84轨迹和轨迹方程（第2课时）.ppt

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1、第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程第 讲（第二课时）（第二课时）1题型题型3 代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程1.设双曲线设双曲线 的右焦点为的右焦点为F，右准线为右准线为l，P为双曲线上任意一点为双曲线上任意一点.以点以点P为圆心作圆使之与直线为圆心作圆使之与直线l相切，交线段相切，交线段PF于于Q点，求点点，求点Q的轨迹方程的轨迹方程.2解：解：设圆设圆P与准线与准线l相切于相切于M点点,则则因为因为|PM|=|PQ|,所以所以|PF|=2|PQ|,即即Q为线段为线段PF的中点的中点.设点设点Q(x，y),P(x0，y0).又点又点F(2,0),所以所以 解得解得又因为点又因为点P在双

2、曲线上，所以在双曲线上，所以3于是于是故点故点Q的轨迹方程是的轨迹方程是点点评评：此此题题中中动动点点Q(x，y)是是随随着着动动点点P(x0，y0)的的运运动动而而运运动动的的，而而点点P在在已已知知曲曲线线上上，因因此此只只要要将将x0、y0用用x、y表表示示后后代代入入曲曲线线方方程程中中，即即可可得得点点Q的的轨轨迹迹方方程程.这这种种求求轨轨迹的方法称为代入法迹的方法称为代入法(又称相关点法又称相关点法).4 求求经经过过定定点点A(1，2)，以以x轴轴为为准准线线，离心率为离心率为 的椭圆下方的顶点的轨迹方程的椭圆下方的顶点的轨迹方程.解：解：设椭圆下方的焦点为设椭圆下方的焦点为F

3、(x0，y0)，由定义知由定义知 所以所以|AF|=1，故点故点F的轨迹方程为的轨迹方程为(x0-1)2+(y0-2)2=1.又设椭圆下方顶点为又设椭圆下方顶点为P(x,y),则则x0=x,y0=y,所以点所以点P的轨迹方程是的轨迹方程是(x-1)2+(y-2)2=1.52.如右图如右图,P是抛物线是抛物线C：上一点，直线上一点，直线l过点过点P且与抛物线且与抛物线C交于另一点交于另一点Q.若直线若直线l与过点与过点P的切线垂直，的切线垂直，求线段求线段PQ的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.解：解：设设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)，依题意知依题意知x10，y10，y2

4、0.由由 由由得得y=x,题型题型4 参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程6所以过点所以过点P的切线的斜率的切线的斜率k切切=x1.所以直线所以直线l的斜率的斜率所以直线所以直线l的方程为的方程为 方法方法1：联立：联立消去消去y，得，得因为因为M为为PQ的中点，的中点，所以所以7消去消去x1，得，得 所以所以PQ的中点的中点M的轨迹方程为的轨迹方程为 方法方法2：由：由 得得 则则 所以所以 将上式代入将上式代入式并整理，得式并整理，得 所以所以PQ的中点的中点M的轨迹方程为的轨迹方程为8点点评评：本本题题主主要要考考查查了了直直线线、抛抛物物线线的的基基础础知知识识，以以及及求求轨轨迹迹方方程

5、程的的常常用用方方法法.本本题题求求解解的的关关键键是是利利用用导导数数求求切切线线的的斜斜率率以以及及灵灵活活运运用用数数学学知知识识分分析析问问题题、解解决决问问题题.本本题题先先设设P，Q两两点点的的坐坐标标为为参参数数，然然后后利利用用抛抛物物线线方方程程、切切线线方方程程等等得得出出横横坐坐标标的的关关系系及及中中点点M的的坐坐标标，再再把把所所求求点点M的的坐坐标标(x0，y0)转转化化为为所所设设参参数数x1的的式式子子，然然后后通通过过消消去去所所设设参参数数，就就得得到到x0,y0的的方方程程，这这就就是是参参数数法法求求轨轨迹迹方方程程.应应用用参参数数法法的的关关键键是是

6、找找到到各各参数之间的关系及如何代入或整体消参参数之间的关系及如何代入或整体消参.9 已知双曲线已知双曲线x2-y2=2的左、右焦的左、右焦点分别为点分别为F1、F2，过点，过点F2的动直线与双曲线的动直线与双曲线相交于相交于A、B两点两点.若动点若动点M满足满足 (其中其中O为坐标原点为坐标原点)，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程.解：解：由条件知由条件知F1(-2，0)，F2(2，0).设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则则由由 得得 即即10于是线段于是线段AB的中点坐标为的中点坐标为当线段当线段AB不与不与x轴垂直时，轴垂直时，即即又因为又因为A、B两点在双曲线上，

7、两点在双曲线上，所以所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，即即(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y.11将将 代入上式，代入上式，化简得化简得(x-6)2-y2=4.当直线当直线AB与与x轴垂直时，轴垂直时，x1=x2=2，求得求得M(8，0)，也满足上述方程，也满足上述方程.所以点所以点M的轨迹方程是的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.12设椭圆方程为设椭圆方程为 过点过点M(0，1)的直线的直线l交交椭圆于点椭圆于点A、B，O是坐标原点，点是坐标原点，点P满足满足 点点N的坐标为的坐标为 当当l绕点

8、绕点M旋转时旋转时,求求 的最小值与最大值的最小值与最大值.解法解法1：直线直线l过点过点M(0,1),设其斜率为设其斜率为k，则则l的方程为的方程为y=kx+1.记记A(x1，y1)，B(x2，y2).题型题型 轨迹思想的应用轨迹思想的应用13由题设可得点由题设可得点A、B的坐标的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组是方程组 的解的解,将将代入代入并化简并化简,得得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以，所以 于是于是 设点设点P的坐标为的坐标为(x，y)，则，则 消去参数消去参数k得得4x2+y2-y=0.14当当k不存在时，线段不存在时，线段AB的中点为坐标的中点为坐标原点原点(0

9、，0)，也满足方程，也满足方程，所以点所以点P的轨迹方程为的轨迹方程为4x2+y2-y=0.所以所以又又即即 所以所以所以当所以当 时，时，当当x=时，时，|NP|min=.15解法解法2：设点设点P的坐标为的坐标为(x，y).因为因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，在椭圆上，所以所以 由由-得得所以所以 当当x1x2时时,有有 16并且并且 将将代入代入并整理得并整理得4x2+y2-y=0.当当x1=x2时，点时，点A、B的坐标分别为的坐标分别为(0，2)和和(0，-2)，此时点，此时点P(0，0)也满足也满足.所以点所以点P的轨迹方程是的轨迹方程是4x2+y2-y=0.以下同解

10、法以下同解法1.171.求求轨轨迹迹方方程程是是解解析析几几何何的的基基本本内内容容，必必须须理理解解各各种种方方法法在在什什么么情情况况下下使使用用.常常用用方方法法：定定义义法法、直直接接法法、代代入入法法、参参数数法法.在在解解题题时时考考虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序.2.求求轨轨迹迹方方程程与与求求轨轨迹迹是是有有不不同同要要求求的的，若若是是求求轨轨迹迹则则一一般般先先求求出出方方程程，然然后后说说明明和和讨讨论论所所求求轨轨迹迹是是什什么么样样的的图图形形，即即图图形形的的形形状状、位置、大小都需说明、讨论清楚位置、大小都需说明、讨论

11、清楚.183.某某些些最最值值问问题题常常常常化化归归为为轨轨迹迹问问题题来来解解决决，即即先先研研究究动动点点的的轨轨迹迹或或轨轨迹迹方方程程，再再在此基础上求相关最值，这就是轨迹思想在此基础上求相关最值，这就是轨迹思想.4.利利用用参参数数法法求求动动点点轨轨迹迹也也是是解解决决问问题题的常用方法，应注意如下几点：的常用方法，应注意如下几点：(1)参参数数的的选选择择要要合合理理，应应与与动动点点坐坐标标x、y有有直直接接关关系系，且且易易用用参参数数表表达达.可可供供选选择择作作为为参参数数的的元元素素很很多多，有有点点参参数数、角角参参数数、线线段参数、斜率参数等段参数、斜率参数等.19(2)消消参参数数的的方方法法有有讲讲究究，基基本本方方法法有有代代入入法法，加加减减法法，构构造造公公式式法法等等，解解题时应注意积累题时应注意积累.(3)对对于于所所选选的的参参数数，要要注注意意其其取取值值范范围围，并并注注意意参参数数范范围围对对x、y的的取取值值范范围的制约围的制约.20