113角平分线的性质与判定.ppt

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1、人教版八年级数学(上)11.3角平分线的角平分线的性质与判定性质与判定ADBCE 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？（对折）（对折）1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就

2、是是角角平平分分线线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪

3、或量角器）量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（

4、使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两边的距离相等两边的距离相等.题题设：一个点在一个角的平分线上设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=

5、OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E求证求证:PD=PE:PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动5(3)验证验证猜想猜想角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等。等。(4)得到得到角平分线角平分线的性质：的性质：活活 动动5 利利用用此此性性质质怎怎样书写推理过程样书写推理过程?1=2,PD O

6、A，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三角（全等三角形的对应边相等）形的对应边相等）P PA AO OB BC CE ED D12，OABED思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的的平分线平分线,P 是是OC上任上任意一点意一点,问问PE=PD?为为 什么什么?CPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例

7、尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路活活 如如 图图：在在 ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于 E，F在在 AC上上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因因为为角角的的平平分分线线的的性性质质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！做一做做

8、一做驶向胜利的彼岸w已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC.:EB=FC.老师期望老师期望:做完题目后做完题目后,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去.BAEDCF例例例例 已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图，ABCABC的角的角的角的角平分线平分线平分线平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点求证：点求证：点P P到三边到三

9、边到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等的距离相等的距离相等.n n证明：过点证明：过点证明：过点证明：过点P P作作作作PD PD、PEPE、PFPF分别分别分别分别垂直于垂直于垂直于垂直于ABAB、BCBC、CACA，垂足为垂足为垂足为垂足为D D、E E、F Fn nBMBM是是是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点的角平分线，点的角平分线，点P P在在在在BMBM上上上上（已知）（已知）（已知）（已知）n nPD=PEPD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距在角平分线上的点到角的两边的距离相等离相等）n n同理同理同理同理 PE=PF.PE=PF.n n

10、PD=PEPD=PE=PF.=PF.n n即点即点即点即点P P到边到边到边到边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本本节节课课学学习习了了那那些些知知识识？有有哪哪些些运运用用？你你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？回味无穷w定理定理 角平分线

11、上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等.wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.小结 拓展OCB1A2PDE 到一个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。的点，在这个角平分线上。已知：已知：PD OA，PE OB，垂足分别是垂足分别是D、E，PD=PE.求证：求证：点点P

12、在在AOB的平分线上。的平分线上。角平分线的判定定理角平分线的判定定理AOBPDEC用用符号语言表示为：符号语言表示为：PD=PE PD OA，PE OB 1=2.由上面两个定理可知：到角的两边的距离由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线是到角的两边距离相角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等的所有点的集合.练一练练一练填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDE

13、B121=2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等2.已知：如图，已知：如图，C=C=90 AC=AC 求证求证（1）ABC=ABC ；（2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）要求不用三角形全等的判定）BCAC例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtABCRtABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm,

14、求求DBE的周长的周长EDCBA利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。拓展与延伸3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分线上。3.角平分线的性质定理和角平分线的判角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径定理是证明角相等、线段相等的新途径.再再 见见JilichuangJilichuang