第 3 章 静力学平衡问题.ppt

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1、3-4 3-4 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 3-3 3-3 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题 3-2 3-2 简单的空间力系平衡问题简单的空间力系平衡问题 第第 3 3 章章 静力学平衡问题静力学平衡问题3-1 3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系的平衡条件与平衡方程 平平平平面面面面一一一一般般般般力力力力系系系系平平平平衡衡衡衡的的的的必必必必要要要要与与与与充充充充分分分分条条条条件件件件是是是是力力力力系系系系的的的的主主主主矢矢矢矢和和和和对对对对任任任任意意意意一一一一点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。点的主矩同时等于零。这一条件简称为平

2、衡条件。点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。3-1 平面力系平衡条件与平衡方程平面力系平衡条件与平衡方程yx(b)OF RMOxy(a)F4F2F1F5F3O一、一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程因为因为因为因为平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程 （基本形式）（基本形式）独立平衡方程只有三个独立平衡方程只有三个独立平衡方程只有三个独立平衡方程只有三个为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方程简写为为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方

3、程简写为 上上上上述述述述平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程表表表表明明明明，平平平平面面面面力力力力系系系系平平平平衡衡衡衡的的的的必必必必要要要要与与与与充充充充分分分分条条条条件件件件是是是是：力力力力系系系系中中中中所所所所有有有有的的的的力力力力在在在在直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系OxyOxy的的的的各各各各坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影的的的的代代代代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。求解力

4、系平衡问题的方法和步骤。求解力系平衡问题的方法和步骤。（1 1）选取研究对象）选取研究对象；（2 2）分析研究对象受力，画受力图；）分析研究对象受力，画受力图；（3 3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可能每个方程中只有一个未知量。能每个方程中只有一个未知量。（4 4）求解未知量，分析和讨论计算结果。）求解未知量，分析和讨论计算结果。图示简支梁图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均梁的自重及各处摩擦均不计。试求不计。试求A和和B处的支座约束力。处的支座约束力。(b

5、)qACBDMe2aa4axyFNBFAxFAy(a)qACBDMe2aa4a解：解：(1)(1)选选AB 梁为研究对象。梁为研究对象。(2)(2)画受力图如右图所示。画受力图如右图所示。例题例题 3-1(4)(4)列平衡方程列平衡方程解得解得(b)qACBDMe2aa4axyFNBFAxFAy解：以刚架为研究对象，受力如图解：以刚架为研究对象，受力如图解：以刚架为研究对象，受力如图解：以刚架为研究对象，受力如图。解得：解得：例1求图示刚架的约束反力求图示刚架的约束反力求图示刚架的约束反力求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA例题例题 3-2MMA A 平面刚架的所有外力的作用

6、线都位于刚架平平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平面内。面内。A处为固定端约束。若图中处为固定端约束。若图中q、FP、M、l 等均为等均为已知，已知，试求试求试求试求:A处的约束力。处的约束力。F FAxAxF FAyAyqlll2lM例题例题 3-3解：解：解：解：1.1.选择研究对象。选择研究对象。2 2 受力分析受力分析,画出受力图如图所示。画出受力图如图所示。FP Aqlll2lMFPA3.3.建立平衡方程求解未知力建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程应用平衡方程 Fx=0,MA=0，Fy=0,由此解得由此解得 F FAxAxF FAyAyMMA Aqlll2lMFPA2 二力矩式二

7、力矩式（AB不垂直于不垂直于x轴轴）二、平面一般力系平衡方程的其它形式二、平面一般力系平衡方程的其它形式xy(b)ABF R=0 xy(a)F4F2F1F5F3M 三力矩式三力矩式(A、B、C三点不共线三点不共线)xy(a)F4F2F1F5F3Mxy(b)ABF RC=0求图示梁的支座反力。求图示梁的支座反力。求图示梁的支座反力。求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图解：以梁为研究对象，受力如图解：以梁为研究对象，受力如图解：以梁为研究对象，受力如图。解得：解得：解得：解得：ABCPabqmABCPqmFBFAyFAx例题例题 3-4F5OF4F2F1F3xyxyO因为因为因为因为平

8、面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程1.1.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程平面力偶系可以合成为平面力偶系可以合成为平面力偶系可以合成为平面力偶系可以合成为一一一一个合力偶个合力偶个合力偶个合力偶,合力偶之合力偶之合力偶之合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和。M=Mi2.2.平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程F1h1F2h2h3F3hF平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程M=Mi=0 图示平面

9、刚架的支反力。图示平面刚架的支反力。解：以刚架为研究对象，受解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐标。由几何关系由几何关系解得解得例题例题 3-5xy yB B解：解：1.1.取滑轮取滑轮B B 连同连同销钉作为研究对象。销钉作为研究对象。2.2.画出受力图画出受力图 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B B的绳子吊起一重的绳子吊起一重P=20kN的的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆和斜刚杆BC 支持于点支持于点B(图图(a)。不计滑轮的自重，试求杆不计滑轮的自重，试求杆AB 和和BC 所受的力所受的力。F FABABF F

10、BCBCFT2FT130303030B BP PA AC C30303030例题例题 3-6F FABAB3030F FBCBCFT2FT1xy3030B B3.3.列出平衡方程：列出平衡方程：4.4.联立求解，得联立求解，得 反力反力FAB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。实际上受拉力。折杆折杆ABAB的支承方式如图所示，设有一力矩数的支承方式如图所示，设有一力矩数值为值为M M的力偶作用在折杆的力偶作用在折杆ABAB上，求支承处的约束力大小。上，求支承处的约束力大小。FAFB解：解：例题例题 3-7由由由由

11、 Mi=0 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：工件上作用有三个力偶如图所示。已知：M1=M2=10Nm，M3=20Nm，固定螺栓固定螺栓A和和B的距的距离离l=200mm。求两光滑螺栓所受的水平力。求两光滑螺栓所受的水平力。例题例题 3-8解：取工件为研究对象、画受力图。解：取工件为研究对象、画受力图。由由由由 Mi=0 解得解得 不计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处为光滑接触处为光滑接触,它们分别受力偶矩为它们分别受力偶矩为M1与与M2的力偶作用的力偶作用 ，转向如图转向如图。问问M1与与M2的比值为多大的比值为多大，结构才能平衡结构才能平衡?60o60oABCDM1M2例题例题

12、3-9解解:取杆取杆AB为研究对象画受力图为研究对象画受力图。杆杆AB只只受力偶的作用而平衡且受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则处为光滑面约束，则A处约束反力的方位可定。处约束反力的方位可定。ABCM1FAFC Mi=0FA=FC=F,AC=aa F-M1=0M1=a F (1)60o60oABCDM1M2取杆取杆CD为研究为研究对象对象。因。因C点约束方位已定点约束方位已定 ,则则D点点约束反力方位亦可确定，画受力图。约束反力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCAFDFCFD=FC =F Mi=0-0.5a F+M2=0M2=0.5 a F (2)联立联立(1)(2)(1)(

13、2)两式得两式得:M1/M2=260o60oABCDM1M2 1 1、静静定定问问题题：一一个个静静力力平平衡衡问问题题，如如果果系系统统中中未未知知量量的的数数目目正正好好等等于于独独立立的的平平衡衡方方程程数数，单单用用平平衡衡方方程程就就能解出全部未知量能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a3-3 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题一、刚体系统静定一、刚体系统静定与静不定的概念与静不定的概念 2、静不定问题：静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学刚体静力学方法

14、方法就不能解出所有的未知量。就不能解出所有的未知量。qACBMe2aaFD4a4a约束反力数约束反力数 m独立平衡方程数独立平衡方程数 n m =n 静定问题静定问题 m n 静不定问题静不定问题 静不定的次数为：静不定的次数为：k=m-n二、刚体系统的平衡问题的特点与解法二、刚体系统的平衡问题的特点与解法 1.刚刚体体系系统统：由由几几个个刚刚体体通通过过一一定定的的约约束束方方式式联联系在一起的系统系在一起的系统。返回返回2.2.求解刚体系统平衡问题的一般方法和步骤求解刚体系统平衡问题的一般方法和步骤弄清弄清题意，题意，标出标出已知已知量量选选整体整体为研究为研究对象画对象画受力图受力图，

15、列平衡列平衡方程方程检检查查结结果果，验验算算选选局部为局部为研究对象研究对象画受力图，画受力图，列平衡方列平衡方程求解程求解。注意：注意：力偶力偶 M 在任一轴上的投影为零；在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为力偶对任一点之矩即为M。选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。方法一方法一：整体整体整体整体 局部局部局部局部弄清弄清题意，题意，标出标出已知已知量量选选局部局部为研究为研究对象画对象画受力图受力图，列平衡列平衡方程方程检检查查结结果果，验验算算再选局部再选局部为研究对为研究对象象画受力画受力图，列平图，列平衡方程求衡方程求解解。方法二方法二：局部

16、局部局部局部 局部局部局部局部注意：注意：力偶力偶 M 在任一轴上的投影为零；在任一轴上的投影为零；力偶对任一点之矩即为力偶对任一点之矩即为M。选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。图图a a所示铰接横梁。已知荷载所示铰接横梁。已知荷载q q，力偶矩，力偶矩M和尺寸和尺寸a，试求杆的固定端，试求杆的固定端A及可动铰及可动铰B、C 端约束力。端约束力。2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题例题例题 3-102-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题 研究方法研究方法 一一:整体到局部整体到局部 1.1.取整体为研究对象取整体为研究对象2.2.BC 梁为研究梁为研究

17、1 1、BC 梁为研究梁为研究研究方法二研究方法二:局部到局部局部到局部2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题1 1、再以、再以ABAB梁为研究对象梁为研究对象1m 如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链用铰链A联结，再用铰链联结，再用铰链B和和C固结在两岸桥墩上。每固结在两岸桥墩上。每一部分的重量一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点其重心分别在点D和和E点。桥点。桥上载荷上载荷P=20KN。求。求A、B、C 三处的约束力三处的约束力。C3mBP4m1mP1P14m10mADE例题例题 3-11解：解：1.1.取整体为研究对象取整体为研究对象解

18、得：解得：1mC3mBP4m1mP1P14m10mADE1m 3m4m1mCBPP1P14m10mADE2.2.取取AC部分为研究对象：部分为研究对象：解得：解得：1mC3mBP4m1mP1P14m10mADECP1AE4mCA4m1m1m8mBWP 梁梁梁梁 ACB ACB 如图。如图。如图。如图。梁上起重小车重梁上起重小车重梁上起重小车重梁上起重小车重 W W=50kN50kN，吊重，吊重，吊重，吊重 P P=10kN=10kN，求，求，求，求A A、B B处的约束力。处的约束力。处的约束力。处的约束力。由由由由(1)(1)(1)(1)知，知，知，知，F FAxAx=0=0。剩余两个方程中

19、含剩余两个方程中含剩余两个方程中含剩余两个方程中含3 3 3 3个未知约束反力，不足以求解。个未知约束反力，不足以求解。个未知约束反力，不足以求解。个未知约束反力，不足以求解。列平衡方程：列平衡方程：Fx=FAx=0 -（1）解：解：解：解：1)1)1)1)取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。取系统整体为研究对象，画受力图。F FByByF FAxAxF FAyAyMMA A例题例题 3-12 MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0-（3）Fy=FAy+FBy-P-W=0-（2）4mWP1m1mDE 2)2)小车小车小车小车为研

20、究对象，列平衡方程：为研究对象，列平衡方程：3)3)取取BCBC梁梁梁梁为研究对象，有：为研究对象，有：F FE EF FD DF F E EC1m8mBF FByByF FCyCyF FCxCx Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN 将将FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得：MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kNFAy=P+W-FBy=53.75 kNMA=4W+8P-12FBy=205 kNm4mCA4m1m1m8mBWP例12 两两根根铅铅直直梁梁AB、CD与与水水平平梁梁BC

21、铰铰接接，B、C、D均均为为光光滑滑铰铰链链，A为为固固定定支支座座，各各梁梁的的长长度度均均为为l2 m，受受力力情情况况如如图图所所示示。已已知知水水平平力力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求求固固定定端端A及及铰铰链链C的的约约束束反反力。力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解解:(1)取取BC分析分析求得结果为负说明与假设方向相反。求得结果为负说明与假设方向相反。例例 题题 3-13(2)取取CD分析分析FCDFCxFCyFDxFDy求得结果为负说明与假设方向相反。求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0Mq0FCxFCy

22、FAyMAFAxBCA(3)取取AB、BC分析分析求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0静摩擦力的大小随主动力的情况而改变。静摩擦力的大小随主动力的情况而改变。1.1.静滑动摩擦力静滑动摩擦力 作用点作用点:方向方向:2-6-1 滑动摩擦力 大小大小:接触面。接触面。沿着接触面的公切线与相对滑动趋势方向相反沿着接触面的公切线与相对滑动趋势方向相反。一、一、滑动摩擦定律滑动摩擦定律滑动摩擦定律滑动摩擦定律 F2-6 考虑摩擦时的平衡问题 静摩擦静摩擦动摩擦动摩擦临界临界2.2.最大静摩擦力最大静摩擦力 库仑

23、摩擦定律，库仑摩擦定律，17811781年，由法国库仑总结。年，由法国库仑总结。静摩擦因数。由材质及表面条件定。静摩擦因数。由材质及表面条件定。3.3.动滑动摩擦力动滑动摩擦力 方向方向:动摩擦因数动摩擦因数 大小大小:作用点作用点:接触面。接触面。沿着接触面的公切线与相对滑动方向相反。沿着接触面的公切线与相对滑动方向相反。二、二、摩擦角与自锁现象摩擦角与自锁现象 （4 4）静止时主动力合力与全反力二力平衡静止时主动力合力与全反力二力平衡。（3 3）摩擦锥摩擦锥，1.摩擦角摩擦角 （1 1）全反力全反力：静滑动摩擦力与法静滑动摩擦力与法 向约束力的合力。向约束力的合力。全反力与法线的最大夹角。

24、全反力与法线的最大夹角。如图所示如图所示F F（2 2）摩擦角）摩擦角 因因所以所以 2.自锁现象自锁现象ajmjmAFRAjjmFR如如果果作作用用于于物物块块的的全全部部主主动动力力的的合合力力FR的的作作用用线线在在摩摩擦擦角角之之内内，则则无无论论这这个个力力怎怎样样大大，物物块块必必保保持静止。这种现象称为持静止。这种现象称为自锁现象自锁现象。j ajmjmAj如如果果全全部部主主动动力力的的合合力力FR的的作作用用线线在在摩摩擦擦角角之之外外，则则无无论论这这个个力力怎怎样样小小，物物块块一一定定会会滑滑动动。应应用用这这个个道道理理，可可以以设设法法避避免免发生自锁现象。发生自锁

25、现象。FRAFR3.3.测测定摩擦因数的一种简易方法，斜面自锁条件定摩擦因数的一种简易方法，斜面自锁条件自锁条件：自锁条件：j2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡三、考虑摩擦时的平衡问题三、考虑摩擦时的平衡问题 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同面基本相同2 2 严格区分物体处于临界、非临界状态严格区分物体处于临界、非临界状态；3.3.因因 ，问题的解有时在一个范围内。问题的解有时在一个范围内。1 1 画受力图时，必须考虑摩擦力；画受力图时，必须考虑摩擦力；几个新特点几个新特点AOMCF F1min1mine eaL2）制动杆制动

26、杆受力如图。受力如图。1）取轮取轮O研究研究，画受力图。，画受力图。解：讨论解：讨论解：讨论解：讨论 F F F F1 1 最小而制动，摩擦最小而制动，摩擦最小而制动，摩擦最小而制动，摩擦 力最大的临界状态。力最大的临界状态。力最大的临界状态。力最大的临界状态。刹车装置如图。块刹车装置如图。块刹车装置如图。块刹车装置如图。块C C与轮间摩擦因数与轮间摩擦因数与轮间摩擦因数与轮间摩擦因数为为为为 f f，求求求求F F1 1minmin。MMO OF FmaxmaxF FN NF FOxOxF FOyOyF F1min1minAF F N NF FAxAxF FAyAy有平衡方程有平衡方程 MO

27、(F)=M-Fmaxr=0 得到得到 Fmax=M/r有平衡方程有平衡方程 MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程摩擦方程 Fmax=f FN;FN=M/fr代入后求得代入后求得 F1min=(Ma/fr-Me/r)/L =M(a-fe)/frL制动的要求是制动的要求是制动的要求是制动的要求是 F F1 1 F F1min1min=MM(a a-fe fe)/)/frLfrLF Fmaxmaxr例题例题 3-13 图示悬臂可沿柱滑动图示悬臂可沿柱滑动,摩擦因数为摩擦因数为 f。为保证卡住，试确定力为保证卡住，试确定力 Fo o 的作用位置。的作用位置。解解：悬臂为研究对象，画

28、受力图悬臂为研究对象，画受力图。临界状态临界状态临界状态临界状态 x x=x xminmin；有：有：有：有：F Fx x=F FN ND D-F FN NA A=0=0；悬臂卡住：悬臂卡住：悬臂卡住：悬臂卡住：ABCDxminhdF Fo oF FN ND DF FD DF FN NA AF FA A而与而与而与而与F Fo o无关。无关。无关。无关。F Fy y=F FA A+F FD D-F Fo o=0=0解得：解得：解得：解得：F FN NA A=F FN ND D=F Fo o/2/2f f,x xminmin=h h/2/2f f.MMA A(F F)=)=F FN ND Dh

29、h+F FD Dd d-F Fo o(x xminmin+d d/2)=0/2)=0 及及及及 F FA A=f f F FN NA A,F FD D=f f F FN ND D 例题例题 3-14 长长为为 l l 的的梯梯子子 AB 一一端端靠靠在在墙墙壁壁上上，另另一一端端搁搁在在地地板板上上，如如图图所所示示。假假设设梯梯子子与与墙墙壁壁的的接接触触是是完完全全光光滑滑的的，梯梯子子与与地地板板之之间间有有摩摩擦擦，其其静静摩摩擦擦因因数数为为 fs。梯梯子子重重量量为为 W W，重重心心在在梯梯子子的的中中间间。今今有有一一重重为为 G G 的的人人沿沿梯梯子子向向上上爬爬，已已知知

30、梯梯子子与与地地面面的的夹夹角角为为，求求梯梯子子不不致致下下滑滑人人的的活活动动范范围围；如如果果要要保保证证人人爬爬到到顶顶端端而而梯梯子子不不致致下下滑，求梯子与地面的夹角滑，求梯子与地面的夹角。lxABG GWW例 题 4-3yx 以梯以梯 AB 为研究对象，人的位置为研究对象，人的位置用与下端距离用与下端距离 x 表示，梯子的受力如表示，梯子的受力如图，建坐标系。图，建坐标系。解：解：使梯子保持静止，必须满足下列平使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程衡方程解联立方程可得人的活动范围为：解联立方程可得人的活动范围为：同时满足条件同时满足条件由题意知，当由题意知，当 x=l 时，如上式仍能成立，则梯子永远保持平衡，时，如上式仍能成立，则梯子永远保持平衡，故有：故有：lxG GW BAF FF FA AF FB B