分类计数原理与分步计数原理.ppt

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1、 目前我目前我市市电话号码有几个数字组成？电话号码有几个数字组成？随着我随着我市市电讯事业的不断发展，在不久电讯事业的不断发展，在不久的将来我的将来我市市的电话号码就必须升位。的电话号码就必须升位。这就给我们提出了这样的问题：目前这就给我们提出了这样的问题：目前我我市市最多能提供多少个不同的电话号码？最多能提供多少个不同的电话号码？问题问题1:五一期间，某家庭自动旅游，欲从温五一期间，某家庭自动旅游，欲从温州去上海，如果一天中火车有州去上海，如果一天中火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么一天中，乘坐这些交通工具从温州到那么一天中，乘坐这些交通工具从温州到上海共有多少种不同的走法？上海共有多

2、少种不同的走法？分析分析:从温州到上海有从温州到上海有2类方法类方法,.乘火车，乘火车，3种方法种方法;.乘汽车，乘汽车，2种方法种方法;所以所以 从温州到上海共有从温州到上海共有 3+2=5 种不同方法。种不同方法。温州温州上海上海火车火车1火车火车2火车火车 3汽车汽车1汽车汽车2 探究探究:如果完成一件事有三类不同方案，在第如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有类方案中有 M1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中类方案中有有M2种不同的方法，在第种不同的方法，在第3类方案中有类方案中有M3种不同种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法的方法，那么完成这件事共有

3、多少种不同的方法？如果完成一件事情有如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？呢？分类计数原理分类计数原理 一般地一般地,若完成一件事，有若完成一件事，有 类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法类办法中有中有 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 类办法中有类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法1)首先要根据具体的问题确定一个分类首先要根据具体的问题确定一个分类 标准，在分类标

4、准下进行分类，然后对标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数每类方法计数.说明说明说明说明2)各类办法之间相互独立各类办法之间相互独立,都能独立的都能独立的 完成这件事完成这件事,要计算方法种数要计算方法种数,只需将只需将 各类方法数相加各类方法数相加,又称又称加法原理加法原理 问题问题2:后来听说杭州风光别具一格，于是改变行后来听说杭州风光别具一格，于是改变行程，要从温州先乘火车到杭州程，要从温州先乘火车到杭州,再于次日从杭州乘再于次日从杭州乘汽车到上海，一天中，火车有汽车到上海，一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，班，那么两天中，从温州经杭州到上海共有多少种不那么两天中，从温州

5、经杭州到上海共有多少种不同的走法？同的走法？第二步第二步,由杭州去上海有由杭州去上海有2种方法种方法 分析分析:从温州经杭州去上海有从温州经杭州去上海有2步步,第一步第一步,由温州去杭州有由温州去杭州有3种方法种方法,所以所以 从温州经杭州到上海共有从温州经杭州到上海共有3 2=6 种不同的方法。种不同的方法。汽车汽车2杭州温州温州上海上海汽车汽车1火车火车1火车火车 3火车火车2如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步中都有若个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？干种不同方法，那么应当如何计数呢？探究：如果完成一件事需要两个步骤，做第如果完成一件事需

6、要两个步骤，做第1步步 有有 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有 种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？那么完成这件事共有多少种不同的方法？分步计数原理分步计数原理一般地，若完成一件事，需要分成一般地，若完成一件事，需要分成 类步类步骤，做第骤，做第1步有步有 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第 步有步有 种不同的方种不同的方法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法.1）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数标准，

7、然后对每步方法计数.2）各个步骤相互依存各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了,这件事才算完成这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数完成这件事的方法总数,又称又称乘法原理乘法原理说明说明说明说明 明确区别，突出重点明确区别，突出重点 例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不本不同的体育书同的体育书（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有本书，有多少种不同的取法？多少种不同的取法？(3)从书架上取

8、从书架上取2本不同种的书本不同种的书,有多少种不有多少种不同的取法同的取法?（1）从书架上任取）从书架上任取1本书，有多少种不同本书，有多少种不同的取法？的取法？解解:(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有有3类办法类办法:根据分类计数原理根据分类计数原理,不同取法的种数是不同取法的种数是 N=4+3+2=9.答答:从书架上任取从书架上任取1本书本书,有有9种不同的取种不同的取法法.第第3类办法是从第类办法是从第3层取层取1本体育书本体育书,第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺书本文艺书,第第1类办法从第类办法从第1层取层取1本计算机书本计算机书,有有4种方法种方法;有有3种

9、方法种方法;有有2种方法种方法.解：解：(2)从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,可可以分成以分成3个步骤完成个步骤完成:答答:从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有有24种不同的取法种不同的取法.根据分步计数原理根据分步计数原理,从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,不同取法的种数是不同取法的种数是N=432=24.有有2种方法种方法.第第3步从第步从第3层取层取1本体育书本体育书,第第2步从第步从第2层取层取1本文艺书本文艺书,有有3种方法种方法;第第1步从第步从第1层取层取1本计算机书本计算机书,有有4种方法种方法;解：需先分类再分步解

10、：需先分类再分步.根据两个基本根据两个基本原原理理,不同的取法总数是不同的取法总数是 N=43+32+24=26答答:从书架上取从书架上取2本不同种的书本不同种的书,有有26种不同的取法种不同的取法.（3）从书架上取）从书架上取2本不同种的书本不同种的书,有多少种不同有多少种不同的取法的取法?联系实际举出两个关于分类计数原理与分步计数联系实际举出两个关于分类计数原理与分步计数原理例子并解答原理例子并解答 原理的联系、区别及特点：（小组讨论、原理的联系、区别及特点：（小组讨论、原理的联系、区别及特点：（小组讨论、原理的联系、区别及特点：（小组讨论、共同总结）共同总结）共同总结）共同总结）分类法：

11、相互独立，每种方法均能分类法：相互独立，每种方法均能 独立完成这件事独立完成这件事 分步法：各步骤中的方法相互依存，只有分步法：各步骤中的方法相互依存，只有 各个步骤都完成才算完成这件事各个步骤都完成才算完成这件事：都要有一个确定的标准：都要有一个确定的标准,分类时要彻底分类时要彻底,无交叉无交叉,分步时要恰到好处。分步时要恰到好处。:都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。联系联系联系联系区别区别区别区别特点特点特点特点 例例3.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许

12、同一允许同一种颜色使用多次种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜但相邻区域必须涂不同的颜色色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？综合应用，探索研究（综合应用，探索研究（染色问题染色问题）1.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多不同的涂色方案有多少种？少种？解解:按地图按地图A、B、C、D四四个区域依次分四步完成个区域依次分四步完成,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同的涂色方得

13、到不同的涂色方案种数共有案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。第四步第四步,m4=1 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第一步第一步,m1=3 种种,引申引申1:1:如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域四个区域分别涂上分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种允许同一种颜色使用多次颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？问问:若用若用2色、色、4色、色、5色等色等,结果又怎样呢结果又怎样呢？答答:它们的涂色方案它们的涂色方案 种数分别是种数分别是 0,

14、4322=48,5433=180 种。种。如图一如图一,要给要给,四块区域分别涂上四块区域分别涂上五种颜色中的某一种五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用允许同一种颜色使用多次多次,但相邻区域必须涂不同颜色但相邻区域必须涂不同颜色,则不同则不同涂色方法种数为多少涂色方法种数为多少?5434=240种种,5444=320种种180种种,乘法原理乘法原理 加法加法 原理原理 归归 纳纳 推推 理理 分分 类类 讨讨 论论 数学源于生活数学数学 用于用于 生活生活小结小结分类计数原理与分类计数原理与分步计数原理分步计数原理分类计数原理：分类计数原理：针针对的是对的是“分类分类”问问题，其各种方法互题

15、，其各种方法互相独立，用其中任相独立，用其中任何一种方法都可以何一种方法都可以做完这件事。做完这件事。分步计数原理：分步计数原理：针对针对的是的是“分步分步”问题，问题，各个步骤的方法相互各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤依存，只有各个步骤都完成了才算做完这都完成了才算做完这件事。件事。都是有关做一件事情的都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。不同方法的种数的问题。1.在艺术节期间举行一台文艺演出在艺术节期间举行一台文艺演出,需在需在3名教师名教师,8名男生名男生 和和5名女生中选出主持人名女生中选出主持人(1)若只需若只需1人主持人主持,有多少种不同的选法有多少种不同的选法(2)若需教

16、师若需教师,男生男生,女生各女生各1人主持人主持,有多少种不同选法有多少种不同选法(3)若需一名教师若需一名教师,一名学生主持一名学生主持,有多少种不同选法有多少种不同选法2.由由1,2,3,4,5组成三位数组成三位数(1)各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复,三位数共有多少个三位数共有多少个(2)各位上的数字不允许重复各位上的数字不允许重复,三位数共有多少个三位数共有多少个(3)各位上的数字允许重复的三位偶数有多少个各位上的数字允许重复的三位偶数有多少个3.(1)有不同的语文书有不同的语文书9本本,不同的英语书不同的英语书7本本,不同的法语书不同的法语书5本本,从中选出不属于同一种语言的

17、书从中选出不属于同一种语言的书2本本,不同的选法有不同的选法有_种种(2)从从4件不同的礼物中选件不同的礼物中选3件送给件送给3位小朋友位小朋友,每人一件每人一件礼物礼物,不同的选法有不同的选法有_种种4.(1)将将4封信投入到封信投入到3个不同的邮筒中去个不同的邮筒中去,共有共有_种不同的选法种不同的选法 (2)有有4名同学报名参加数名同学报名参加数,理化竞赛理化竞赛,每人限报一项每人限报一项,则不同的报名方法有则不同的报名方法有_ (3)有有4名同学获数名同学获数,理理,化竞赛冠军化竞赛冠军,冠军获得者共有冠军获得者共有_种可能种可能5.设设M=-1,0,1,N=1,2,3,4,从从M,N中各取一个元素作为点中各取一个元素作为点 的坐标的坐标,则可得不同的点的个数是则可得不同的点的个数是_1234123412347.用用4种不同颜色给如图所示的地图上色种不同颜色给如图所示的地图上色,要求相邻要求相邻两块两块 (有公共边有公共边)的颜色不同的颜色不同,共有多少种涂色方法共有多少种涂色方法?6.若若x,yN,且且x+y6,则有序数对则有序数对(x,y)有有_个个