高斯给出了复给出了复数的定义，数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来来1831837 7年，年，爱尔兰数学家爱尔兰数学家哈密顿哈密顿用有序实数对（用有序实数对（a,ba,b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算

5、满足定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律实数的运算律.这样历经这样历经300300年的努力，数系从实数系向年的努力，数系从实数系向阅读：复数系是怎样建立的？阅读：复数系是怎样建立的？复数系的扩充才得以大功告成复数系的扩充才得以大功告成.12/12/2022复数复数z=a+bi(a R、b R)能否表示实数？能否表示实数？讨讨 论论虚数虚数（纯虚数纯虚数（a=0且且b0）复数复数复数复数z=a a+b bi i(a a R R、b b R R)实数实数1、若、若a=0,则则z=a a+b bi i(a a R R、b b R R)为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数.2、若、若

6、z=a a+b bi i(a a R R、b b R R)为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数,则则a=0.判判断断（假）（假）（真）（真）故故a=0是是z=a a+b bi i(a a R R、b b R R)为纯虚数的为纯虚数的为纯虚数的为纯虚数的 条件条件条件条件.必要不充分必要不充分12/12/2022思考思考 复数集与实数集、虚数集、纯虚数集复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？之间有什么关系？12/12/20221、复数、复数z=a+bi 复数的分类复数的分类复数的分类复数的分类2.复数集、虚数集、实数集、复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系纯虚数集之间的关系12/12

7、/2022想一想想一想 如果两个复数相等，那么它们应满如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？足什么条件呢？12/12/2022如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这么我们就说这两个复数相等两个复数相等.即即复数相等复数相等思考思考知新知新 若若12/12/20221.若若2-3i=a-3i,求求 实实 数数a的的 值值；2.若若8+5i=8+bi,求求 实实 数数b的的 值值；3.若若4+bi=a-2i，求求实实数数a,b的的值值。说一说说一说12/12/20222-3i06i实部实部虚部虚部分类分类虚数虚数例例 1:1:完成下列表格（分类一

8、栏填完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或实数、虚数或纯虚数纯虚数）2-3虚数虚数00实数实数06纯虚纯虚数数-10实数实数12/12/2022实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？（2）虚数？）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？解解：（：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复时，复 数数 z 是纯虚数是纯虚数例例 2:2:12/12/2022练习练习1:1:当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯

9、虚数）纯虚数12/12/2022 已知已知已知已知 ，其中其中其中其中 求求求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组得得得得例例 3:3:12/12/2022当堂练习当堂练习1.a=0是复数是复数a+bi(a,bR）为纯虚数的）为纯虚数的（）A 必要条件必要条件 B 充分条件充分条件 C 充要条件充要条件 D 非必要非充分条件非必要非充分条件2.以以3i-2的虚部为实部，以的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的实部为虚部 的复数是的复数是 （）A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i3.若复数若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数是纯虚数，则实数a的的 值为值为 。4.复数复数4-3a-a2i与复数与复数a2+4ai相等，则实数相等，则实数a的的 值为值为 。12/12/2022课堂小结课堂小结虚数的引入虚数的引入复复 数数 z=a+bi(a,bR)复数的分类复数的分类当当b=0时时z为实数为实数;当当b 0时时z为虚数为虚数(此时此时,当当a=0时时z为纯虚数为纯虚数).复数的相等复数的相等a+bi=c+di(a,b,c,d R)a=cb=d12/12/202212/12/2022