242抛物线的简单几何性质.ppt

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1、xyOKFM l（一）（一）12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学一、复习1.1.抛物线的定义抛物线的定义 我们我们把平面内与一个定点把平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l(不不经过点经过点F F)的距离的距离相等相等的点的轨迹叫做抛物线。的点的轨迹叫做抛物线。点点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点，直线，直线l叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线.xyOKFM l2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程xyOFM xyOFM y2=

2、2px(p0)y2=-2px(p0)xyOFM x2=2py(p0)yxOFM x2=-2py(p0)12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学3.3.抛物线，标准型抛物线，标准型:焦点紧随一次项，数量只有四分一焦点紧随一次项，数量只有四分一.焦点:焦点:12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学二、性质探讨二、性质探讨1.范范围围以以y2=2px(p0)为为例例xyOKFM l利用利用y20可得：可得：x0这这条抛物条抛物线线在在y轴轴右右侧侧；开口与开口与x轴轴的正向相同；的正向相同；x的的值值增大增大时时，y 也增大也增大,抛物抛物线线

3、向右上向右上方和右下方无限延伸方和右下方无限延伸.12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学2.对对称性称性以以y代代y，方程，方程y22px不不变变，这这条抛物条抛物线线关于关于x轴对轴对称，称，x轴轴称称为这为这条抛物条抛物线线的的对对称称轴轴.对对称称轴轴过过焦点，且与准焦点，且与准线线垂直垂直.xyOKF l12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学3.顶顶点点抛物抛物线线和它的和它的轴轴的交点叫的交点叫顶顶点点.标标准形式的抛物准形式的抛物线线的的顶顶点就是原点点就是原点.4.离心率离心率抛物抛物线线上的点到焦点的距离和它到准上的点

4、到焦点的距离和它到准线线的距的距离的比，叫做抛物离的比，叫做抛物线线的的离心率离心率，用，用e表示表示.由定由定义义知，知，e112/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学1、斜率为、斜率为1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且且与抛物线相交于与抛物线相交于A、B两点两点,求求AB的长的长.解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出线方程联立方程组，求出A A、B B坐标，利用两坐标，利用两点间的距离公式求出点间的距离公式求出|AB|.|AB|.解法二解法二(数形结合数形结合)：由右图由

5、右图,利用抛物线的定义可知利用抛物线的定义可知：xyOAFA BB 即只要求出即只要求出x1+x2即可求出即可求出|AB|AB|三、性质运用三、性质运用12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学解：解：p=2，焦点焦点F(1,0)，准线，准线l：x=-1则直线则直线l的方程为：的方程为：y=x-1，代入代入y2=4x化简得：化简得：x2-6x+1=0所以所以|AB|=|AA|+|BB|=x1+x2+2=8 线段线段|AB|的长为的长为8.x1+x2=61、斜率为、斜率为1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且且与抛物线相交于与抛物线相交于A、B两

6、点两点,求求AB的长的长.xyOAFA BB 12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学设设AB是过抛物线是过抛物线y22px焦点的一条弦焦点的一条弦(焦点焦点弦弦)，若，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有则有|AB|=x1+x2+p 特别地：特别地：当当ABx轴，抛物线的轴，抛物线的通径通径|AB|=2pxyOAFA BB 焦点弦长公式：焦点弦长公式：12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学练习练习：以抛物：以抛物线线的焦点弦的焦点弦为为直径的直径的圆圆与与该该抛物抛物线线的准的准线线的关系是（的关系是（）A.相交；相交；B.相切；

7、相切；C.相离；相离；D.不确定不确定.提示：利用焦点弦的特点，提示：利用焦点弦的特点，结结合梯形中位合梯形中位线线的性的性质质.B12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学作业作业P73 A组组5、612/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学xyOKFM l（二）（二）（需两课时）（需两课时）12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学一、复习抛物线的几何性质抛物线的几何性质1.范范围围以以y2=2px(p0)为为例例x0 xyOKFM l这这条抛物条抛物线线在在y轴轴右右侧侧；开口与开口与x轴轴的正向相同；的正向相

8、同；x的的值值增大增大时时，y 也增大也增大,抛物抛物线线向右上向右上方和右下方无限延伸方和右下方无限延伸.12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学2.对对称性称性这这条抛物条抛物线线关于关于x轴对轴对称，称，x轴轴称称为这为这条抛物条抛物线线的的对对称称轴轴.对对称称轴轴过过焦点，且与准焦点，且与准线线垂直垂直.xyOKF l12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学3.顶顶点点抛物抛物线线和它的和它的轴轴的交点叫的交点叫顶顶点点.标标准形式的抛物准形式的抛物线线的的顶顶点就是原点点就是原点.4.离心率离心率e112/11/202212/

9、11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学设设AB是过抛物线是过抛物线y22px焦点的一条弦焦点的一条弦(焦点焦点弦弦)，若，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有则有|AB|=x1+x2+p 特别地：特别地：当当ABx轴，抛物线的轴，抛物线的通径通径|AB|=2pxyOAFA BB 焦点弦长公式：焦点弦长公式：若抛物线为若抛物线为y22px，焦点弦焦点弦AB，则有，则有|AB|=p（x1+x2）12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学练习练习：以抛物：以抛物线线的焦点弦的焦点弦为为直径的直径的圆圆与与该该抛物抛物线线的准的准线线的关系是（的关系是（）A.相交；相

10、交；B.相切；相切；C.相离；相离；D.不确定不确定.提示：利用焦点弦的特点，提示：利用焦点弦的特点，结结合梯形中位合梯形中位线线的性的性质质.B三、性质运用三、性质运用12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学xyOFA B 代入代入y2=2px化简得：化简得：3.直线直线l经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点,且与抛且与抛物线相交于物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点两点,求证：求证：1)2)y1y2=p2.也可也可联联立直立直线线方程与抛物方程与抛物线线方程后消去方程后消去x斜斜率率不不存存在在呢呢？12/11/202212/11/2

11、022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学过抛物线焦点的直线与抛物线相交于过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A A、B B两点两点,过点过点A A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于D D，求证：直，求证：直线线DBDB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.分析：根据已知条件写出分析：根据已知条件写出ABAB所在所在的直线方程，与抛物线方程联立的直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出方程组，求出A A、B B坐标，进而写坐标，进而写出出AOAO的直线方程，求出它与准线的直线方程，求出它与准线的交点的交点D D，观察，观察B B、D D坐标，判断坐标，判断结果。结果

12、。变式训练变式训练A xyOFDB 点评：相交问题要活用方程组思想点评：相交问题要活用方程组思想.P72练习练习3、412/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学例例1.已知抛物已知抛物线线方程方程为为y2=4x,直直线线l过过定点定点P(2，1)斜斜率率为为k.k为为何何值时值时，直，直线线l与抛物与抛物线线y2=4x只有一个公共只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？点；有两个公共点；没有公共点？分析：分析：直直线线与与圆锥圆锥曲曲线线的关系的关系问题问题就是运用方程就是运用方程思想，思想，讨论讨论方程方程组组的解的个数的解的个数.关关键键：列方程列方程组组：消去

13、消去x：ky24y+4(2k+1)=0 抓住抓住k是否是否为为零零进进行行讨论讨论，注：注：12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学2、过过定点定点P(0,1)且与抛物且与抛物线线y2=2x只有一个公只有一个公共点的直共点的直线线方程方程.提示：先作提示：先作图图探探讨讨，分分类讨论类讨论是关是关键键！当直当直线线有斜率有斜率时设时设其方程其方程为为：y=kx+1与抛物与抛物线线方程方程联联立，消去立，消去x得：得：ky22y20k0或或k0.5所求直所求直线线有三条：有三条：x0，y=1或或y=0.5x+112/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳

14、市铁一中学3、过过抛物抛物线线y2=2x的的顶顶点做互相垂直的两条弦点做互相垂直的两条弦OA、OB.（1）求）求AB中点的中点的轨轨迹方程；迹方程；（2）证证明：明：AB与与x轴轴的交点的交点为为定点定点.提示：使用参数法，以提示：使用参数法，以A、B的坐的坐标标为为参数，参数，但但对对每个点只需每个点只需设设横坐横坐标标或或纵纵坐坐标标利用垂直关系和中点坐利用垂直关系和中点坐标标公式可消公式可消去参数去参数.这这里里设纵设纵坐坐标标较较好好所求所求为为：y2=x2(2)设设AB与与x轴轴交于交于M(m,0)利用三点共利用三点共线线可得：可得：m2参数法的三个关参数法的三个关键键：（1）选择选

15、择适当的参数；适当的参数；（2）列出方程）列出方程组组(比参数多一个比参数多一个);（3）消去参数）消去参数.12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学变变式式练习练习：抛物：抛物线线y2=8x上有一点上有一点P(2,4),以以P作作为为一个一个顶顶点，作抛物点，作抛物线线的内接的内接PQR，使得，使得PQR的重心恰好是抛物的重心恰好是抛物线线的焦点，的焦点，试试求求QR所所在直在直线线的方程的方程.分析：分析：中点弦中点弦问题问题宜用宜用设设而不求，代点相减，而不求，代点相减，整体消除参数整体消除参数求斜率求斜率k2设设QR的中点的中点为为M，先利用，先利用P、F、M的关系求出的关系求出M点的坐点的坐标标.M(2,2)“设设而不求而不求”优势优势在整体消参；在整体消参；方程方程组组求解是通法通解求解是通法通解.点点评评12/11/202212/11/2022衡阳市铁一中学衡阳市铁一中学