函数的连续性.ppt

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1、函数的连续性 桂东一中郭俊栋收集整理桂东一中郭俊栋收集整理一种是连续一种是连续变化的情况变化的情况温度计一、引入一、引入另另一种是间断的或跳跃的一种是间断的或跳跃的 例如邮寄信件时的邮费随邮例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。究函数连续与不连续的问题。4080120160 x克克y分分两种变化形式两种变化形式:二、新课二、新课:函数的连续性函数的连续性1、函数在某一点处的连续性、函数在某一点处的连续性如图：从直观上看，我们说一个函数在一点如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x

2、=xx=x0 0处连续是指处连续是指这个函数的图象在这个函数的图象在x=xx=x0 0处处没有中断，所以以上图象没有中断，所以以上图象(1)(1)在点在点x x0 0处是连续的处是连续的,而图象而图象(2)(3)(4)(2)(3)(4)在在x=xx=x0 0处是不连续的。处是不连续的。oxy1212oxy2.5（1）在）在x=1处有处有定义定义（2）（3）不存在。不存在。yxo12（1）在）在x=1处有定义；处有定义；（2）函数在）函数在x=1处的左右极限相处的左右极限相等，即函数在等，即函数在x=1处的极限存在，处的极限存在，且等于且等于2，但不等于，但不等于f（1）导致函数图象断开的原因：

3、导致函数图象断开的原因：1、函数在函数在 处没有定义处没有定义2、函数在函数在 时极限不存在时极限不存在3、函数在函数在 处的极限值和处的极限值和函数值不等函数值不等一般地，函数一般地，函数f（x）在点在点x0处连续处连续必须同时具备必须同时具备三个三个条件：条件：1、存在，即函数存在，即函数在点在点x0处有定义。处有定义。2、存在。存在。3、ox0 xy定义：定义：设函数设函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处及其附近有定处及其附近有定义义，而且，而且 则称函数则称函数f(xf(x)在在点点x=x0处连续，处连续，称称x x0 0为为函数函数f(xf(x)的连续点的连续点.例例1 讨论

4、下列函数在给定点处的连续性：讨论下列函数在给定点处的连续性：解：结合图象可知解：结合图象可知:（1）函数）函数 在点在点x=0处没有定义，因而它在处没有定义，因而它在 点点x=0处不连续。处不连续。（2）因为）因为练习练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在的图象，说出函数在x=a处是否连续：处是否连续：xyOaxyOaxyOaxyOaxyOaxyOa连续连续不不连续连续连续连续不不连续连续不不连续连续不不连续连续（1）（2）（3）（4）（5）（6）axyo（7）不连续不连续axyo（8）连续连续2、函数的连续性：、函数的连续性：(

5、1)(1)、开区间内连续：如果、开区间内连续：如果f(xf(x)在某一开区间在某一开区间(a,ba,b)内内每一点处都连续，就说函数每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（在开区间（a，b）内内连续，或说连续，或说f（x）是开区间（是开区间（a，b）内的连续函数内的连续函数.例如，函数例如，函数y=1+x2在闭区间在闭区间-1，1上连续，而函数上连续，而函数y=1/x在开区间（在开区间（0，1）内连续，在闭区间）内连续，在闭区间0，1上不上不连续，因为它在左端点连续，因为它在左端点x=0处不存在右极限。处不存在右极限。练习练习2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或、利用下列函数的图象，说

6、明函数在给定点或开区间内是否连续。开区间内是否连续。(2)(2)、闭区间上连续：如果函数、闭区间上连续：如果函数f(xf(x)在开区间在开区间(a,ba,b)内连续，在左端点内连续，在左端点x=ax=a处有处有 ，在右端点在右端点x=bx=b处有处有 ，就说函数，就说函数f(xf(x)在在闭区间闭区间 a,ba,b 上连续。上连续。xyo不不连续连续连续连续连续连续连续连续练习练习3:试问下列各图对应的函数试问下列各图对应的函数f(x)在在x=a处是否连续处是否连续?答案答案:连连续续的是的是(1).4 4、闭区间上连续函数的性质：、闭区间上连续函数的性质：ox2x1baxy从几何直观上看，闭

7、区间从几何直观上看，闭区间a，b上的一条连续曲线上的一条连续曲线,必必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意任意 ，这时我们说闭区，这时我们说闭区间间a,b上的连续函数上的连续函数f（x）在点在点x1处有最大值处有最大值f（x1),在点在点x2处有最小值处有最小值f（x2）。性质性质1 1 最大值最小值定理：最大值最小值定理：如果如果f f（x x）是闭区间是闭区间aa，bb上的连续函数，那么上的连续函数，那么f f（x x）在闭区间）在闭区间aa，bb上上有最大值和最小值。有最大值和最小值。注注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取

8、得。函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。如函数如函数 在点在点x=1处有处有最大值最大值1,在在点点x=-1处有最小值处有最小值-1.若令若令h(x)=f(x)+g(x),因为函数因为函数f(x)、g(x)在在x=x0处连处连续，所以函数续，所以函数h(x)在在x=x0处有定义处有定义,而且而且:性质性质2 如果函数如果函数f(x)、g(x)在某一点在某一点x=x0处连续，那么处连续，那么函数函数 在点在点x0处都连处都连续。续。5、初等函数的连续性：、初等函数的连续性：我们以前学习了许多初等函数我们以前学习了许多初等函数(幂函数、指数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等对数函数

9、、三角函数等)，由它们的图象可以看出，这，由它们的图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值,它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的性质性质2，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数y=ax2+bx+c可以看作是由常数可以看作是由常数a乘以幂函数乘以幂函数x2的积，的积，加上常数加上常数b乘以幂函数乘以幂函数x的积，再加上常数的积，再加上常数c

10、而得到的而得到的,它在其定义域内每一点都是连续的。它在其定义域内每一点都是连续的。从而初等函数在其定义域内每一点的极限值就等于从而初等函数在其定义域内每一点的极限值就等于这一点的函数值，也就是说对初等函数而言，求极限这一点的函数值，也就是说对初等函数而言，求极限就是求函数值，使极限运算大大简化。就是求函数值，使极限运算大大简化。三、例题选讲三、例题选讲例例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性讨论下列函数在给定点或区间上的连续性:从而从而f(x)在在x=0处极限不存在处极限不存在,因此因此f(x)在在x=0不连不连续续.故故f(x)在在x=2处无定义处无定义,从而从而f(x)在在x=2处不连

11、续处不连续,因此因此f(x)在在0,2上不连续上不连续.事实上事实上f(x)在在0,2)内是连续的内是连续的.说明说明1:考察分段函数在分界处的极限考察分段函数在分界处的极限,一般要分左、右一般要分左、右 极限进行讨论来确定极限进行讨论来确定,判断函数在某点处的连续判断函数在某点处的连续 性性,一般按这样的顺序一般按这样的顺序:一看定义一看定义,二看极限二看极限(注意注意 左、右极限左、右极限),三看函数值三看函数值(观察在观察在x0处极限是否处极限是否等等 于于f(x0).2:对于分式函数对于分式函数,要注意如果分子、分母约去一个要注意如果分子、分母约去一个 或几个因式后或几个因式后,所得函

12、数与原函数是否是同一个所得函数与原函数是否是同一个 函数函数.延伸：设延伸：设 问怎样选择实数问怎样选择实数a,能使能使f(x)在在R上是连续的上是连续的.练习练习1:已知已知 ,试判断试判断f(x)在点在点x=0,x=1,x=2处是否连续处是否连续.同理同理f(x)在在x=1处连续处连续;说明说明:此题也可以通过图象来判断此题也可以通过图象来判断.例例2:已知函数已知函数 ,判断此函数在定义域内是判断此函数在定义域内是 否连续否连续,若不连续若不连续,请求出其不连续点请求出其不连续点.解解:因此因此,f(x)的定义域为的定义域为函数函数f(x)在在x=-1及及x=1处不连续处不连续.这是由于

13、这是由于,当当x=-1时时,f(x)无意义无意义;而而x=1时时连续函数的一个重要性质连续函数的一个重要性质(介值定理介值定理):设设f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且且f(a)f(b)0,则必存在一必存在一点点,使使f()=0.即方程即方程f(x)=0在开在开区间区间(a,b)内至少有一内至少有一个根个根.例如我们可以利用上面的定理证明下面的两题例如我们可以利用上面的定理证明下面的两题:1.求证方程求证方程x5-3x=1在在(1,2)内至少有一根内至少有一根.证证:令令f(x)=x5-3x-1,则则f(x)在闭区间在闭区间1,2上连续上连续,且当且当x=1时时,f(1)=-30,

14、因此因此,存在存在 ,使得使得f()=0.即方程即方程x5-3x=1在开区间在开区间(1,2)内至少有内至少有 一个根一个根.2:求证方程求证方程x=asinx+b(a0,b0)至少有一正根至少有一正根.证证:令令f(x)=asinx+b-x(a0,b0),则则f(x)在在R上连续上连续,又又f(0)=b0,f(a+b)=asin(a+b)-10,又又f(x)在在(0,a+b)上上 不恒为零不恒为零,从而至少存在从而至少存在 使使f(x0)=0,即方即方程程 x=asinx+b在在(0,a+b上至少有一根上至少有一根,也即至少有一也即至少有一正正 根根.四、小结四、小结1:极限思想极限思想:利

15、用极限思想把一个几何直观上的利用极限思想把一个几何直观上的“连续连续”抽象概括为一个纯数学概念抽象概括为一个纯数学概念连续连续,这样做既准确这样做既准确 有入微有入微,还能进一步发展有关命题还能进一步发展有关命题.2:判断函数在某点判断函数在某点x0处连续的方法处连续的方法:第一步判断第一步判断x0是属是属 于定义域于定义域,第二步证明第二步证明 .3:判断函数在某点判断函数在某点x0处不连续的方法处不连续的方法:只要证明下列情只要证明下列情 况之一况之一,即可判断函数在某点即可判断函数在某点x0处不连续处不连续.4:若函数若函数y=f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,则必存在最大值则必存在最大值 和最小值和最小值;若若f(x)在在a,b上单调递增上单调递增,则则f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);若若f(x)在在a,b上单调递减上单调递减,则则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).5:较复杂函数的极限的求法较复杂函数的极限的求法:将所求函数转化为连续函将所求函数转化为连续函 数的加、减、乘、除数的加、减、乘、除,再利用连续函数的定义通过再利用连续函数的定义通过 求解求解.