二次函数练习1.ppt

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1、下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)返回1 1下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？（1 1）y=xy=x2 2 (2)y=(x+2)(x-2)-(x-1)(2)y=(x+2)(x-2)-(x-1)2 2 (3)y=2x (3)y=2x-2-2+x+x2 2 (4)y=3x+8 (4)y=3x+82 2当当k k为何值时，函数为何值时，函数y=(k-1)+3y=(k-1)+3为为二次函数二次函数5、已知二次函数、已知

2、二次函数y=ax2+bx，当，当x=1时，时，y=5当当x=-1时，时，y=-1求求a、b的的值值1.根据下列条件，求二次函数的根据下列条件，求二次函数的解析式：解析式：已知抛物线的顶点坐标为已知抛物线的顶点坐标为 (-1,-2)，且通过点，且通过点(1,10).已知抛物线经过已知抛物线经过 (2,0),(0,-2),(-2,3)三点三点.已知抛物线与已知抛物线与x轴交点的横轴交点的横坐标为坐标为-2和和1，且通过点，且通过点(2,8).Oy-11x2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判的图像如图所示，那么下列判断中不正确的有断中不正确的有()A、abc

3、0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0；b2-4ac0；b+2a0.其中所有正确结论的序号是（）A.B.C.D.a0，c0b+2a02a 0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0Oy-11x3、已知二次函数、已知二次函数y=-2x2 怎样怎样平移这个函数的图像才能使它平移这个函数的图像才能使它经过经过(0,0)，(1,6)两点？两点？注意：抛物线的平行移动问题注意：抛物线的平行移动问题一般应抓住一般应抓住“顶点顶点”这个关键这个关键点。点。4、已知点、已知点A(-1,-1)在抛物线在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上上(1)求抛物线的对称轴。

4、求抛物线的对称轴。(2)若点若点B与点与点A关于抛物线的关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点物线只交于一点B的直线？若存的直线？若存在，求符合条件的直线，若不在，求符合条件的直线，若不存在，说明理由。存在，说明理由。5、已知如图抛物线经过、已知如图抛物线经过A、B、C三点，顶点为三点，顶点为D，且与且与x轴的轴的另一个交点为另一个交点为E。(1)求抛物线求抛物线的解析式。的解析式。O3BC(2,3)DFAEx-15、已知如图抛物线经过、已知如图抛物线经过A、B、C三点，顶点为三点，顶点为D，且与且与x轴的轴的另一个交点为另一个交点为E。(2)AOB 与

5、与 BDE是否相是否相 似，如果相似似，如果相似 请予证明；请予证明；如果不相似如果不相似 请说明理由。请说明理由。O3BC(2,3)DFAEx-123-2-6拓展：若抛物线y1=a1x2+b1x+c1与以上抛物线关于x轴对称，试求y1=a1x2+b1x+c1的解析式。6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，求此函数解析式。练习：练习：练习：练习：7.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD组成，矩形的长BC为8米，宽AB为2米，以BC所在的直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系。y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点的距离为6米。（1）求抛物线的解析式；（2）现有一货车

6、卡高4.2米，宽2.4米，这辆车能否通过该隧道？请说明理由。（3）若该隧道内设双行道，该辆车还能通过隧道吗？请说明理由。GOGO中考链接：中考链接：1.（07浙江丽水）如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，3），则此抛物线对应的二次函数有（）（A）最大值1 （B）最小值3 （C）最大值3 （D）最小值1B中考链接：中考链接：2.（08常州）已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=,满足y0的x的取值范围是 ,将抛物线向 平移 个单位,则得到抛物线 31X5下下1中考链接：中考链接：3.根据图中的抛物线，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y有最大值。图

7、12224.如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是 。中考链接：中考链接：中考链接：中考链接：5.张大伯准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈。请你求出张大伯矩形羊圈的面积；请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由。1.如图如图,抛物线抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列请判断下列各式的符号：各式的符号：a 0;c 0;b2-4ac 0;b 0;a+b

8、+c 0 xyO中考热点2：抛物线位置与a、b、c的关系1122xyO中考热点2：抛物线位置与a、b、c的关系3.3.若抛物线若抛物线若抛物线若抛物线 的图象如图，则的图象如图，则的图象如图，则的图象如图，则a=a=.2.2.二次函数的图象如图所示，二次函数的图象如图所示，二次函数的图象如图所示，二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（则下列关系式不正确的是（则下列关系式不正确的是（则下列关系式不正确的是（）(A)a0 (A)a0 (B)abc0 (B)abc0(C)a+b+c0(D)(D)11-1-1中考热点2：抛物线位置与a、b、c的关系4.4.已知二次函数已知二次函数已知二次函数

9、已知二次函数 （其中（其中（其中（其中a0,b0,c0,b0,c0)的对称轴，当的对称轴，当x1=0,x2=1.5,x3=3时，时，对应的对应的y值依次是值依次是y1,y2,y3,则它们之则它们之间的大小关系是间的大小关系是_xyOx=21.531y1y2y3例例3.求满足下列条件的二次函数解析式：求满足下列条件的二次函数解析式：（1）二次函数的图像与）二次函数的图像与x轴交于点轴交于点A(2,0),B(4,0),且图像过点且图像过点C(1,6)（2）二次函数当）二次函数当x=1时有最大值时有最大值y=4,且且x=0时时 y=0（3）二次函数的图像可由函数）二次函数的图像可由函数y=ax2-1

10、的图像的图像 向左平移向左平移2个单位得到，且过点个单位得到，且过点M(-1,-3)（4）图象在图象在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为4，图象，图象 的顶点坐标为的顶点坐标为P（3，-2）。）。xyOP(3,-2)15（5）已知抛物线）已知抛物线C与抛物线与抛物线y=2x2-4x+5关关于于x轴对称，求轴对称，求抛物线抛物线C 的解析式的解析式。xyO(1,3)Y=2(x-1)2+3(1,-3)y=2(x-1)2-3思考：若把抛物线抛物线y=2xy=2x2 2-4x+5-4x+5绕着顶点旋绕着顶点旋转转1801800 0（6）抛物线与）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为轴两交点的横坐标之和

11、为 -2.5，积为，积为-6，且过点，且过点(0,-6)A(x1,0),B(x2,0)x1+x2=-2.5,x1x2=-6 x1,x2是方程是方程x2+2.5x-6=0的两根的两根所求的抛物线解析式是所求的抛物线解析式是Y=a(x2+2.5x-6)例例6.已知二次函数已知二次函数y=x2+ax+a-2（1）证明：不论）证明：不论a取何值，抛物线取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点的顶点Q总在总在x轴下方。轴下方。（2）设抛物线）设抛物线y=x2+ax+a-2与与y轴交于点轴交于点C，如，如果过点果过点C且平行于且平行于x轴的直线与该抛物线有两个轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一

12、交点为不同的交点，并设另一交点为D,问：问：ACD能能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由。解析式；若不能，请说明理由。（3）在（）在（2）题的已知条件下，又设抛物线与）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点轴的交点之一为点A,则能使则能使ACD的面积等于的面积等于0.25的抛物线有几条？请证明的结论。的抛物线有几条？请证明的结论。yOCx1x2AB7.二次函数与方程、不等式的关系二次函数与方程、不等式的关系思考：满足什么条件时，思考：满足什么条件时，二次函数值恒大于二次函数值恒大于0？恒？恒小于小于0？（7）抛

13、物线的顶点是直线）抛物线的顶点是直线y=2x与与y=-2x+4的的交点，且经过直线交点，且经过直线y=-2x+4与与y轴的交点轴的交点（8）把抛物线）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移向下平移2个单位，个单位，再向左平移再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且，且a+b+c=9，求原抛物线解析式，求原抛物线解析式例例4已知二次函数已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件：满足下列条件：（1）图象与）图象与x轴两个交点间的距离为轴两个交点间的距离为（2）当）当x1时，时，y随随x增大而减小。增大而减小。求求m的值。的值。变式：变式：已

14、知抛物线已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与与X轴交于轴交于A，B两点两点,与与y轴交于点轴交于点C,且同时满足下列且同时满足下列条件条件:(1)当当x-2时时,y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)当当x1时时,y随随x的增大而减小的增大而减小.如果如果O是坐标原点是坐标原点,M是是AB中点中点,问是否问是否存在这样的存在这样的m值值,使使COM的面积等于的面积等于2或或6?若存在若存在,请求出请求出m的值的值;若不存在若不存在,请说明请说明理由理由?例例5.已知点已知点A（-1，-1）在抛物线）在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上上（1）求抛物线的对称轴；）求抛物线的

15、对称轴；（2）若）若B点与点与A点关于抛物线的对称轴对称，点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存如果存在，求符合条件的直线；如果不存 在，说明理由。在，说明理由。解（解（2）B点与点与A点关于抛物线的对称轴对称点关于抛物线的对称轴对称B点坐标为（点坐标为（x,-1），又），又B点在抛物线点在抛物线 上，上，解得解得B点坐标为点坐标为K=-3,y=8x2+10 x+1当直线过点当直线过点B，且与，且与y轴平行时，轴平行时，满足条件，此时直线为满足条件，此时直线为假设存在直线假设存在直线y=mx+n与

16、抛物线只交于一点与抛物线只交于一点BB BA A练习练习：一个二次函数的图像经过(0,0),(-1,-11),(1,9)三点(1)求二次函数解析式(2)抛物线的顶点坐标(),对称轴为直线:(3)当X=()时,Y有最()值为()解（解（1）：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由题意得：0=c -11=a-b+c 9=a+b+cn解得a=-1,b=10,c=0n所以：所求二次函数的解析式为y=-x2+10 xn（2）抛物线的顶点坐标（5,25)，对称轴为直线X=5n（3）当X=5时，Y有最大值为25。n例例2:n 已知抛物线的顶点坐标为(1,2),且经过点(2,3).求抛物线的解析式又因图象经

17、过点（2，3）所以3=a(2-1)2+2所以a=1所以所求抛物线解析式为y=(x-1)2+2例例2解：解：n因为抛物线顶点坐标为（1，2）n所以设抛物线的解析式为ny=a(x-1)2+2练习：练习：如图所示：公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.5米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向，沿形状相同的抛物线路线落下。为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米。建立如图所示的直角坐标系：（1）求抛物线的解析式（2）如果你是设计师，在不计其他因素的条件，水池的半径至少要多少米？才能使喷出的水流不致于

18、落在池外？AyOBxAO答案：答案：（1）解：由题意，结合图形可知抛物线顶点坐标（1，2.25）因为设抛物线成解析式为y=（x-1）2+2.25又因图象经过点A（0，1.5）所以1.5=a(0-1)2+2.25所以a=-0.75所以所求抛物线为y=-0.75(x-1)2+2.25或y=-3/4(x-1)2+9/4例例3：已知二次函数的图像与X轴交于A (-1,0)、B(3,0)两点,点C(2,3)也在图象上。求二次函数解析式：解：设抛物线解析式为y=a(x-x1)(x-x2)因为x1=-1，x2=3所以y=a(x+1)(x-3)又因点C（2，3）在图象上所以3=a(2+1)(2-3)所以a=-

19、1所以抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)即y=-x2+2x+3例例3：A OB(3,0)(-1,0)xy.例例4:探究题探究题:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,a),B(1,-2)求证:这个二次函数的对称轴是直线X=2题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了的无法辩认的文字。(1)根据现有信息,你能否求出题目中的二次函数的解析式?若能,写出求解过程,若不能,说明理由。(2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,填加一个适当的条件,把原题补充完整。例例4：（1）解：）解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，a)，B（1，-2）所以a=c-2=a+b+c又因二次函数图象的对称轴为直线X=2所以-b/2a=2解方程组 a=c a=1 a+b+c=-2 得 b=-4 -b/2a=2 c=1所以能求出题目中二次函数的解析式，且所求解析式为：y=x2-4x+1（2）解：）解：1）满足函数解析式的任一点的坐标2）与Y轴的交点坐标（0，1）3）与X轴的交点坐标（）或（）4）最值为-35）顶点坐标为（2，-3）等等