《几何与代数》 科学出版社 第三章 几何空间2.ppt

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1、教学内容和学时分配教学内容和学时分配第三章第三章 几何空间几何空间 教教 学学 内内 容容学时数学时数3.1 平面向量及其运算的推广平面向量及其运算的推广13.2 空间坐标系空间坐标系13.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积13.4 平面和直线平面和直线23.5 空间直角坐标变换空间直角坐标变换03.6 用用Matlab解题解题 1 数量数量数量数量积积的定的定的定的定义义 内内内内积积的性的性的性的性质质 直角坐直角坐直角坐直角坐标标系下系下系下系下计计算内算内算内算内积积 投影与内投影与内投影与内投影与内积积的关系的关系的关系的关系 正定性、正定性、线线性性、性性、Sch

2、wartzSchwartz、三角不等式、三角不等式、三角不等式、三角不等式 =x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2+z z1 1z z2 2五五五五.空间向量的数量积空间向量的数量积空间向量的数量积空间向量的数量积(点点点点积积、内、内、内、内积积)一一一一.空间向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量的线性运算二二二二.共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定共线、共面向量的判定 =(k1x1+k2x2,k1y1+k2y2,k1z1+k2z2).k1+k2 方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数方向角、方向余弦和方向数方向角、方向

3、余弦和方向数 3 3与与与与 1 1,2 2共面共面共面共面 3 3 可由可由可由可由 1 1,2 2唯一唯一唯一唯一线线线线性表性表性表性表示示示示 3 3与与与与 1 1,2 2 线性相关线性相关线性相关线性相关=T T设设O为为一根杠杆一根杠杆L的支点，力的支点，力 作用于杠杆作用于杠杆上上P点，力点，力 与与 的的夹夹角角为为，力，力 对对支支点点O的力矩是向量的力矩是向量 ，则则力矩的模力矩的模为为向量积的物理意义向量积的物理意义3.3 空间向量的向量积和混合积空间向量的向量积和混合积 一一.空间向量的向量积空间向量的向量积(叉叉积、外、外积)1.物理背景物理背景 2.向量向量积的定

4、的定义 3.向量向量积的模的几何意的模的几何意义 4.外外积的性的性质 5.直角坐直角坐标系系 下外下外积的坐的坐标计算算 二二.空间向量的混合积空间向量的混合积 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 一一.两个向量的向量积两个向量的向量积(叉叉叉叉积积,外外外外积积)1.物理背景物理背景:2.向量向量积的定的定义:|=|sin 其中其中 =(,).3.模的几何意模的几何意义：力矩力矩=力力力臂力臂 是一个向量是一个向量.当当当当 ,，且，且，且，且 ,不平行不平行不平行不平

5、行时时，正弦值等于边长为正弦值等于边长为1菱形的面积菱形的面积.4.外外积的性的性质(3)反反对称性称性:=(1)=或或=或或(,/)/(规定定 /)|=|sin (4)(m)=m()=(m)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 4.外外积的性的性质(3)反反对称性称性:=(4)(m)=m()=(m)(5)(+)=+(6)()2+()2=2 2 例例7.已知已知|=3,|=11,且且 =30.求求|.(1)=/|=|sin +第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间

6、几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 5.直角系直角系 下外下外积的坐的坐标计算算 j jki iO Oijk =i+j +k =(a1i+a2j+a3k)(b1i+b2j+b3k),(2)设 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),则(a2b3 a3b2)(a3b1 a1b3)(a1b2 a2b1)(1)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 =i+j +k a2 a3 b2 b3a3 a1 b3

7、b1a1 a2 b1 b2注注:=(a1,a2,a3)与与 =(b1,b2,b3)共共线 =(a2b3 a3b2)i+(a3b1 a1b3)j +(a1b2 a2b1)k =,a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2 i ij jk ka1 a2 b1 b2=a3 b3a1 b1=a2 b2a3 b3注注:为任意任意值,不共不共线 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例8.求点求点P(4,4,1)到点到点A(1,0,1)和和B(0,2,3)所所

8、在直在直线的距离的距离.x xy yz zB BO OP PA A分析分析:P到到AB的距离可看作的距离可看作底底边边AB上的高上的高.D D分析：分析：P到到AB的距离可通过的距离可通过AP到到AB的投影求得的投影求得.解解1 1：解解2：第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例9.已知向量已知向量 =(1,2,1),=(1,1,1),且且 =8,其中其中 =(1,2,1),求求 .解法解法1 1：设 =(x,y,z),由由题设知，知，解法解法2 2：解得解得 =(x,y

9、,z)=(1,-2,3).第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例10.已知向量已知向量,有共同起点但不共面有共同起点但不共面,求以它求以它们为棱的平行六面体的体棱的平行六面体的体积V.V=()S=|,h=()解：解：第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 二二.三个向量的混合积三个向量的混合积 1.,的的混合混合积:(,)=()2.几何意几何意义 设,为不

10、共面的三个向量不共面的三个向量,将它将它们平平 移到同一起点移到同一起点.若它若它们符合符合右手右手法法则,则g与与()在在 与与 所所成平面的成平面的同同侧,于是于是V=()若若 与与()在在 与与 所成平所成平面的面的两两侧,则 V=()第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 二二.三个向量的混合积三个向量的混合积 1.,的的混合混合积:(,)=()2.几何意几何意义 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量

11、积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 ,共面共面 ()=0 ()注注:轮换对称性轮换对称性()=()=()|()|=以以,为相相对棱的平行六面体的棱的平行六面体的体体积=以以,为相相对棱的四面体体棱的四面体体积的的6 6倍倍 =i+j +k a2 a3 b2 b3a3 a1 b3 b1a1 a2 b1 b2 i ij jk ka1 a2 b1 b2=a3 b3 i ij jk ka1 a2 b1 b2=a3 b3设设 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),4.直角系下直角系下混合混合积的坐的坐标计算算 ()=A31 c1+A32 c2+A33 c

12、3 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3=A31 i+A32 j+A33 k 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 注注:对于向量于向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),和和 =(c1,c2,c3),采用行列式的采用行列式的记号号,我我们有有()=a1 a2 a3b1 b2 b3 ,c1 c2 c3 =i j ka1 a2 a3 .b1 b2 b3 三个向量三个向量 =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3)共面的共面的

13、充分必要条件是充分必要条件是=0.a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3()=0第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 3.性性质（即行列式的性（即行列式的性质）(1)(,)=0(2)(,)=(,)(3)(1+2,)=(1,)+(2,)(4)(m,)=m(,)=(,m,)=(,m)(5)(,+m)=(,),其中其中m为一一实数数.注注:结合合轮换对称性称性,由由这些性些性质还可派生出更可派生出更 多多类似的性似的性质.如如:(,1+2,)=(,1,)+(,2,);(+

14、m,)=(,),等等等等.=(,)=(,)=(,)=(,)轮换对称性轮换对称性第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例11.试证试证(2,+3,+)=6(,).证明：证明：(2,+3,+)=(2,3 ,+)=6(,+)=6(,)=6(,)第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 例例12.由定理由定理3.3可知可知,在空在空间中任取三个不共面中任取三个不共面

15、的的,后后,空空间中任一向量中任一向量 都可以由都可以由,唯一的唯一的线性表示性表示,即存在唯一的即存在唯一的实数数 组(x,y,z),使得使得 =x +y +z.下面我下面我们去求去求x,y,z的的值.(,)=(x +y +z,)=(x,)+(y ,)+(z,)=x(,).故故x=(,)(,).类似地似地,y=(,)(,),z=(,)(,).,不共面，不共面，则(,)0.解：解：Cramer法法则则第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.3 3.3 向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积向量的向量积和混合积 向量的数量积、向量积和混合积向量的数量

16、积、向量积和混合积 数量数量积向量向量积混合混合积定定定定义义性性质性性质2 2 坐坐坐坐标标计计算算算算|=|=|sin|sin =S S 正定性正定性,线性性性性,SchwartzSchwartzSchwartzSchwartz不等式不等式不等式不等式反反对称性称性 =0=0 =/a =a a1 1b b1 1+a a2 2b b2 2+a a3 3b b3 3(,)=()=V(平行六面体平行六面体)轮换对轮换对称性称性称性称性,(1),(2),(5)(1),(2),(5)(,)=0 =0 共面共面共面共面 a a1 1 a a2 2 a a3 3b b1 1 b b2 2 b b3 3

17、c c1 1 c c2 2 c c3 3(,)=i i j j k ka a1 1 a a2 2 a a3 3 b b1 1 b b2 2 b b3 3第三章第三章 几何空间几何空间 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.1.点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2.2.一般方程一般方程一般方程一般方程 3.3.特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 4.4.三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程 5.5.截距式方程截距式方程截距式方程截距式方程 二二.空间直线的方程空间直线的方程 1.1.参数方程参数方程参数方程参数

18、方程 2.2.标标准准准准(对对称称称称)方程方程方程方程 4.4.两点式方程两点式方程两点式方程两点式方程 3.3.一般方程一般方程一般方程一般方程 三三.与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1.1.夹夹角角角角 2.2.距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程第三章第三章 几何空间几何空间 x xy yz zO On n P P0 0 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.点法式方程点法式方程 r rr r0 0 P PA(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0 2.一般方程一般方程 Ax+By

19、+Cz+D=0平面方程是三元一次方程平面方程是三元一次方程,而三元一次方程而三元一次方程必然表示一个平面必然表示一个平面.P P0 0(x x0 0,y y0 0,z z0 0)P P(x x,y y,z z)过点点P0且与且与n 垂直的平面垂直的平面 的方程的方程为其中其中D=Ax0 By0 Cz0 第三章第三章 几何空间几何空间 第一章第一章第一章第一章 向量代数向量代数向量代数向量代数 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 1.4 1.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程(1)过原点的平面原点的平面:Ax+By

20、+Cz=0(2)平行于平行于x轴的平面的平面:平行于平行于y轴的平面的平面:Ax+Cz+D=0 平行于平行于z轴的平面的平面:Ax+By+D=0(3)平行于平行于xoy面的平面面的平面:平行于平行于yoz面的平面面的平面:Ax+D=0 平行于平行于xoz面的平面面的平面:By+D=0 Ax+By+Cz+D=0若若A 0，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0)=0P P0 0(-(-D/AD/A,0,0),0,0)By+Cz+D=0Cz+D=0D D=0 =0 过过原点原点原点原点,A A=0=0 x x轴轴,B=B=0 0 y y轴轴,C=C=0 0 z z轴轴第三章第三章第三章第三章

21、 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例13.求通求通过点点P0(1,2,3),且且 注注:确定确定A,B,C,D的的值;作作图时应标注一些特殊点注一些特殊点,如与坐如与坐标轴 或坐或坐标平面的交点平面的交点.(0,2,3)(0,2,3)x xO Oy yz z(1,0,0)(1,0,0)x xO Oy yz z(1)通通过x轴;(2)平行于平行于yoz平面平面的平面方程的平面方程,并且分并且分别作出它作出它们的的图形形.By+Cz=0 2B+3C=03y-2z=0AxAx+D D=0=0A A+D D=0=0

22、x x 1=01=04.三点式方程三点式方程 经过经过不共不共不共不共线线三三三三点点点点P P1 1(x x1 1,y y1 1,z z1 1),),P P2 2(x x2 2,y y2 2,z z2 2),),P P3 3(x x3 3,y y3 3,z z3 3)的的的的平面平面平面平面 x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1 =0 x3 x1 y3 y1 z3 z1 的方程的方程的方程的方程第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 4.三点式方程三点式方程 x x

23、1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1 =0 x3 x1 y3 y1 z3 z15.截距式方程截距式方程 xaybzc+=1 A A(a a,0,0),0,0)x xO Oy yz zB B(0,(0,b b,0),0)C C(0,0,(0,0,c c)x a y z a b 0 =0 a 0 c第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.1.点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2.2.一般方程一般方

24、程一般方程一般方程 3.3.特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 4.4.三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程 5.5.截距式方程截距式方程截距式方程截距式方程 二二.空间直线的方程空间直线的方程 1.1.参数方程参数方程参数方程参数方程 2.2.标标准准准准(对对称称称称)方程方程方程方程 4.4.两点式方程两点式方程两点式方程两点式方程 3.3.一般方程一般方程一般方程一般方程 三三.与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1.1.夹夹角角角角 2.2.距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程重要信息重

25、要信息:第三章第三章 几何空间几何空间 二二.空间直线的方程空间直线的方程 1.参数方程参数方程 P Px=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.r r0 0r r2.标准准(对称称)方程方程 x xy yz zO OP P0 0s s L L 过点点P0(x0,y0,z0)且与非零向量且与非零向量s=(l,m,n)平行的直平行的直线L的参数方程的参数方程:x x0lmny y0z z0=第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 二二.空间直线的方程空间直线的方程 1.参数方程参数方程 P

26、 Px=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.r r0 0r r2.标准准(对称称)方程方程 x xy yz zO OP P0 0s s L L x x0lmny y0z z0=z R第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.一般方程一般方程 A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 4.两点式方程两点式方程 过两点两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的直的直线L的方程的方程为x x1y y1z z1=x2 x1y2 y1z2 z1r r1

27、1r r2 2x xy yz zO OP P1 1 L L P P2 2x x0lmny y0z z0=第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.1.点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2.2.一般方程一般方程一般方程一般方程 3.3.特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 4.4.三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程 5.5.截距式方程截距式方程截距式方程截距式方程 二二.空间

28、直线的方程空间直线的方程 1.1.参数方程参数方程参数方程参数方程 2.2.标标准准准准(对对称称称称)方程方程方程方程 4.4.两点式方程两点式方程两点式方程两点式方程 3.3.一般方程一般方程一般方程一般方程 三三.与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1.1.夹夹角角角角 2.2.距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程重要信息重要信息:重要工具重要工具:三个向量共面三个向量共面 重要信息重要信息:P1P2第三章第三章 几何空间几何空间 例例14.求求过点点P(7,6,5),垂直于直垂直于直线L0:且平行于平面且平行于平面 0:x+y+z

29、+1=0的直的直线方程方程.=(9,5,1).=(4,8,4).所求直所求直线L的方程的方程为 x+71 21y 6z 5=.x 2y+z+3=0 2x 3y 3z 9=0 L L0 0 0解解:(法一法一)直直线L0的方向向量的方向向量s0可取可取为 所求直所求直线L的方向向量的方向向量 s 可取可取为s0=n1 n2=s=s0 n=P P第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 例例14.求求过点点P(7,6,5),垂直于直垂直于直线L0:且平行于平面且平行于平面 0:x+y+z+1=0的直

30、的直线方程方程.x 2y+z+3=0 2x 3y 3z 9=0 (9,5,1).9(x+7)+5(y 6)+(z 5)=0,即即:9x+5y+z+28=0.过点点P(7,6,5)平行于平面平行于平面 0的平面的平面 2为(x+7)+(y 6)+(z 5)=0,即即:x+y+z 4=0.故所求直故所求直线L的方程的方程为9x+5y+z+28=0 x+y+z 4=0解解:(法二法二)直直线L0的方向向量的方向向量 s0=n1 n2=0 2 1过点点P(7,6,5)且以且以 s0 为法向量的平面法向量的平面 1为 P P第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间

31、的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 三平面的相三平面的相对位置位置 1:A1x+B1y+C1z+D1=0 2:A2x+B2y+C2z+D2=0 3:A3x+B3y+C3z+D3=0 A=A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2A3 B3 C3 D3.r2=r1+1 无解无解 平行平行 或或“”或或“”r2=r1=3 交于一点交于一点 r2=r1=2 3 交于一交于一线 r2=r1=1 3 三平面重合三平面重合 记记A=A1 B1 C1 A2 B2 C2A3 B3 C3,第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空

32、间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 1:x +y+bz =3 2:2x+(a+1)y+(b+1)z =7 3:(1 a)y+(2b 1)z=0 A=1 1 b 3 2 a+1 b+1 70 1 a 2b 1 0 b=0时,r2=r1+1,无公共点无公共点 a 1且且b 0时,r2=r1=3,交于一点交于一点 例例15.讨论三个平面的相互位置三个平面的相互位置,其中其中a,b为参数参数.解：解：1 1 b 3 0 a 1 1 b 10 1 a 2b 1 01 1 b 3 0 a 1 1 b 10 0 b 1 r2 2r1 r3+r2 第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间

33、几何空间 3.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 A a 1且且b 0时,r2=r1=3,交于一点交于一点 r2+r31 1 b 3 0 a 1 1 b 10 0 b 1 b=0时,r2=r1+1,无公共点无公共点当当 a=1,A1 1 b 3 0 0 1 b 10 0 b 1b 1/2时,r2=r1+1,无公共点无公共点1 1 b 3 0 0 1 20 0 0 1 2b r3 br2当当a=1,b=1/2时,r2=r1=2 3 交于一交于一线 r1 1/2r21 1 0 2 0 0 1 2第三章第三章第三章第三章 几何空间几何空间几何空间几何空间 3

34、.4 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线空间的平面和直线 3.4 空间的平面和直线空间的平面和直线 一一.平面的方程平面的方程 1.1.点法式方程点法式方程点法式方程点法式方程 2.2.一般方程一般方程一般方程一般方程 3.3.特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程特殊位置的平面方程 4.4.三点式方程三点式方程三点式方程三点式方程 5.5.截距式方程截距式方程截距式方程截距式方程 二二.空间直线的方程空间直线的方程 1.1.参数方程参数方程参数方程参数方程 2.2.标标准准准准(对对称称称称)方程方程方程方程 4.4.两点式方程两点式方程两点式方程两点式方程 3.3.一般方程一般方程一般方程一般方程 三三.与直线、平面有关的一些问题与直线、平面有关的一些问题 1.1.夹夹角角角角 2.2.距离距离距离距离 3.3.3.3.平面束方程平面束方程平面束方程平面束方程重要信息重要信息:重要工具重要工具:三个向量共面三个向量共面 重要信息重要信息:P1P2第三章第三章 几何空间几何空间