9 时间序列经济学模型.ppt

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1、第九章第九章时间序列计量经济学模型时间序列计量经济学模型时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型9.1 9.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、一、问题的引出：问题的引出：非平稳变量与经典回归模型非平稳变量与经典回归模型二、二、时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性三、三、平稳性的图示判断平稳性的图示判断四、四、平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验五、五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程单整、趋势平稳与差分平稳随机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典一、问题的引出：非平稳变量与经典

2、回归模型回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据（time-series data)截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析经典回归分析暗含暗含着一个重要着一个重要假设假设：数据是数据是平稳的。平稳的。数据非平稳数据

3、非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致性一致性”要求要求被破怀。被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非是非随机变量随机变量依概率收敛：依概率收敛：(2)放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X,)=0 第（第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的）条是为了满足统计推断中大样本下的“一一致性致性”特性：特性：第（第（1）条是）条是OLS估计的需要估计的需要如果如果X是非平稳数据是非平稳数据（如表现出向上的趋势），（如表现出向上的趋势），

4、则（则（2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此因此：注意：注意：在双变量模型中：在双变量模型中：表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性却有很高的相关性（有较高的（有较高的R2)。例如：例如：如果如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。进行回归也可表现出较高的可决系数。数

5、据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回虚假回归归”问题问题 在现实经济生活中，在现实经济生活中，实际的时间序列数据实际的时间序列数据往往是非平稳的往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。一般不会得到有意义的结果。时间序列分析模型方法时间序列分析模型方法就是在这样的情况就是在这样的情况下，下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展

6、起来的全新的计量经济学方法论线而发展起来的全新的计量经济学方法论。时间序列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性定义：定义：假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列）生成的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个概率）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：分布中随机得到，如果满足下列条件：1）均值）均值E(XE(Xt

7、t)=)=是与时间是与时间t 无关的常数；无关的常数；2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)=2 2是与时间是与时间t 无关的常数；无关的常数；3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)=k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，与时间有关，与时间t 无关的常数；无关的常数；则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该随机过程是一，而该随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。例例9.1.1一一个个最最简简单单的的随随机机时时间间序序列列是是一一具具有零均值

8、同方差的独立分布序列：有零均值同方差的独立分布序列：Xt=t ，tN(0,2)该序列常被称为是一个该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。由于由于XtXt具有相同的均值与方差，且协方差具有相同的均值与方差，且协方差为零为零,由定义由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。例例9.1.2另一个简单的随机时间列序被称为另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（随机游走（random walk），该序列由如下随机该序列由如下随机过程生成：过程生成：X t=Xt-1+t 这里，这里，t是一个白噪声。是一个白噪声。容易知道该序列有相同的容易知道该序列有相同的均值均值：E(X

9、t)=E(Xt-1)为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为的初值为X0，则易知，则易知:X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+1+2+t 由于由于X X0 0为常数，为常数，t t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此:Var(XtVar(Xt)=t)=t 2 2即即Xt的的方方差差与与时时间间t t有有关关而而非非常常数数，它它是是一一非非平平稳稳序列。序列。然而，对然而，对X X取取一阶差分一阶差分（first difference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于由于 t t是一个白噪声，则序列是一个白

10、噪声，则序列Xt是平稳的。是平稳的。后面将会看到后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列列。事实上，事实上，随机游走过程随机游走过程是下面我们称之为是下面我们称之为1阶阶自回归自回归AR(1)过程过程的特例的特例:Xt=Xt-1+t 不难验证不难验证:1)|1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升表现为持续上升(1)或持续下降或持续下降(-1)，因，因此是非平稳的；此是非平稳的；2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的时，是一个随机游走

11、过程，也是非平稳的。9.2中将证明中将证明:只有当只有当-1-1 10，样样本本自自相相关关系系数数近近似似地地服服从从以以0为为均均值值，1/n 为为方方差差的的正正态态分分布布，其其中中n为样本数。为样本数。也也可可检检验验对对所所有有k0，自自相相关关系系数数都都为为0的的联联合假设，这可通过如下合假设，这可通过如下QLB统计量进行：统计量进行：该统计量近似地服从自由度为该统计量近似地服从自由度为m m的的 2 2分布分布（m m为滞后长度）。为滞后长度）。因此因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平为值大于显著性水平为 的临界值，则有的临界值，则有1-1-的把握拒绝所有的把握拒

12、绝所有 k k(k(k0)0)同同时为时为0 0的假设。的假设。例例9.1.3:9.1.3:表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通过一是通过一随机过程（随机函数）生成的有随机过程（随机函数）生成的有1919个样本的随个样本的随机时间序列。机时间序列。容易验证：该样本序列的均值为该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789。从图形看：它在其样本均值它在其样本均值0 0附近上下波动，附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到且样本自相关系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近附近波动且逐渐收敛于波动且逐渐收敛于0 0。由于该序列由一随机过程生成，可

13、以认为不由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。该序列为一白噪声。根据根据BartlettBartlett的理论：的理论：k kN(0,1/19)0,1/19)，因此因此任一任一r rk k(k(k0)0)的的95%95%的置信区间都将是的置信区间都将是:可以看出可以看出:k0时，时，rk的值确实落在了该区间内，的值确实落在了该区间内，因此可以接受因此可以接受 k(k0)为为0的假设的假设。同样地同样地，从从QLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后17期期的计算值为的计算值为26.38，未超过，未超过5%显著性水平的临显著性水平

14、的临界值界值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为都为0的假设。的假设。因此因此，该随机过程是一个平稳过程。该随机过程是一个平稳过程。序列序列Random2Random2是由一随机游走过程是由一随机游走过程 X Xt t=X=Xt-1t-1+t t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0 0项项取值为取值为0 0，t t是由是由Random1Random1表示的白噪声。表示的白噪声。图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到本自相关

15、图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋附近波动且呈发散趋势。势。样本自相关系数显示样本自相关系数显示：r r1 1=0.48=0.48，落在了区间，落在了区间-0.4497,0.44970.4497,0.4497之外，因此在之外，因此在5%5%的显著性水平的显著性水平上拒绝上拒绝 1 1的真值为的真值为0 0的假设。的假设。该随机游走序列是非平稳的。该随机游走序列是非平稳的。例例9.1.4 检验中国支出法检验中国支出法GDP时间序列的平稳性时间序列的平稳性。表表9.1.2 19782000年中国支出法年中国支出法GDP（单位：亿元）（

16、单位：亿元）图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可初，可初步判断步判断是非平稳是非平稳的。的。样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平稳非平稳性。性。从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后期之后的值全部为的值全部为0的假设。的假设。结论结论:19782000年间中国年间中国GDP时间序列是非平稳序列。时间序列是非平稳序列。例例9.1.59.1.5 检验检验2.102.10中关于人均居民消费与

17、人均国中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。内生产总值这两时间序列的平稳性。原图 样本自相关图 从图形上看：从图形上看：人均居民消费（人均居民消费（CPCCPC）与人均国）与人均国内生产总值（内生产总值（GDPPCGDPPC）是非平稳的是非平稳的。从滞后从滞后1414期的期的QLB统计量看：统计量看：CPCCPC与与GDPPCGDPPC序列的序列的统计量计算值均为统计量计算值均为57.1857.18，超过了显著性水平为，超过了显著性水平为5%5%时的临界值时的临界值23.6823.68。再次。再次表明它们的非平稳性。表明它们的非平稳性。就此来说，运用传统的回归方法建立它们的

18、就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。回归方程是无实际意义的。不过，不过，9.3中将看到，如果两个非平稳时间中将看到，如果两个非平稳时间序列是序列是协整协整的，则传统的回归结果却是有意的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是义的，而这两时间序列恰是协整协整的。的。四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验 （unit root test）1 1、DFDF检验检验 随机游走序列随机游走序列:Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型:Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。（*）式可变形式成差分形式：）式可变形式成差分形式：Xt=(

19、1-)Xt-1+t =Xt-1+t (*)检验（检验（*）式是否存在单位根）式是否存在单位根=1，也可通过，也可通过（*）式判断是否有）式判断是否有 =0。对式：对式：Xt=Xt-1+t （*）进行回归，如果确实发现进行回归，如果确实发现=1，就说随机变量，就说随机变量Xt有一个有一个单位根单位根。一般地一般地:检验一个时间序列检验一个时间序列XtXt的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型：带有截距项的一阶自回归模型：X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。或者：或者：检验其等价变形式：检验其等价变形式：X Xt

20、t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0。在第二节中将证明，（在第二节中将证明，（*）式中的参数）式中的参数 1或或=1时，时间序列是非平稳的时，时间序列是非平稳的;对应于（对应于（*）式，则是）式，则是 0或或 =0。因此，针对式：因此，针对式：Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为我们关心的检验为：零假设零假设 H0：=0。备择假设备择假设 H1：0上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通统计量也

21、是有偏误的（向下偏倚），通常的常的t 检验无法使用。检验无法使用。Dicky和和Fuller于于1976年提出了这一情形下年提出了这一情形下t统统计量服从的分布（这时的计量服从的分布（这时的t统计量称为统计量称为 统计量统计量），即即DF分布分布（见表（见表9.1.3）。）。由于由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。值的偏态分布。因此，可通过因此，可通过OLS法估计：法估计：X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 并计算并计算t统计量的值，与统计量的值，与DF分布表中给定显著性分布表中给定显著性水平下的临界值比较：水平下的临界值比较：如

22、果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。结果是相同的。例如：例如：“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大于统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝临界值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序列的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。不存在单位根，为平稳序列。问题的提出：问题的提出：在在利利用用 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t对对时时间间序序列列进进行行平平稳稳性性检检验验中中，实实际际上上

23、假假定定了了时时间间序序列列是是由由具具有有白白噪噪声声随机误差项的一阶自回归过程随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但但在在实实际际检检验验中中，时时间间序序列列可可能能由由更更高高阶阶的的自自回回归归过过程程生生成成的的，或或者者随随机机误误差差项项并并非非是是白白噪噪声声，这这样样用用OLS法法进进行行估估计计均均会会表表现现出出随随机机误误差差项项出出现现自相关自相关（autocorrelation），导致导致DF检验无效。检验无效。2 2、ADFADF检验检验 另另外外，如如果果时时间间序序列列包包含含有有明明显显的的随随时时间间变变化化的的某某种种趋趋势势（如如上上升

24、升或或下下降降），则则也也容容易易导导致致上上述述检检验验中中的的自自相相关关随随机机误误差差项项问问题题。为为了了保保证证DF检检验验中中随随机机误误差差项项的的白白噪噪声声特特性性，Dicky和和Fuller对对DF检检验验进进行行了了扩扩充充，形成了形成了ADF（Augment Dickey-Fuller）检验）检验。ADFADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。模型时间变化的某种趋势（如果有的话）。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋与另两模

25、型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。势项。检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1:临界值，不能拒绝存临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假不能拒绝不存在趋势项的零假设设。需进一步检验模型需进一步检验模型2。2）经试验，模型）经试验，模型2中滞后项取中滞后项取2阶：阶：LM检检验验表表明明模模型型残残差差不不存存在在自自相相关关性性，因此该模型的设定是正确的。因此该模型的设定是正确的。从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，统计量为正值，大于临界值大于临界值，不能拒绝存在单位根的

26、零假设不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的常数项的t统计量小于统计量小于AFD分布表中的临界值分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检需进一步检验模型验模型1。3)3)经试验，模型经试验，模型1中滞后项取中滞后项取2阶阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。因此模型的设定是正确的。从从GDPt-1的参数值看，其的参数值看，其t统计量为正值，大统计量为正值，大于临界值，于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。不能拒绝存在单位根的零假设。可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时

27、间序列是非平稳的。例例9.1.7 检验检验2.102.10中关于人均居民消费与人均中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。国内生产总值这两时间序列的平稳性。1)对对中中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC来来说说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为：经过偿试，三个模型的适当形式分别为：三三个个模模型型中中参参数数的的估估计计值值的的t统统计计量量均均大大于于各各自自的的临临界界值值，因因此此不不能能拒拒绝绝存存在在单单位位根根的的零假设零假设。结结论论：人人均均国国内内生生产产总总值值（GDPPC）是是非非平稳的。平稳的。2 2）对于）对于人均居民消费人均居民消费C

28、PC时间序列来说，三时间序列来说，三个模型的适当形式为个模型的适当形式为：三三个个模模型型中中参参数数CPCt-1的的t统统计计量量的的值值均均比比ADF临临界界值值表表中中各各自自的的临临界界值值大大，不不能能拒拒绝绝该时间序列存在单位根的假设该时间序列存在单位根的假设，因因此此,可可判判断断人人均均居居民民消消费费序序列列CPC是是非非平平稳稳的。的。五、单整、趋势平稳与差分平稳随机五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程过程 随随机机游游走走序序列列Xt=Xt-1+t经经差差分分后后等等价价地地变变形形为为 Xt=t，由由于于 t是是一一个个白白噪噪声声，因因此此差分后的序列差分后的序列 X

29、t是平稳的。是平稳的。如如果果一一个个时时间间序序列列经经过过一一次次差差分分变变成成平平稳稳的的，就就称称原原序序列列是是一一阶阶单单整整（integrated of 1）序序列列，记为，记为I(1)。单整单整一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变次差分后变成平稳序列，则称原序列是成平稳序列，则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)。显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现实经济生活中现实经济生活中:1)只只有有少少数数经经济济指指标标的的时时间间序序列列表表现现为为平平稳稳的的，如利率等如利率等

30、;2)大大多多数数指指标标的的时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，如如一一些些价价格格指指数数常常常常是是2阶阶单单整整的的，以以不不变变价价格格表表示示的的消费额、收入等常表现为消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。大大多多数数非非平平稳稳的的时时间间序序列列一一般般可可通通过过一一次次或或多次差分的形式变为平稳的。多次差分的形式变为平稳的。但但也也有有一一些些时时间间序序列列，无无论论经经过过多多少少次次差差分分，都都不不能能变变为为平平稳稳的的。这这种种序序列列被被称称为为非非单单整整的的（non-integrated）。例例9.1.8 中国支出法中国支出法GDP的单整性。的单整性。

31、经经过过试试算算，发发现现中中国国支支出出法法GDP是是1阶阶单单整整的的，适当的检验模型为：适当的检验模型为：例例9.1.9 中中国国人人均均居居民民消消费费与与人人均均国国内内生生产产总总值的单整性。值的单整性。经经过过试试算算，发发现现中中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC是是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为：适当的检验模型为：同样地同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当适当的检验模型为：的检验模型为：趋势平稳与差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程 前前文文已已指指出出，一一些些非非平平稳稳的的经经济济时时间间序序列列往往往往表表现现出出共共同同的的变变化化

32、趋趋势势，而而这这些些序序列列间间本本身身不不一一定定有有直直接接的的关关联联关关系系，这这时时对对这这些些数数据据进进行行回回归归，尽尽管管有有较较高高的的R2，但但其其结结果果是是没没有有任任何何实实际际意意义义的的。这这种种现现象象我我们们称称之之为为虚虚假假回回归归或或伪回归伪回归（spurious regression）。如如：用用中中国国的的劳劳动动力力时时间间序序列列数数据据与与美美国国GDP时时间间序序列列作作回回归归，会会得得到到较较高高的的R2，但但不不能能认认为为两两者者有有直直接接的的关关联联关关系系，而而只只不不过过它它们们有有共共同同的的趋趋势势罢罢了了，这这种种回

33、回归归结结果果我我们们认认为为是虚假的。是虚假的。为为了了避避免免这这种种虚虚假假回回归归的的产产生生，通通常常的的做做法法是是引引入入作作为为趋趋势势变变量量的的时时间间，这这样样包包含含有有时时间间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。然然而而这这种种做做法法，只只有有当当趋趋势势性性变变量量是是确确定定 性性 的的（deterministic）而而 非非 随随 机机 性性 的的（stochastic），才会是有效的。才会是有效的。换换言言之之，如如果果一一个个包包含含有有某某种种确确定定性性趋趋势势的的非非平平稳稳时时间间序序列列，可可以以通

34、通过过引引入入表表示示这这一一确确定定性性趋趋势势的的趋趋势势变变量量，而而将将确确定定性性趋趋势势分分离离出出来。来。1)如如果果=1，=0，则则（*）式式成成为为一一带带位位移移的的随机游走过程随机游走过程：Xt=+Xt-1+t （*）根根据据 的的正正负负，Xt表表现现出出明明显显的的上上升升或或下下降降趋趋势势。这这种种趋趋势势称称为为随随机机性性趋趋势势（stochastic trend）。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：Xt=+t+Xt-1+t （*）其中其中:t是一白噪声，是一白噪声，t为一时间趋势。为一时间趋势。2)如如果果=0，0，则（

35、*）式式成成为为一一带带时时间间趋趋势势的随机变化过程：的随机变化过程：Xt=+t+t （*）根根据据 的的正正负负，Xt表表现现出出明明显显的的上上升升或或下下降降趋趋势势。这这 种种 趋趋 势势 称称 为为 确确 定定 性性 趋趋 势势（deterministic trend）。3)如果如果=1，0，则，则XtXt包含有包含有确定性与随机确定性与随机性两种趋势。性两种趋势。判判断断一一个个非非平平稳稳的的时时间间序序列列，它它的的趋趋势势是是随随机机性性的的还还是是确确定定性性的的，可可通通过过ADF检检验验中中所所用的第用的第3个模型进行。个模型进行。该该模模型型中中已已引引入入了了表表

36、示示确确定定性性趋趋势势的的时时间间变量变量t，即分离出了确定性趋势的影响。，即分离出了确定性趋势的影响。因此因此：(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势列显示出随机性趋势;(2)如果没有单位根，且时间变量前的参数如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除例如：对式：例如：对式：Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为：可通过差分变换为：

37、Xt=+t 该时间序列称为该时间序列称为差分平稳过程（差分平稳过程（difference stationary process）；确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除通过除去趋势项消除例如：对式：例如：对式：Xt=+t+t可通过除去可通过除去 t变换为：变换为：Xt t=+t该时间序列是平稳的，因此称为该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程趋势平稳过程（trend stationary process）。）。最后需要说明的是，最后需要说明的是，趋势平稳过程代表了趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于一个时间序列

38、长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。进行长期预测则是更为可靠的。9.2 9.2 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型一、一、时间序列模型的基本概念及其适用性时间序列模型的基本概念及其适用性二、二、随机时间序列模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性条件三、三、随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的识别四、四、随机时间序列模型的估计随机时间序列模型的估计五、五、随机时间序列模型的检验随机时间序列模型的检验说明说明经典计量经济学模型与时间序列模型经典计量经济学模型与时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列模型一、时间序列模型的基

39、本概念及其一、时间序列模型的基本概念及其适用性适用性1 1、时间序列模型的基本概念、时间序列模型的基本概念 随随机机时时间间序序列列模模型型（time series modeling）是是指指仅仅用用它它的的过过去去值值及及随随机机扰扰动动项项所所建建立立起起来的模型，其一般形式为来的模型，其一般形式为:Xt=F(Xt-1,Xt-2,t)建建立立具具体体的的时时间间序序列列模模型型，需需解解决决如如下下三三个问题：个问题：(1)模型的具体形式模型的具体形式(2)时序变量的滞后期时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构随机扰动项的结构 例例如如，取取线线性性方方程程、一一期期滞滞后后以以及及白白噪

40、噪声声随随机机扰扰动动项项（t=t），模模型型将将是是一一个个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)：Xt=Xt-1+t，这这里里，t特特指指一白噪声一白噪声。一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(p)是 Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)(1)如如 果果 随随 机机 扰扰 动动 项项 是是 一一 个个 白白 噪噪 声声(t=t)，则则称称(*)式式为为一一纯纯AR(p)过过程程（pure AR(p)process），记为记为:Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (2)如果如果 t不是一个白噪声，通常认为它是一不是一个白噪声，通常认为它是一个个q阶的阶的移动平均（移动

41、平均（moving average）过程）过程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2-qt-q 该式给出了一个纯该式给出了一个纯MA(q)过程（过程（pure MA(p)process）。将纯将纯AR(pAR(p)与纯与纯MA(qMA(q)结合，得到一个一般的结合，得到一个一般的自自回归移动平均（回归移动平均（autoregressive moving average）过程过程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t-1t-1-2t-2-qt-q 该式表明：该式表明：（1）一一个个随随机机时时间间序序列列可可以以通通过过一一个个自自回回归归移移动动平平均均过过程程生生成

42、成，即即该该序序列列可可以以由由其其自自身身的的过过去去或滞后值以及随机扰动项来解释。或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会即它的行为并不会随着时间的推移而变化，随着时间的推移而变化，那么我们就可以通那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。所在。经典回归模型的问题：经典回归模型的问题：迄迄今今为为止止，对对一一个个时时间间序序列列Xt的的变变动动进进行行解解释释或或预预测测，是是通通过过某某个个单单方方程程回回归归模模型型或或联联立

43、立方方程程回回归归模模型型进进行行的的，由由于于它它们们以以因因果果关关系系为为基基础础，且且具具有有一一定定的的模模型型结结构构，因因此此也也常常称为称为结构式模型（结构式模型（structural model）。2 2、时间序列分析模型的适用性、时间序列分析模型的适用性 然然而而，如如果果Xt波波动动的的主主要要原原因因可可能能是是我我们们无无法法解解释释的的因因素素，如如气气候候、消消费费者者偏偏好好的的变变化化等等，则则利利用用结结构构式式模模型型来来解解释释Xt的的变变动动就就比比较较困困难难或或不不可可能能，因因为为要要取取得得相相应应的的量量化化数数据据，并建立令人满意的回归模型

44、是很困难的。并建立令人满意的回归模型是很困难的。有有时时，即即使使能能估估计计出出一一个个较较为为满满意意的的因因果果关关系系回回归归方方程程，但但由由于于对对某某些些解解释释变变量量未未来来值值的的预预测测本本身身就就非非常常困困难难，甚甚至至比比预预测测被被解解释释变变量量的的未未来来值值更更困困难难，这这时时因因果果关关系系的的回回归归模模型型及其预测技术就不适用了。及其预测技术就不适用了。例例如如，时时间间序序列列过过去去是是否否有有明明显显的的增增长长趋趋势势，如如果果增增长长趋趋势势在在过过去去的的行行为为中中占占主主导导地地位位，能能否否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？认为

45、它也会在未来的行为里占主导地位呢？或或者者时时间间序序列列显显示示出出循循环环周周期期性性行行为为，我我们们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？另一条预测途径另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。随随机机时时间间序序列列分分析析模模型型，就就是是要要通通过过序序列列过过去去的变化特征来预测未来的变化趋势的变化特征来预测未来的变化趋势。使使用用时时间间序序列列分分析析模模型型的的另另一一个个原原因因在在于于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q

46、)式的时间序列分析模型的形式。例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型：对于如下最简单的宏观经济模型：这这里里，Ct、It、Yt分分别别表表示示消消费费、投投资资与与国国民民收收入。入。Ct与与Yt作作为为内内生生变变量量，它它们们的的运运动动是是由由作作为为外外生生变变量量的的投投资资It的的运运动动及及随随机机扰扰动动项项 t的的变变化决定的。化决定的。上述模型可作变形如下上述模型可作变形如下：两两个个方方程程等等式式右右边边除除去去第第一一项项外外的的剩剩余余部部分分可可看看成成一一个个综综合合性性的的随随机机扰扰动动项项，其其特特征征依依赖于投资项赖于投资项It的行为。的行为。如如果果

47、It是是一一个个白白噪噪声声，则消费序列Ct就成为一个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶阶的的自自回回归归移移动动平平均均过程过程ARMA(1,1)。二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件 自自回回归归移移动动平平均均模模型型（ARMA）是是随随机机时时间间序序列列分分析析模模型型的的普普遍遍形形式式，自自回回归归模模型型（AR）和和移移动动平平均均模模型型（MA）是是它它的的特特殊殊情情况。况。关关于于这这几几类类模模型型的的研研究究，是是时时间间序序列列分分析析的的重重点点内内容容：主主要要包包括括模模型型的的平平稳稳性性分

48、分析析、模模型的识别型的识别和和模型的估计模型的估计。1 1、AR(pAR(p)模型的平稳性条件模型的平稳性条件 随机时间序列模型的平稳性随机时间序列模型的平稳性，可通过它所可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断生成的随机时间序列的平稳性来判断。如果如果一个p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳生成的时间序列是平稳的，就说该的，就说该AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。否则，就说该否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。模型是非平稳的。考虑考虑p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+t (*)引入引入滞后算子（滞后算子（lag ope

49、rator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,LpXt=Xt-p(*)(*)式变换为式变换为：(1-1L-2L2-pLp)Xt=t 记(L)=(1-1L-2L2-pLp),则称多项式方则称多项式方程：程：(z)=(1-1z-2z2-pzp)=0为为AR(p)的的特征方程特征方程(characteristic equation)。可以证明，如果该特征方程的所有根在可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于单位圆外（根的模大于1），则），则AR(p)模型是模型是平稳的。平稳的。例例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。模型的平稳性条件。对对1阶自回归模型阶自回归模型AR(1)

50、方程两边平方再求数学期望，得到方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差：的方差：由由于于Xt仅仅与与 t相相关关，因因此此，E(Xt-1 t)=0。如如果果该该模模型型稳稳定定，则则有有E(Xt2)=E(Xt-12)，从从而而上上式式可变换为：可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有|1。而而AR(1)的特征方程：的特征方程：的根为：的根为：z=1/AR(1)稳定，即稳定，即|1，意味着特征根大于，意味着特征根大于1。例例9.2.2 AR(2)模型的平稳性。模型的平稳性。对对AR(2)模型：模型：方程两边同乘以方程两边同乘以XtXt，再取期