第五章 线性系统的频率分析法.ppt

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1、第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法本章主要内容本章主要内容:5.I5.I 5.25.2 5.35.35.45.4频率特性频率特性控制系统开环频率特性控制系统开环频率特性频率域稳定判据频率域稳定判据稳定裕度稳定裕度一、一、频率特性的定义频率特性的定义：指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入指线性系统或环节在正弦信号作用下，系统输入量的频率由量的频率由0 0变化到变化到 时，稳态输出量与输入量的振时，稳态输出量与输入量的振幅之比和相位差的变化规律，幅之比和相位差的变化规律，用用G(jG(j)表示。表示。5.1 5.1 频率特性频率特性稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相

2、位不同。稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。幅频特性幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，即：稳态输出与输入振幅之比，即：相频特性相频特性：稳态输出与输入相位之差，即：稳态输出与输入相位之差，即：G(jG(j)：包含了幅频特性和相频特性，故称其为幅相：包含了幅频特性和相频特性，故称其为幅相频率特性表达式。频率特性表达式。频率特性频率特性三、频率特性的求取三、频率特性的求取根据定义求取：根据定义求取：根据传递函数求取：根据传递函数求取：1）极坐标形式：）极坐标形式：2）直角坐标形式：）直角坐标形式：3）两种坐标间转换：）两种坐标间转换：二、频率特性的表示形式二、频率特性的表示形式例如：求

3、右图的频率特性例如：求右图的频率特性微分方程：微分方程：传递函数：传递函数：令令s=j代入传递函数得频率特性代入传递函数得频率特性：频率特性频率特性是传递函数的特例，是定义在复平是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。系统系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：微分方程、传递函数、频率特性之间的关系：四、四、频率特性的几何表示法频率特性的几何表示法常用频率特性的三种表示法：常用频率特性的

4、三种表示法：1)1)幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线（又称：幅相曲线、奈奎斯（又称：幅相曲线、奈奎斯 特图（特图（NyquistNyquistNyquistNyquist）、极坐标图）、极坐标图）2)2)对数频率特性曲线对数频率特性曲线（又称：伯德图（又称：伯德图 (Bode)(Bode)）频率对数分度频率对数分度,幅值幅值/相角线性分度相角线性分度3)3)对数幅相曲线对数幅相曲线（又称：尼科尔斯曲线、（又称：尼科尔斯曲线、NicholsNichols）以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(L()()()图图请重点掌握前面两种！请重点掌握前面两种！1

5、1、幅相频率特性曲线（又叫奈奎斯特图、幅相频率特性曲线（又叫奈奎斯特图）手工绘制手工绘制：以横轴为实轴，纵轴为虚轴，构成复平面，：以横轴为实轴，纵轴为虚轴，构成复平面，取几个特殊值时的幅值和相角，然后根据取几个特殊值时的幅值和相角，然后根据G(jG(j)随随 值的变化的趋势画出幅相曲线的大概形状。值的变化的趋势画出幅相曲线的大概形状。注注：1 1）参变量）参变量 在复平面上并不出现，只用在复平面上并不出现，只用箭头表示箭头表示 增大增大时幅相曲线的变化方向时幅相曲线的变化方向。2 2）通常只画）通常只画 从从0 0到到的幅相曲线，而的幅相曲线，而 从从0 0到到-的幅的幅相曲线与前者关于实轴对

6、称。相曲线与前者关于实轴对称。实轴正方向相角零度线，逆时针正角度，顺时针负角度实轴正方向相角零度线，逆时针正角度，顺时针负角度例如：例如：的（幅相曲线）奈氏图：的（幅相曲线）奈氏图：2 2）取三个特殊点：）取三个特殊点：1 1）频率特性：）频率特性：3 3）画出幅相曲线：）画出幅相曲线：1 1）对数频率特性曲线的横坐标：）对数频率特性曲线的横坐标：标记标记，按按lglg对数分度，单位是弧度对数分度，单位是弧度/秒（秒（radrad/s/s）；）；2 2）对数幅频特性曲线的纵坐标：）对数幅频特性曲线的纵坐标：以以L(L()=20lgA()=20lgA()线性分度，单位是分贝（线性分度，单位是分贝

7、（dBdB）；）；3 3）对数相频特性曲线的纵坐标：）对数相频特性曲线的纵坐标：按按()线性分度，单位是度（线性分度，单位是度（o o）。）。2 2、对数频率特性曲线、对数频率特性曲线（又叫伯德图又叫伯德图BodeBode）包含：对数幅频特性和对数相频特性两条曲线包含：对数幅频特性和对数相频特性两条曲线 对数幅频特性对数幅频特性 对数相频特性对数相频特性十倍频程十倍频程dec对数分度：对数分度：当变量每增大或减小当变量每增大或减小1010倍倍（1010倍频程），坐标距离变化一个单倍频程），坐标距离变化一个单位长度位长度十倍频程十倍频程dec1 1）横轴按）横轴按 的对数的对数lglg 标尺分度

8、，但标出的是标尺分度，但标出的是 本身本身的数值，即刻度不均匀；的数值，即刻度不均匀；2 2）横轴压缩了高频段，扩展了低频段；）横轴压缩了高频段，扩展了低频段；3 3）在）在 轴上，十倍频程的长度相等；轴上，十倍频程的长度相等；4 4）可以将幅值的乘除化为加减）可以将幅值的乘除化为加减L(L()=20lgA()=20lgA()；5 5）满足直线方程：斜率）满足直线方程：斜率k k对数频率特性曲线的特点：对数频率特性曲线的特点：例如：例如：的（对数频率特性曲线）伯德图的（对数频率特性曲线）伯德图2 2）对数频率特性：）对数频率特性：1 1）频率特性：）频率特性：3 3）画出伯德图：）画出伯德图：

9、最小相位环节和非最小相位环节的区别：最小相位环节和非最小相位环节的区别：最小相位环节：最小相位环节：K0,K0,开环零极点在开环零极点在s s左半平面；左半平面；非最小相位环节：非最小相位环节：K0K0.707,0.707,没有峰值，没有峰值，A(A()单调衰减；单调衰减；当当=0.707,=0.707,MMr r=1,=1,r r=0,=0,恰为恰为NyquistNyquist的起点；的起点；当当 0.707,1,1,r r0,0,减小则减小则MMr r,r r增大。增大。相频范围：相频范围：0 0 o o-180-180 o o谐振峰值：谐振峰值：幅频特性：组成系统的各典型环节的幅频特性：

10、组成系统的各典型环节的 幅频特性之乘积。幅频特性之乘积。相频特性：组成系统的各典型环节的相频特性：组成系统的各典型环节的 相频特性之代数和相频特性之代数和。开环传递函数可看作各典型环节的串联，则：开环传递函数可看作各典型环节的串联，则：二、二、开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制2 2）补充必要的特征点）补充必要的特征点(如与实轴的交点如与实轴的交点)：3 3）根据）根据A()A()和和()()确定变化趋势，画出确定变化趋势，画出NyquistNyquist图的图的 大致形状。大致形状。绘制开环幅相曲线的步骤：三个要素绘制开环幅相曲线的步骤：三个要素 P175P1751 1）起点和终点：求：）

11、起点和终点：求：A(0A(0+)和和 (0(0+)；A()A()和和()()；1 1、极坐标图的起点：、极坐标图的起点：=0=0+时时G(j0G(j0+)的位置的位置0 0型：型：型及以上：型及以上：结论：结论：系统开环传函：系统开环传函：极坐标图的起点位置与系统极坐标图的起点位置与系统的型有关，的型有关，不同时，起点不同时，起点位置如图所示：位置如图所示：极坐标图的终点：极坐标图的终点：=时时G(jG(j)时的位置时的位置结论：结论：系统开环传函：系统开环传函：极坐标图的终点趋于坐标原点，极坐标图的终点趋于坐标原点，只是入射角不同，由分子分母的只是入射角不同，由分子分母的阶次之差（阶次之差（

12、n-mn-m）决定）决定，终点位，终点位置如图所示：置如图所示：n n，mm分别为分母，分别为分母，分子的最高介次分子的最高介次2 2、极坐标图与实轴的交点：令虚部为零，解得、极坐标图与实轴的交点：令虚部为零，解得 x x，再将再将 x x代入代入ReGReG(j(j)，即与实轴的交点，即与实轴的交点3 3、开环幅相曲线的变化范围（单调性、开环幅相曲线的变化范围（单调性、象限象限）：）：典型环节典型环节角度变化范围角度变化范围幅值变化范围幅值变化范围比例比例0 0o o00o oK积分积分-90-90o o-90-90o o 0微分微分9090o o9090o o 0 惯性惯性0 0o o-9

13、0-90o o1 0一阶微分一阶微分0 0o o9090o o 1 振荡振荡0 0o o-180-180o o二阶微分二阶微分0 0o o180180o o例例5-15-1：1 1）起点：）起点：终点：终点：解：解：增大时，增大时，A A()单调减小的，极坐标如图所示：单调减小的，极坐标如图所示：利用上述三点，可以定性的作出极坐标图。利用上述三点，可以定性的作出极坐标图。例例5-25-2：起点：起点：终点：终点：解：解：与实轴的交点：与实轴的交点：令虚部为零得：令虚部为零得：例例5-35-3：起点：起点：终点：终点：解：解：与实轴的交点：与实轴的交点：令虚部为零得：令虚部为零得：分情况讨论：分

14、情况讨论：令虚部为零得：令虚部为零得：含有一阶微分，含有一阶微分，有凹凸现象有凹凸现象1 1、熟熟练练掌掌握握由由系系统统开开环环传传递递函函数数绘绘制制对对数数频频率率特特性性曲线（开环伯德图）；曲线（开环伯德图）；2 2、熟熟练练掌掌握握由由已已知知开开环环对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线求求出出系系统统开环传递函数开环传递函数的方法。的方法。三三、开环对数频率特性曲线开环对数频率特性曲线(一一一一)典型环节对数频率特性曲线典型环节对数频率特性曲线典型环节对数频率特性曲线典型环节对数频率特性曲线BodeBode的绘制的绘制的绘制的绘制1、比例环节：、比例环节：对数幅频：对数幅频：对数相频：

15、对数相频：2 2、积分环节：、积分环节：对数幅频：对数幅频：对数相频：对数相频：3 3、微分环节：、微分环节：对数幅频：对数幅频：对数相频：对数相频：4 4、惯性环节：、惯性环节：对数幅频：对数幅频：对数相频：对数相频：讨论：讨论：当当 1/T1/T1/T时：时：即：惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直即：惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为线近似，零分贝线和斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线，的直线，两直线相交于两直线相交于=1/T=1/T（转折频率）处。（转折频率）处。当当=1/T=1/T时：有时：有最大误差：最大误差：5 5、一阶微分：、一阶微分：对

16、数幅频：对数幅频：对数相频：对数相频：讨论：讨论：当当 1/T1/T1/T时：时：即：一阶微分环节的对数幅频特性曲线可用两条即：一阶微分环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为直线近似，零分贝线和斜率为20dB/dec20dB/dec的直线，的直线，两直线相交于两直线相交于=1/T=1/T（转折频率）处。（转折频率）处。当当=1/T=1/T时：有时：有最大误差：最大误差：惯性和一阶微分：频率特性互为倒数时：惯性和一阶微分：频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。相频特性曲线关于零度线对称。一阶一阶微分微

17、分惯性惯性6 6、振荡环节：、振荡环节：对数幅频：对数幅频：对数相频：对数相频：讨论：讨论：当当 n n时：时：即：振荡环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近即：振荡环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似，零分贝线和斜率为似，零分贝线和斜率为-40dB/dec-40dB/dec的直线，两直线的直线，两直线相交于相交于=n n（转折频率）处。（转折频率）处。振荡环节和振荡环节和二阶微分环节：二阶微分环节：频率特性互为倒数时：频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；对数相频特性曲线关于零度线对称。对数相频特性曲线关于零度线对称。系统的开环对数系统的开环

18、对数幅频幅频特性特性L L()等于各个串联环节对等于各个串联环节对数幅频特性数幅频特性之和之和；系统的开环；系统的开环相频相频特性等于各个环特性等于各个环节相频特性节相频特性之和之和。系统的开环对数频率特性：系统的开环对数频率特性：四四、开环对数频率特性曲线的绘制开环对数频率特性曲线的绘制一、开环系统一、开环系统BodeBode图的绘制：图的绘制：将系统开环传递函数分解为典型环节乘积的形将系统开环传递函数分解为典型环节乘积的形式，包括如下几部分：式，包括如下几部分：1 1）K/K/s sv v；2 2）一阶：惯性、一阶微分，交接频率）一阶：惯性、一阶微分，交接频率1/T1/T；3 3）二阶：振

19、荡、二阶微分，交接频率）二阶：振荡、二阶微分，交接频率 n n。最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关最小相位系统：幅频特性与相频特性具有一一对应关系；而非最小相位系统就没有这样的关系系；而非最小相位系统就没有这样的关系开环系统开环系统BodeBode图的绘制步骤：图的绘制步骤：P183P183 1 1）典型环节分解；）典型环节分解；2 2）将转折频率由低到高依次标注到半对数坐）将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上标纸上；3 3）绘制低频（）绘制低频（minmin）渐近线：）渐近线：斜率由斜率由K/sK/s 决定为：决定为：-20-20 dB/decdB/dec确定低频渐近线上的

20、一个点：三种方法：确定低频渐近线上的一个点：三种方法：在直线上任取一点在直线上任取一点 0 0(0 0 00（通常为：（通常为：3030o o7070o o）且幅值裕度且幅值裕度h1(h0dB)h1(h0dB)（通常（通常h6dBh6dB），则系统闭环稳），则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。不稳定。稳定裕度的含义：稳定裕度的含义：对闭环稳定的系统，若开环相频特性再滞后对闭环稳定的系统，若开环相频特性再滞后 度，则系统处于临界稳定状态，或者开环幅频特性度，则系统处于临界稳定状态，或者开环幅频特性再增大再增大h h倍，系统处于临界稳

21、定状态。倍，系统处于临界稳定状态。请问这个系统稳定吗？说明判断理由！请问这个系统稳定吗？说明判断理由！答：不稳定答：不稳定相角裕度相角裕度 0幅值裕度幅值裕度h1练习练习1 1：已知某单位负反馈最小相位系统的开：已知某单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如下图所示，试求系统环对数幅频特性曲线如下图所示，试求系统的的开环传递函数开环传递函数，并计算系统的，并计算系统的稳定裕度稳定裕度。解：解：1）开环传函？）开环传函？确定参数确定参数K：本章知识要点本章知识要点1 1、了解频率特性的基本概念，表示方法；、了解频率特性的基本概念，表示方法；2 2、熟练掌握、熟练掌握NyquistNyqui

22、st图和图和BodeBode图的绘制方法；图的绘制方法；3 3、熟练掌握频域稳定判据及稳定裕度计算方法。、熟练掌握频域稳定判据及稳定裕度计算方法。附：控制系统的频域分析附：控制系统的频域分析1、伯德图（、伯德图（Bode）1）mag,phase,w=bode(sys)当缺省输出时，命令可直接绘制伯德图，否则计当缺省输出时，命令可直接绘制伯德图，否则计算与频率算与频率w对应的幅值和和相角。对应的幅值和和相角。2）Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)当缺省输出时，命令可直接绘制伯德图，并且将当缺省输出时，命令可直接绘制伯德图，并且将幅值裕度、相角裕度及其对应的穿越频率、截止幅值裕度、

23、相角裕度及其对应的穿越频率、截止频率标注在图形标题端。频率标注在图形标题端。2、奈奎斯特图（、奈奎斯特图（Nyquist）re,im,w=nyquist(sys)当缺省输出时，命令可直接绘制奈奎斯特图。当缺省输出时，命令可直接绘制奈奎斯特图。例：已知单位负反馈的开环传函，试绘制例：已知单位负反馈的开环传函，试绘制BodeBode图，和图，和NyquistNyquist图，并判断闭环系统的稳定性。图，并判断闭环系统的稳定性。G=tf(5,conv(conv(1 0,1 1),0.1 1)%建立开环传函建立开环传函figure(1)margin(G)figure(2)nyquist(G)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G)运行后得到：运行后得到：Gm=2.2000Pm=13.5709Wcg=3.1623Wcp=2.1020Bode图图Nyquist 图图书例书例5-75-7：已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，：已知某最小相位系统的开环对数幅频曲线，求系统开环传递函数。求系统开环传递函数。解：含有哪些环节？解：含有哪些环节？确定四个参数：确定四个参数：开环传递函数为：开环传递函数为：