14条件概率和乘法公式.ppt

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1、1.4 条件概率条件概率例：有一批产品例：有一批产品100100件，其中件，其中9595件合格品，件合格品，5 5件不合格件不合格品，在不合格品中，有品，在不合格品中，有2 2件次品，件次品，3 3件废品。件废品。求求：（1 1）所选出的一件产品是废品的概率。）所选出的一件产品是废品的概率。（2 2）已知所选出的产品的是不合格品，则该产品）已知所选出的产品的是不合格品，则该产品是废品的概率。是废品的概率。解解：（：（1 1）3/100.3/100.（2 2）3/5.3/5.gogo 设，为同一个随机试验中的两个随机事件设，为同一个随机试验中的两个随机事件,且（且（A），），则则为在事件为在事件

2、A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概率 一一.条件概率的定义条件概率的定义条件概率条件概率 Conditional Probability相应地，相应地，p(B)称为称为无条件概率无条件概率 Sample space Reduced sample space given event B条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间二二.条件概率的性质条件概率的性质性质性质设设A是一事件是一事件,且且P(A)0,则则1.对任一事件对任一事件B,2.3.设设互不相容互不相容,则则此外此外,前面所证概率的性质都试用于条件概率前面所证概率的性质都试用于条件概率.条件概

3、率的计算方法：条件概率的计算方法：(1)用定义计算用定义计算;(2)根据加入条件后改变了的情况来计算根据加入条件后改变了的情况来计算.一袋中装有一袋中装有 10 个球个球,先后两次从袋中各取一球先后两次从袋中各取一球(不放回不放回).其中其中 3 个黑球个黑球,7 个白个白(1)(2)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍求第二次取出的仍是黑球的概率是黑球的概率;已知第二次取出的是黑球已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也求第一次取出的也是黑球的概率是黑球的概率.解解例例1记记为为(1)在已知在已知发生发生,下下,即第一次取到的是黑球的条件即第一次取到的是黑球的条件第

4、二次取球就在剩下的第二次取球就在剩下的 2 个黑球、个黑球、7 个白球个白球9 个个球中球中任取一个任取一个,根据古典概率计算根据古典概率计算,球球,次次取到的是黑球取到的是黑球”事件事件“第第共共即有即有解解(2)在已知在已知发生发生,即第二次取到的是黑球的即第二次取到的是黑球的条件下条件下,求求第一次取到黑球的概率第一次取到黑球的概率.发生在第二次取球之前发生在第二次取球之前,但第一次取球但第一次取球故故问题的结构不像问题的结构不像(1)那那么直观么直观.我们可按定义计算我们可按定义计算更方便一些更方便一些.由由GoGo例例2袋中有袋中有 5 个球个球,从袋中不放回地连取两个从袋中不放回地

5、连取两个,其中其中 3 个红球个红球 2 个白球个白球,现现已知第一次取得红球已知第一次取得红球求第二次取得白球的概率求第二次取得白球的概率.解法解法 1设设表示表示“第一次取得红球第一次取得红球”,表示表示“第第二次取得白球二次取得白球”,依题意要求依题意要求缩减样本空间缩减样本空间中的样本点数中的样本点数,即第一次取得红即第一次取得红球的取法为球的取法为其中其中,第二次取得白球的取法第二次取得白球的取法有有种种,所以所以时时,例例2袋中有袋中有 5 个球个球,从袋中不放回地连取两个从袋中不放回地连取两个,其中其中 3 个红球个红球 2 个白球个白球,现现已知第一次取得红球已知第一次取得红球

6、求第二次取得白球的概率求第二次取得白球的概率.解法解法 1时时,也可以直接用公式也可以直接用公式(1)计算计算,因为第一次取走了一因为第一次取走了一袋中只剩下袋中只剩下 4 个球个球,个红球个红球,其中有两个白球其中有两个白球,从中任取一个从中任取一个,再再取得白球的概率为取得白球的概率为 2/4,所以所以解法解法 2设设表示表示“第一次取得红球第一次取得红球”,表示表示“第第二次取得白球二次取得白球”,求求在在 5 个个球中球中不放回连取两球的取法不放回连取两球的取法其中其中,第一次取得红球的取法第一次取得红球的取法第一次取得第一次取得红球第二次取得白球的取法红球第二次取得白球的取法所以所以

7、由定义得由定义得种种,有有种种,有有种种,有有例例已知已知试求试求解解由乘法公式由乘法公式,因此因此又因为又因为所以所以从而从而解解又因为又因为所以所以从而从而解解又因为又因为所以所以从而从而练习练习设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为年以上的概率为0.8,活到活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4,问现年问现年20年的这种动物年的这种动物,它能活到它能活到25岁以上的概率是多少岁以上的概率是多少?解解设设 能活能活20年以上年以上,能活能活25年以上年以上 所求为所求为依题意依题意,有有三三.乘法公式乘法公式 n推广推广乘法公式：乘法公式：例例3一袋中装有一

8、袋中装有 10 个球个球,球球,其中其中 3 个黑球、个黑球、7 个白个白求求两次两次取到的均为黑球的概率取到的均为黑球的概率.解解 设设表示表示则则表示表示由题由题设知设知于是根据乘法公式于是根据乘法公式,有有注注:对本例对本例,我们曾用古典概型方法计算过我们曾用古典概型方法计算过,先后两次从中随意各取一球先后两次从中随意各取一球(不放回不放回),次次取到的是黑球取到的是黑球”事件事件“第第事件事件“两次取到的均为黑球两次取到的均为黑球”.例例解解一批灯泡共一批灯泡共 100 只只,其中其中 10 只是次品只是次品,其其余为正品余为正品.作不放回抽取作不放回抽取,每次取一只每次取一只,求第三

9、次求第三次才取到正品的概率才取到正品的概率.设设第第 次取到正品次取到正品第第三次才取到正品三次才取到正品则则于是于是所以所以,第三次才取到正品的概率为第三次才取到正品的概率为 0.0083.解解四、全概率公式四、全概率公式 因为因为 +，且与，且与互不相容，所以互不相容，所以一个袋子中有一个袋子中有7只白球、只白球、3只黑球，从中不放回地只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到黑球的每次任取只，连取次，求第二次取到黑球的概率概率例例A=A=“第一次取到黑球第一次取到黑球”B=B=“第二次取到黑球第二次取到黑球”四、全概率公式四、全概率公式全概率公式全概率公式A1A2AnB证明：证

10、明：设设A1，A2，.，An 是一组完备事件组，且是一组完备事件组，且 (Ai)0，i1，2，.，n，则对任一随机事件，则对任一随机事件B，有有全概率公式全概率公式：全概率公式全概率公式例例5人们为了解一只股票人们为了解一只股票变化变化,往往会去分析往往会去分析如利率的变化如利率的变化.比比现假设人们经分析估计现假设人们经分析估计的概率为的概率为 60%,利率不变的概率为利率不变的概率为 40%.根据经根据经验验,人们估计人们估计,价格上涨的概率为价格上涨的概率为 80%,该支股票该支股票而在利率不变的情况下而在利率不变的情况下,在利率下调的情况下在利率下调的情况下,其价格上涨的概率为其价格上

11、涨的概率为 40%,求该支股票将上涨的求该支股票将上涨的概率概率.解解记记为为事件事件“利率下调利率下调”,那么那么即即为为“利率利率不变不变”,记记为事件为事件“股票价格上涨股票价格上涨”.依题设知依题设知未来一定时期内价格的未来一定时期内价格的影响股票价格的基本因素影响股票价格的基本因素,利率下调利率下调解解记记为为事件事件“利率下调利率下调”,那么那么即即为为“利率利率不变不变”,记记为事件为事件“股票价格上涨股票价格上涨”.依题设知依题设知于是于是例例6有三个罐子，有三个罐子，1 1号装有号装有2 2红红1 1黑共黑共3 3个球，个球，2 2号装有号装有3 3红红1 1黑共黑共4 4个

12、球，个球，3 3号装有号装有2 2红红2 2黑共黑共4 4个球。某人从中随机个球。某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。解：解：设设 球取自球取自i i号罐子号罐子，i=1i=1，2 2，3 3；取得红球取得红球 由题意，可得由题意，可得故根据全概率公式，可得故根据全概率公式，可得定理定理设设是一完备事件组是一完备事件组,任一事件任一事件则对则对有有贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式接接P22例例6，若现在任选一罐，再从罐中任取一球，若现在任选一罐，再从罐中任取一球,发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概

13、率号箱的概率.全概率公式全概率公式注注:公式中公式中,和和分别称为原因的先分别称为原因的先验概率验概率和后验概率和后验概率.贝叶斯公式贝叶斯公式注注:公式中公式中,和和分别称为原因的分别称为原因的先先验概率验概率和和后验概率后验概率.是在没有进一步信息是在没有进一步信息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生)的情况下诸事件发生的概率的情况下诸事件发生的概率.在获得新在获得新的信息的信息(知道知道B发生发生)后后,人们对诸事件发生的概率人们对诸事件发生的概率就有了新的估计就有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化画了这种变化.特别地特别地,若取若取n=2,并记并记则则

14、于是公式成为于是公式成为例例一袋中有一袋中有 10 个球个球,其中其中 3 个黑球个黑球,7 个白球个白球,从中先后随意各取一球从中先后随意各取一球(不放回不放回),假设已知二次取假设已知二次取求求“第一次取到的也是黑球第一次取到的也是黑球”的概率的概率.到的球为黑球到的球为黑球,解解设设“第一次取到的是黑球第一次取到的是黑球”这一事件为这一事件为则则问题归结为问题归结为求条件概率求条件概率根据贝叶斯公式根据贝叶斯公式,有有二次取到的是黑球二次取到的是黑球”这一事件为这一事件为“第第据题涉及例据题涉及例 7 的结果易知的结果易知从而从而例例根据以往的临床记录根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试

15、验某种诊断癌症的试验具有如下的效果具有如下的效果:表示事件表示事件 “试验反应为阳试验反应为阳若以若以性性”,以以表示事件表示事件“被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症”,则有则有现在对自然人群现在对自然人群进行普查进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为设被试验的人患有癌症的概率为 0.005,即即试求试求解解 由题设由题设,有有由贝叶斯公式由贝叶斯公式,解：求解：求由题设由题设,有有由贝叶斯公式由贝叶斯公式,得得例例 有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？甲乙