3.7三角函数的综合应用.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.三角函数的综合应用就是利用三角函数的三角函数的综合应用就是利用三角函数的_、_和和_及其两角和与差解三角函数及其两角和与差解三角函数,综合解综合解 决有关复杂的数学问题决有关复杂的数学问题,特别是求最值特别是求最值.2.2.向量的向量的_或向量的坐标可化为或向量的坐标可化为_进进 行计算行计算.在三角形中研究三角函数问题与在三角形中研究三角函数问题与_、_定理的结合定理的结合,注意角的范围注意角的范围.3.7 3.7 三角函数的综合应用三角函数的综合应用基础知识基础知识 自主学习自主学习定义定义图象图象性质性质夹角问题夹角问题三角形式三角形式正弦正弦余弦余弦3.3.求三

2、角函数的最值求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界主要利用正、余弦函数的有界 性性,一般通过三角变换化为下列基本类型处理一般通过三角变换化为下列基本类型处理:(1)(1)y y=a asinsin x x+b b,设设t t=sin=sin x x化为一次函数化为一次函数y y=at at+b b在闭在闭 区间区间t t-1,1-1,1上的最值问题上的最值问题;(2)(2)y y=a asinsin x x+b bcoscos x x+c c,引入辅助角引入辅助角 化为化为 求解方法同类型求解方法同类型(1);(1);(3)(3)y y=a asinsin2 2x x+b bsinsin

3、 x x+c c,设设t t=sin=sin x x,化为二次函数化为二次函数y y=at at2 2+bt bt+c c在在t t-1,1-1,1上的最值问题上的最值问题;(4)(4)y y=a asinsin x xcoscos x x+b b(sin(sin x xcoscos x x)+)+c c,设设t t=sin=sin x x coscos x x,化为二次函数化为二次函数 在闭区间在闭区间t t-,2-,2上的最值问题上的最值问题;(5)(5)设设t t=tan=tan x x,化为化为 用判用判别式法求值别式法求值;当当abab00时时,还可用基本不等式求最值还可用基本不等式

4、求最值;(6)(6)根据正弦函数的有界性根据正弦函数的有界性,既可以用分既可以用分析法求最值析法求最值,也可以用不等式法或数形结合法求最值也可以用不等式法或数形结合法求最值.4.4.求三角函数的最值的主要方法求三角函数的最值的主要方法:(1)(1)配方法配方法;(2);(2)化为同一个角的三角函数化为同一个角的三角函数;(3);(3)数形数形 结合法结合法;换元法换元法;基本不等式法基本不等式法.5.5.用换元法解题用换元法解题,特别要注意特别要注意sin sin x xcoscos x x与与 sin sin x xcoscos x x的关系，令的关系，令sin sin x xcoscos

5、x x=t t，则，则 sin sin x xcoscos x x=6.6.讨论三角函数的单调性讨论三角函数的单调性,解三角不等式解三角不等式,要注意数要注意数 形结合思想的运用形结合思想的运用.注意函数性质在解题中的运用注意函数性质在解题中的运用.7.7.若一个函数为周期函数若一个函数为周期函数,则讨论其有关问题则讨论其有关问题,可先研可先研 究在一个周期内的情形究在一个周期内的情形,然后再进行推广然后再进行推广.基础自测基础自测1.1.已知已知A A、B B两地的距离为两地的距离为10 10 km,km,B B、C C两地的距离为两地的距离为 20 km,20 km,现测得现测得ABCAB

6、C=120=120,则则A A、C C两地的距离为两地的距离为 _ km._ km.解析解析2.2.(2009(2009安徽改编安徽改编)设函数设函数f f(x x)=)=+tan +tan ,其中其中 则导数则导数f f(1)(1)的取值范围的取值范围 是是_._.解析解析 由已知由已知f f(x x)=sin)=sin x x2 2+coscos x x,3.3.当当x x(0,)(0,)时函数时函数 的的 最小值是最小值是_._.解析解析 00 x x 0tan 0tan x x11 当当tan tan x x=时时,f f(x x)取的最小值取的最小值4.4.4 44.4.若若ABCA

7、BC的三边的三边长长a a,b b,c c成等比数列且成等比数列且sin sin B B+cos+cos B B =k k,则实数则实数k k的范围是的范围是_._.解析解析【例例1 1】已知已知00 ,0,0,0),0),x x0,40,4的图象的图象,且图象的最高点为且图象的最高点为 赛道的后一部分为折线段赛道的后一部分为折线段MNPMNP,为保证参为保证参 赛运动员的安全赛运动员的安全,限定限定MNPMNP=120=120.(1)(1)求求A A,的值和的值和MM,P P两点间的距离两点间的距离;(2)(2)应如何设计应如何设计,才能使折线段赛道才能使折线段赛道MNPMNP最长？最长？分

8、析分析 主要通过建立三角函数模型求解主要通过建立三角函数模型求解,但要求解但要求解 析式和设角求解析式和设角求解.解解 (2)(2)在在MNPMNP中中,MNPMNP=120=120,MPMP=5.=5.设设PMNPMN=,则则0 0 6060.由正弦定理得由正弦定理得0 0 6060,60,60 +60+60120120,当当 =30=30时时,折线段赛道折线段赛道MNPMNP最长最长.即将即将PMNPMN设计为设计为3030时时,折线段赛道折线段赛道MNPMNP最长最长.跟踪练习跟踪练习2 2 已知已知a a=b b=f f(x x)=)=a ab b.(1)(1)求函数求函数y y=f

9、f(x x)的解析式的解析式;(2)(2)若若y y表示某海岸港口的深度表示某海岸港口的深度(m),m),x x表示一天内的表示一天内的 时间时间(h)(h)；当水深不低于；当水深不低于5 m5 m时，船才能驶入港口时，船才能驶入港口,求一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有多少求一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有多少 小时？小时？解解则则1212k k+1+1x x1212k k+5,(+5,(k kZ Z).).又又00 x x24,124,1x x55或或1313x x17.17.则一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有则一天内船可以驶入或驶出港口的时间共有8 8小时小时.【例例3 3】(

10、2010(2010扬州调研扬州调研)已知函数已知函数 (1)(1)当当a a=1=1时时,求求f f(x x)的单调递增区间的单调递增区间;(2)(2)当当a a0,0,且且x x0,0,时时,f f(x x)的值域是的值域是3,4,3,4,求求 a a,b b的值的值.求单调区间关键是转化为求单调区间关键是转化为y y=A Asin(sin(x x+)+)的形式的形式,注意注意a a的讨论的讨论,求值域要利用单调性求值域要利用单调性.解解分析分析跟踪练习跟踪练习3 3 设关于设关于x x的函数的函数y y=2cos2cos2 2x x-2-2a acoscos x x-(2-(2a a+1)

11、+1)的最小值为的最小值为f f(a a).).(1)(1)写出写出f f(a a)的表达式的表达式;(2)(2)试确定能使试确定能使f f(a a)=)=的的a a值值,并求此时函数并求此时函数y y的最的最 大值大值.解解(2)(2)当当a a-2-2时时,f f(a a)=1,)=1,则则f f(a a)=)=无解无解;解得解得a a=-1=-1或或a a=-3(=-3(舍去舍去).).【例例4 4】(12(12分分)(2009(2009山东山东)已知函数已知函数f f(x x)=)=在在x x=处处 取最小值取最小值.(1)(1)求求 的值的值;(2)(2)在在ABCABC中中,a a

12、,b b,c c分别是角分别是角A A,B B,C C的对边的对边,已知已知 a a=1,=1,b b=f f(A A)=)=求角求角C C.转化为转化为y y=A Asin(sin(x x+)+)的形式的形式,但要和正弦但要和正弦 定理相结合求解定理相结合求解.分析分析解题示范解题示范解解跟踪练习跟踪练习4 4 已知已知A A,B B是是ABCABC的两个内角的两个内角,向量向量a a=(1)(1)证明证明:tan:tan A Atan tan B B为定值为定值;(2)(2)当当tan tan C C取最大值时取最大值时,求求ABCABC的三个内角的大小的三个内角的大小.(1)(1)证明证

13、明(2)(2)解解三角函数的综合利用主要体现在和其它知识相结合三角函数的综合利用主要体现在和其它知识相结合,利用图象变换求解问题利用图象变换求解问题,高考一般在解三角形的问题高考一般在解三角形的问题中出现中出现.1.1.三角函数作为工具三角函数作为工具,和其他知识的联系比较密切和其他知识的联系比较密切,因此因此,要关注三角与向量、解三角形、立体几何、要关注三角与向量、解三角形、立体几何、解析几何、复数等知识的综合解析几何、复数等知识的综合.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望方法规律总结方法规律总结2.2.向量与三角知识综合向量与三角知识综合,体现了知识的交汇，这是高体现

14、了知识的交汇，这是高 考命题的热点考命题的热点.3.3.在三角形中在三角形中,求解三角函数问题求解三角函数问题,要注意要注意A A+B B+C C=这一隐含条件的使用这一隐含条件的使用.4.4.三角函数是以角为自变量的函数三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自也是以实数为自 变量的函数变量的函数,实际问题中实际问题中,通过设角为参数通过设角为参数,将实际将实际 问题转化为我们熟知的三角函数模型问题转化为我们熟知的三角函数模型,从而使三角从而使三角 知识来源于实际知识来源于实际,同时又广泛地应用于实际同时又广泛地应用于实际.5.5.关于以三角函数为模型的实际问题往往背景比较复关于以三角函数

15、为模型的实际问题往往背景比较复 杂杂,具有很强的现实生活色彩，语言表述服从于各具有很强的现实生活色彩，语言表述服从于各 自的实际背景自的实际背景,因此在解决类似实际问题时要注意因此在解决类似实际问题时要注意 自变量的范围自变量的范围,注意数形结合，通过观察图形获得注意数形结合，通过观察图形获得 本质认识本质认识,审题要细致审题要细致,涉及复杂数据的涉及复杂数据的,可借助相可借助相 关信息技术工具进行处理关信息技术工具进行处理.6.6.解决三角函数应用题一般有两类题型解决三角函数应用题一般有两类题型:第一是函数第一是函数 拟合拟合,第二是利用函数求最值，都必须按照一般应第二是利用函数求最值，都必

16、须按照一般应 用题的解题步骤分为以下几步用题的解题步骤分为以下几步:(1)(1)详细审题详细审题,理清问题中的等量或不等关系理清问题中的等量或不等关系;(2)(2)建立函数模型建立函数模型(即将关系数学化即将关系数学化)，或写出函数，或写出函数 解析式解析式,或写出由三角函数构成的不等式或写出由三角函数构成的不等式;(3)(3)讨论变量性质讨论变量性质,解决相应数学问题解决相应数学问题;(4)(4)得出结论得出结论.一、填空题一、填空题1.1.(2009(2009济宁期末济宁期末)已知已知a a=(cos 2=(cos 2,sin,sin),),b b=(1,2sin (1,2sin-1),-

17、1),若若a ab b=则则 的值为的值为_._.解析解析 a ab b=cos 2=cos 2+2sin+2sin2 2-sin-sin =1-2sin =1-2sin2 2+2sin+2sin2 2-sin-sin =1-sin =1-sin=定时检测定时检测答案答案 2.2.(2008(2008江苏江苏)若若ABAB=2,=2,ACAC=BCBC,则则S SABCABC的最大值的最大值 是是_._.解析解析 设设BCBC=x x,则则ACAC=根据面积公式得根据面积公式得 根据余弦定理得根据余弦定理得 将其代入上式得将其代入上式得 由三角形三边关系有由三角形三边关系有 故当故当x x=时

18、时,即即x x2 2-12=0-12=0时时,S SABCABC取得最大值取得最大值 答案答案3.3.(2009(2009肇庆期末肇庆期末)定义运算定义运算a a*b b=a a2 2-abab-b b2 2,则则 =_.=_.解析解析4.4.(2009(2009广州第二次联考广州第二次联考)已知已知a a,b b,x x,y yR R,a a2 2+b b2 2=4,4,axax+byby=6,=6,则则x x2 2+y y2 2的最小值为的最小值为_._.解析解析 因为因为a a2 2+b b2 2=4,=4,可设可设a a=2sin=2sin,b b=2cos=2cos,则则x xsin

19、 sin+y ycos cos=3.=3.故故 的最小值为的最小值为3,3,即即x x2 2+y y2 2的最小值为的最小值为9.9.9 95.5.(2010(2010宿州模拟宿州模拟)若函数若函数f f(x x)=sin()=sin(x x+)-2cos()-2cos(x x-)是偶函数是偶函数,则则cos 2cos 2=_.=_.解析解析 f f(x x)=(cos)=(cos-2sin-2sin)sin)sin x x+(sin+(sin-2cos 2cos)cos)cos x x是偶函数是偶函数,故故cos cos-2sin-2sin =0,cos=0,cos=2sin=2sin,co

20、s cos2 2+sin+sin2 2=5sin=5sin2 2=1,=1,6.6.(2010(2010泰州调研泰州调研)函数函数f f(x x)=)=的最小值是的最小值是_._.解析解析7.7.(2009(2009福建文福建文)已知锐角已知锐角ABCABC的面积为的面积为 BCBC=4,4,CACA=3,=3,则角则角C C的大小为的大小为_._.解析解析 由题知由题知,60608.8.(2010(2010苏南四市模拟苏南四市模拟)俗话说俗话说“一石激起千层浪一石激起千层浪”,小时候在水上打小时候在水上打“水漂水漂”的游戏一定不会忘记吧的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形波浪实验水池的中心已有

21、两个振动源现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源,在在t t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y y1 1=sin sin t t和和y y2 2=来描述来描述,当这两个振动源同时当这两个振动源同时 开始工作时开始工作时,要使原本平静的水面保持平静，则需要使原本平静的水面保持平静，则需 再增加一个振动源再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波假设不计其他因素，则水面波 动由几个函数的和表达动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动，请你写出这个新增振动 源的函数解析式源的函数解析式_._.解析解析答案答案9 9.(2010.(2010南通模拟南

22、通模拟)20022002年在北京年在北京 召开的国际数学家大会，会标是召开的国际数学家大会，会标是 以我国古代数学家赵爽的弦图为以我国古代数学家赵爽的弦图为 基础设计的基础设计的.弦图是由四个全等直弦图是由四个全等直 角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如如 图图).).如果小正方形的面积为如果小正方形的面积为1 1，大正方形的面积为，大正方形的面积为 25,25,直角三角形中较小的锐角为直角三角形中较小的锐角为,那么那么cos 2cos 2 的值的值 等于等于_._.解析解析 大正方形面积为大正方形面积为25,25,小正方形面积为小正方形面积为1

23、,1,大正方形边长为大正方形边长为5,5,小正方形的边长为小正方形的边长为1.1.5cos 5cos -5sin-5sin =1,cos=1,cos -sin-sin =是直角三角形中较小的锐角是直角三角形中较小的锐角,答案答案二、解答题二、解答题10.10.(2008(2008福建福建)已知向量已知向量m m=(sin=(sin A A,cos,cos A A),),n n=m mn n=1,=1,且且A A为锐角为锐角.(1)(1)求角求角A A的大小的大小;(2)(2)求函数求函数f f(x x)=cos 2)=cos 2x x+4cos+4cos A Asin sin x x(x xR

24、 R)的值域的值域.解解 (1)(1)由题意得由题意得m mn n=sin=sin A A-cos-cos A A=1,=1,(2)(2)由由(1)(1)知知cos cos A A=所以所以f f(x x)=cos 2)=cos 2x x+2sin+2sin x x=1-2sin=1-2sin2 2x x+2sin+2sin x x因为因为x xR R,所以所以sin sin x x-1,1-1,1,因此因此,当当sin sin x x=时时,f f(x x)有最大值有最大值当当sin sin x x=-1=-1时时,f f(x x)有最小值有最小值-3.-3.所以所求函数所以所求函数f f(

25、x x)的值域是的值域是11.11.(2010(2010苏、锡、常、镇苏、锡、常、镇四市调研四市调研)已知函数已知函数f f(x x)=)=(R R,x xR R)的最的最 小正周期为小正周期为,且图象关于直线且图象关于直线x x=对称对称.(1)(1)求求f f(x x)的解析式的解析式;(2)(2)若函数若函数y y=1-=1-f f(x x)的图象与直线的图象与直线y y=a a在在0,0,上上 只有一个交点只有一个交点,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.解解 函数函数f f(x x)的最小正周期为的最小正周期为,(2)(2)y y=1-=1-f f(x x)=)=在同一坐标系中作

26、出在同一坐标系中作出 和和y y=a a的图象的图象:由图可知由图可知,直线直线y y=a a在在a a 或或a a=1=1时时,两曲线只两曲线只有一个交点有一个交点,a a 或或a a=1.=1.12.12.(2009(2009浙江浙江)在在ABCABC中中,角角A A,B B，C C所对的边分所对的边分 别为别为a a,b b,c c,且满足且满足 (1)(1)求求ABCABC的面积的面积;(2);(2)若若b b+c c=6,=6,求求a a的值的值.解解 (1)(1)因为因为 又由又由 得得bcbccos cos A A=3,=3,所以所以bcbc=5,=5,因此因此S SABCABC=bcbcsin sin A A=2.=2.(2)(2)由由(1)(1)知知,bcbc=5,=5,又又b b+c c=6,=6,所以所以b b=5,=5,c c=1,=1,或或b b=1,=1,c c=5.=5.由余弦定理由余弦定理,得得a a2 2=b b2 2+c c2 2-2-2bcbccoscos A A=20,=20,所以所以 返回返回