高中数学课件 两条直线的交点坐标、两点间的距离.ppt

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1、3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离1.1.能用解方程能用解方程组组的方法求两直的方法求两直线线的交点坐的交点坐标标.2.2.探求并掌握两点探求并掌握两点间间的距离公式的距离公式.1.1.几何元素及代数表示几何元素及代数表示几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点P P坐坐标标P(x,y)P(x,y)直直线线l方程方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0点点P(xP(x0 0,y,y0 0)在直在直线线l上上坐坐标标(x(x0 0,y,y0 0)满满足方程足方程即即_点点P(xP(x0 0,y,y0 0)是是l1 1,l2 2的交点的交点坐标

2、坐标(x(x0 0,y,y0 0)满足方程组满足方程组即即_AxAx0 0+By+By0 0+C=0+C=02.2.两条直两条直线线的交点的交点问题问题方程组方程组 的解的解一一组组无数无数组组_两条直两条直线线l1 1,l2 2的公共点的公共点一个一个无数个无数个零个零个直直线线l1 1,l2 2的位置关系的位置关系_无解无解相交相交重合重合平行平行3.3.两点两点间间的距离公式的距离公式(1)(1)条件：两点条件：两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2).).(2)(2)结论结论：|P|P1 1P P2 2|=_.|=_.(3)(3)特特

3、别别地地,原点原点O(0,0)O(0,0)与任一点与任一点P(x,y)P(x,y)的距离的距离|OP|=_.|OP|=_.1.“1.“判一判判一判”理清知识的疑惑点理清知识的疑惑点(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”).”).(1)(1)两条直线两条直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点坐标就是方程的交点坐标就是方程组组 的实数解的实数解.().()(2)(2)若方程组若方程组 无解，则两直线没有交点，两无解，则两直线没有交点，两直线平行直线平行.().()(3)(3)直线直线x=2x=2与与

4、y=3y=3没有交点没有交点.().()(4)(4)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式.(.()提示：提示：(1)(1)正确正确.根据直线交点坐标的含义根据直线交点坐标的含义.故此说法是正确的故此说法是正确的.(2)(2)正确正确.方程组无解，两直线没有交点，两直线平行方程组无解，两直线没有交点，两直线平行.故这种故这种说法是正确的说法是正确的.(3)(3)错误错误.直线直线x=2x=2与与y=3y=3交点为交点为(2,3).(2,3).故这种说法是错误的故这种说法是错误的.(4)(4)正确正确.两点间的距离公式适用于平面内的任意两点求

5、距离两点间的距离公式适用于平面内的任意两点求距离.答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(4)2.“2.“练练一一练练”尝试尝试知知识识的的应应用点用点(请请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线线上上).).(1)(1)直直线线x-y=0 x-y=0与直与直线线x+y+2=0 x+y+2=0的交点坐的交点坐标标是是.(2)(2)直直线线y=x+2y=x+2与直与直线线y=-x+2ay=-x+2a的交点在的交点在x x轴轴上上,则则a=a=.(3)A(a,2a),B(1,2)(3)A(a,2a),B(1,2)两点的距离两点的距离为为 ,则则a=a=.【解析解析】(1)(1)解方

6、程组解方程组所以交点坐标为所以交点坐标为(-1(-1，-1).-1).答案：答案：(-1,-1)(-1,-1)(2)(2)解方程组解方程组由题意得由题意得a+1=0,a+1=0,所以所以a=-1.a=-1.答案：答案：-1-1(3)(3)由由 得得a=0a=0或或a=2.a=2.答案：答案：0 0或或2 2一、两条直线的交点坐标一、两条直线的交点坐标探究：根据方程组探究：根据方程组 的解与两条直线交点的的解与两条直线交点的关系，思考下列问题关系，思考下列问题.(1)(1)思考如何解这个方程组？思考如何解这个方程组？提示：提示：采用消元的方法来解方程组采用消元的方法来解方程组B B2 2-B B

7、1 1得得(A(A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1)x=B)x=B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 1，当当A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 100时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解当当A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0,=0,且且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 10,0,方程组无解方程组无解;当当A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 1=0,=0,且且B B1 1C C2 2-B-B2 2C C1 1=0,=0,方程组有无数多解方程组有无数多解.(2)(2)为什么说求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公为什

8、么说求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解？共解？提示：提示：两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线坐标的点，必是直线l1 1和和l2 2的交点的交点.因此求这两条直线的交点，因此求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解就是求这两个直线方程的公共解.【探究提升探究提升】1.1.对求两条直线交点坐标的两点

9、说明对求两条直线交点坐标的两点说明(1)(1)求解直线的交点坐标时求解直线的交点坐标时,要注意无解和有无数多解的特殊要注意无解和有无数多解的特殊情况情况,它们分别对应直线两种特殊的位置关系它们分别对应直线两种特殊的位置关系.(2)(2)若探讨直线的位置关系若探讨直线的位置关系,最后要把解的情况还原为几何问最后要把解的情况还原为几何问题即直线的位置关系题即直线的位置关系.2.2.方程组的解与两条直线的位置关系的联系方程组的解与两条直线的位置关系的联系（1 1）若已知两条直线的方程）若已知两条直线的方程,可通过解方程组利用方程组解可通过解方程组利用方程组解的个数研究两条直线的位置关系的个数研究两条

10、直线的位置关系.（2 2）若方程组有唯一解）若方程组有唯一解,两直线相交两直线相交;方程组有无穷多解方程组有无穷多解,两两直线重合直线重合;方程组无解方程组无解,两直线平行两直线平行.二、两点二、两点间间的距离公式的距离公式探究探究1 1：在直角坐：在直角坐标标系中系中,已知两点已知两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),结结合合图图形探究下列形探究下列问题问题：(1)(1)过过P P1 1,P,P2 2分分别别向向x x轴轴和和y y轴轴作垂作垂线线,垂足分垂足分别为别为M M1 1(x(x1 1,0),0),M M2 2(x(x2

11、2,0),N,0),N1 1(0,y(0,y1 1),N),N2 2(0,y(0,y2 2),),直直线线P P1 1N N1 1与与P P2 2M M2 2相交于点相交于点Q,|PQ,|P1 1Q|,Q|,|QP|QP2 2|分分别别是多少是多少?提示：提示：因为因为|P|P1 1Q|=|MQ|=|M1 1M M2 2|,|QP|,|QP2 2|=|N|=|N1 1N N2 2|,|,所以所以|P|P1 1Q|=|xQ|=|x2 2-x-x1 1|,|QP|,|QP2 2|=|y|=|y2 2-y-y1 1|.|.(2)(2)如何推导出公式如何推导出公式|P|P1 1P P2 2|=|=的？

12、的？提示：提示：在构造的直角在构造的直角P P1 1QPQP2 2中，利用勾股定理，得到中，利用勾股定理，得到|P|P1 1P P2 2|2 2=|P=|P1 1Q|Q|2 2+|QP+|QP2 2|2 2,由此得到两点间的距离公式由此得到两点间的距离公式|P|P1 1P P2 2|=.|=.探究探究2 2：观观察两点察两点间间的距离公式的距离公式|P|P1 1P P2 2|=|=(其中其中P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),并思考下列并思考下列问题问题：(1)(1)公式中公式中x x1 1与与x x2 2,y,y1 1与与y y2 2

13、的的顺顺序是否可以互序是否可以互换换?提示：提示：因为公式中含有的是因为公式中含有的是(x(x2 2-x-x1 1)2 2与与(y(y2 2-y-y1 1)2 2的和的和,故可以交故可以交换顺序换顺序.(2)(2)式子式子 的几何意的几何意义义是什么是什么?提示：提示：式子式子=表示平面上的点表示平面上的点(x,y)(x,y)到原点的距离到原点的距离.(3)(3)当当P P1 1P P2 2垂直于坐垂直于坐标轴时标轴时,公式的形式是怎公式的形式是怎样样的的?提示：提示：当当P P1 1P P2 2垂直于垂直于y y轴时轴时,|P,|P1 1P P2 2|=|x|=|x1 1-x-x2 2|;|

14、;当当P P1 1P P2 2垂直于垂直于x x轴轴时时,|P,|P1 1P P2 2|=|y|=|y1 1-y-y2 2|.|.【拓展延伸拓展延伸】利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值利用两点间距离公式的几何意义研究函数的值域域对平面上两点间距离公式的直接运用对平面上两点间距离公式的直接运用,要注意公式的形式要注意公式的形式,关关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题,如果直接代入两如果直接代入两点间距离公式点间距离公式,由于有两个根式由于有两个根式,所以求解非常烦琐所以求解非常烦琐,故经常采故经常采用对称方法转化后用对称方法转化后,再由两点间距离求

15、解再由两点间距离求解.例如：求函数例如：求函数 的值域的值域.【解析解析】原式可变形为原式可变形为它表示动点它表示动点P(x,0)P(x,0)到到 的距离之差，的距离之差，如图所示：如图所示：即即y=PA-PBy=PA-PB，由于，由于|PA-PB|AB=1,|PA-PB|AB=1,所以所以|y|1|y|1，即，即-1y1-1y1，所以函数的值域为，所以函数的值域为(-1,1).(-1,1).【探究提升探究提升】对两点间距离公式的两点说明对两点间距离公式的两点说明(1)(1)求两点间的距离时求两点间的距离时,可直接把坐标代入相应公式可直接把坐标代入相应公式,需注意公需注意公式中被开方数是横坐标

16、差的平方与纵坐标差的平方和式中被开方数是横坐标差的平方与纵坐标差的平方和,切不可切不可把横纵坐标混用把横纵坐标混用.(2)(2)两点间的距离公式除求距离外两点间的距离公式除求距离外,还可以求参数的值还可以求参数的值,求解时求解时直接利用题设建立参数的方程直接利用题设建立参数的方程,然后求解得参数值便可然后求解得参数值便可.类型类型 一一 求两条直求两条直线线的交点坐的交点坐标标通通过过解答下列与求两条直解答下列与求两条直线线交点交点问题问题有关的有关的题题目目,试总结试总结求两条直求两条直线线的交点坐的交点坐标问题标问题的策略及注意事的策略及注意事项项.1.(20131.(2013烟台高一烟台

17、高一检测检测)在平面直角坐在平面直角坐标标系系xOyxOy中中,若三条直若三条直线线2x+y-5=0,x-y-1=02x+y-5=0,x-y-1=0和和ax+y-3=0ax+y-3=0相交于一点相交于一点,则实则实数数a a的的值为值为.2.2.已知直已知直线线l1 1：nx-y=n-1,nx-y=n-1,l2 2：ny-x=2n.ny-x=2n.判断两条直判断两条直线线的位置的位置关系关系;如果相交如果相交,求出交点坐求出交点坐标标.【解题指南解题指南】1.1.可先求直线可先求直线2x+y-5=02x+y-5=0与与x-y-1=0 x-y-1=0的交点坐标的交点坐标,然后将该交点坐标代入直线

18、方程然后将该交点坐标代入直线方程ax+y-3=0ax+y-3=0即可求出即可求出a a的值的值.2.2.对方程组进行消元对方程组进行消元,根据情况分类讨论根据情况分类讨论.【解析解析】1.1.解方程组解方程组将将x=2,y=1x=2,y=1代入代入ax+y-3=0ax+y-3=0，得，得2a+1-3=0,2a+1-3=0,解得解得a=1.a=1.答案：答案：1 12.2.解方程组解方程组 消去消去y y得得(n(n2 2-1)x=n-1)x=n2 2+n.+n.当当n=1n=1时时,方程组无解方程组无解,所以两直线无公共点所以两直线无公共点,l1 1l2 2.当当n=-1n=-1时时,方程组有

19、无数解方程组有无数解,所以两直线有无数个公共点所以两直线有无数个公共点,l1 1与与l2 2重合重合.当当n1n1且且n-1n-1时时,方程组有唯一解方程组有唯一解,得到得到 l1 1与与l2 2相交相交.所以当所以当n=1n=1时时,l1 1l2 2;当当n=-1n=-1时时,l1 1与与l2 2重合重合;当当n1n1且且n-1n-1时时,l1 1与与l2 2相交相交,交点是交点是【技法点拨技法点拨】求两直线的交点坐标问题的策略及注意事项求两直线的交点坐标问题的策略及注意事项(1)(1)策略：策略：解方程的重要思想就是消元解方程的重要思想就是消元,先消去一个变量先消去一个变量,代代入任意一个

20、方程能解出另一个变量的值入任意一个方程能解出另一个变量的值.最后把方程解的情况还原为直线的位置关系最后把方程解的情况还原为直线的位置关系.(2)(2)注意事项：解题过程中注意对其中参数进行分类讨论注意事项：解题过程中注意对其中参数进行分类讨论.【变变式式训练训练】已知直已知直线线l1 1：Ax+3y+C=0,Ax+3y+C=0,l2 2：2x-3y+4=0,2x-3y+4=0,若若l1 1,l2 2的交点在的交点在y y轴轴上上,则则C C的的值为值为()A.4 B.-4A.4 B.-4C.4C.4或或-4 D.-4 D.与与A A的取的取值值有关有关【解析解析】选选B.B.由由因为直线因为直

21、线l1 1，l2 2的交点在的交点在y y轴上，所以轴上，所以 即即C=-4.C=-4.类型类型 二二 过过定点的直定点的直线线系方程系方程尝试尝试完成下列完成下列题题目目,试归纳试归纳含有一个参数的直含有一个参数的直线线方程方程过过定定点点问题问题的解法技巧的解法技巧.1.(20131.(2013重重庆庆高一高一检测检测)对对任意任意实实数数m,m,直直线线(m-1)x+2my+6=0(m-1)x+2my+6=0必必经过经过的定点是的定点是()A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,-3)D.A.(1,0)B.(0,-3)C.(6,-3)D.2.2.设设直直线线l1 1：x-3y+4=0 x

22、-3y+4=0和和l2 2：2x+y+5=02x+y+5=0的交点的交点为为P,P,则过则过点点P P和原和原点的直点的直线线方程方程为为()A.19x-9y=0 B.9x+19y=0A.19x-9y=0 B.9x+19y=0C.19x-3y=0 D.3x+19y=0C.19x-3y=0 D.3x+19y=03.3.若若p,qp,q满满足足p-2q=1,p-2q=1,直直线线px+3y+q=0px+3y+q=0必必过过一个定点一个定点,该该定点坐定点坐标为标为.【解题指南解题指南】1.1.整理为整理为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+

23、C2 2)=0)=0的形式的形式,解方程组得定点坐标解方程组得定点坐标.2.2.利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可利用交点坐标或者用过定点的直线系方程求解即可.3.3.化成关于一个参数的方程化成关于一个参数的方程,再求定点再求定点.【解析解析】1.1.选选C.C.直线方程直线方程(m-1)x+2my+6=0(m-1)x+2my+6=0可化为：可化为：-x+6+m(2y+x)=0.-x+6+m(2y+x)=0.因此，该直线恒过直线因此，该直线恒过直线-x+6=0-x+6=0与与x+2y=0 x+2y=0的交的交点点.由由 故选故选C.C.2.2.选选D.D.方法一：求交点方法一：求交点

24、 又又O(0,0),O(0,0),写出方程为写出方程为3x+19y=0.3x+19y=0.方法二：过两直线方法二：过两直线l1 1：x-3y+4=0 x-3y+4=0及及l2 2：2x+y+5=02x+y+5=0的交点的直线的交点的直线系方程可以写为系方程可以写为x-3y+4+(2x+y+5)=0(x-3y+4+(2x+y+5)=0(不包括直线不包括直线l2 2)，把，把O(0,0)O(0,0)代入过代入过P P点的直线系方程点的直线系方程x-3y+4+(2x+y+5)=0,x-3y+4+(2x+y+5)=0,得得 故所求直线方程为：故所求直线方程为：x-3y+4-(2x+y+5)=0,x-3

25、y+4-(2x+y+5)=0,即即3x+19y=0.3x+19y=0.3.3.因为因为p=2q+1p=2q+1代入整理：代入整理：(2x+1)q+3y+x=0(2x+1)q+3y+x=0对对q q为一切实数恒成为一切实数恒成立立,即即2x+1=0,2x+1=0,且且3y+x=03y+x=0，所以，所以x=x=答案：答案：【互动探究互动探究】本题本题2 2条件不变，求过点条件不变，求过点P P和点和点(1,1)(1,1)的直线方的直线方程，结果如何？程，结果如何？【解析解析】设过设过P P点的直线方程为点的直线方程为x-3y+4+(2x+y+5)=0 x-3y+4+(2x+y+5)=0，把，把点

26、点(1,1)(1,1)代入，解得代入，解得 ，故所求方程为：，故所求方程为：即即2x-13y+11=0.2x-13y+11=0.【技法点拨技法点拨】含有一个参数的直线方程过定点问题的三种解含有一个参数的直线方程过定点问题的三种解法法(1)(1)若含有一个参数的二元一次方程能整理为若含有一个参数的二元一次方程能整理为A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0,)=0,其中其中是参数是参数,则说明了它表示的直线必过则说明了它表示的直线必过定点定点,其定点可由方程组其定点可由方程组 解得解得.(2)(2)若整理成若整理成y-yy-y0

27、0=k(x-x=k(x-x0 0)的形式的形式,则表示的所有直线必过定则表示的所有直线必过定点点(x(x0 0,y,y0 0).).(3)(3)因方程对参数的任意取值因方程对参数的任意取值,所得直线都过定点所得直线都过定点,所以可取参所以可取参数的两个特殊值数的两个特殊值,解方程组可得定点坐标解方程组可得定点坐标.【拓展延伸拓展延伸】常见的直线系常见的直线系(1)(1)与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直线系方程为：平行的直线系方程为：Ax+By+m=0(Ax+By+m=0(其其中中mC,mmC,m为待定系数为待定系数).).(2)(2)与直线与直线L L：Ax+B

28、y+C=0Ax+By+C=0垂直的直线系方程为：垂直的直线系方程为：Bx-Ay+m=0(mBx-Ay+m=0(m为待定系数为待定系数).).(3)(3)过定点过定点P(xP(x0 0,y,y0 0)的直线系方程为：的直线系方程为：A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0)=0.)=0.(4)(4)若直线若直线l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交于相交于M(xM(x0 0,y,y0 0),),则方程则方程A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2

29、 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(R)=0(R)表示过表示过l1 1与与l2 2交点的直线系方程交点的直线系方程(但不包括直线但不包括直线l2 2),),其中其中为待定系数为待定系数.类型类型 三三 两点两点间间的距离公式的距离公式试试着解答下列与两点着解答下列与两点间间距离有关的距离有关的题题目目,并并总结总结两点两点间间距距离的求法离的求法.1.1.已知已知A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则则b b的的值为值为()A.-3 B.3 C.-3A.-3 B.3 C.-3或或5 D.-15 D.-1或或-3-32.2.若等腰三

30、角形若等腰三角形ABCABC的的顶顶点点A A是是(3,0),(3,0),底底边边BCBC的的长为长为4,BC4,BC边边的的中点中点为为D(5,4),D(5,4),求等腰求等腰ABCABC的腰的腰长长.【解题指南解题指南】1.1.直接利用两点间距离公式即可求出直接利用两点间距离公式即可求出b b的值的值.2.2.先用两点间距离公式求等腰三角形的高先用两点间距离公式求等腰三角形的高ADAD，然后借助勾股，然后借助勾股定理求腰长定理求腰长.【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为|AB|=|AB|=所以所以9+(b-1)9+(b-1)2 2=25,=25,所以所以b=5b=5或或b=-3.b=-

31、3.2.2.因为因为|AD|AD|在在RtABDRtABD中，由勾股定理得中，由勾股定理得|AB|=|AB|=所以等腰所以等腰ABCABC的腰长为的腰长为 .【技法点拨技法点拨】1.1.两点间距离的求法两点间距离的求法(1)(1)当直线和坐标轴垂直时当直线和坐标轴垂直时,可以用两点间距离公式的特殊形可以用两点间距离公式的特殊形式式,如如A(x,yA(x,y1 1),B(x,y),B(x,y2 2),),则则|AB|=|y|AB|=|y1 1-y-y2 2|.|.(2)(2)两点间距离公式对任意两点都成立两点间距离公式对任意两点都成立,解题过程中注意恰当解题过程中注意恰当设点设点,确定两点坐标即

32、可代入公式求距离确定两点坐标即可代入公式求距离.2.2.利用两点间距离求参数的方法利用两点间距离求参数的方法已知距离求参数是最常见的距离公式的应用已知距离求参数是最常见的距离公式的应用,一般是通过距离一般是通过距离公式列出方程公式列出方程,解方程求参数解方程求参数.【变式训练变式训练】已知已知A(2,2),B(5,-2)A(2,2),B(5,-2)，点，点P P在在x x轴上且轴上且|PA|=|PB|PA|=|PB|，试求试求|AB|+|PA|AB|+|PA|的值的值.【解析解析】设设P(x,0)P(x,0)，依题意有，依题意有故故x=,x=,所以所以P(P(，0).0).所以所以|AB|+|

33、PA|=|AB|+|PA|=【拓展类型拓展类型】两点两点间间距离公式在几何距离公式在几何证证明中的明中的应应用用尝试尝试解答下列与两点解答下列与两点间间距离公式距离公式证证明几何明几何问题问题有关的有关的题题目目,总结总结用解析法用解析法证证明几何明几何问题问题的三个步的三个步骤骤.1.ABD1.ABD和和BCEBCE是在直是在直线线ACAC同同侧侧的两个等的两个等边边三角形三角形,用解析法用解析法证证明：明：AE=CD.AE=CD.2.2.证证明平行四明平行四边边形四条形四条边边的平方和等于两条的平方和等于两条对对角角线线的平方和的平方和.【解题指南解题指南】建立适当的平面直角坐标系建立适当

34、的平面直角坐标系,写出各个点的坐标写出各个点的坐标,再利用两点间的距离公式求解即可再利用两点间的距离公式求解即可.【解析解析】1.1.如图所示，以如图所示，以B B为坐标原点，取为坐标原点，取ACAC所在的直线为所在的直线为x x轴轴,以垂直于以垂直于ACAC且经过且经过B B点的直线为点的直线为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系.设设ABDABD和和BCEBCE的边长分别为的边长分别为a a和和c c，则则则则所以所以AE=CD.AE=CD.2.2.已知：四边形已知：四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.求证：求证：ABAB2 2+BC+BC2 2+CD+CD2 2

35、+AD+AD2 2=AC=AC2 2+BD+BD2 2.证明：如图证明：如图,以顶点以顶点A A为坐标原点为坐标原点,AB,AB边所在的直线为边所在的直线为x x轴轴,垂直垂直于于ABAB且过且过A A点的直线为点的直线为y y轴轴,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,有有A(0,0).A(0,0).令令B(a,0),D(b,c),B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点由平行四边形的性质得点C C的坐标为的坐标为(a+b,c).(a+b,c).因为因为ABAB2 2=a=a2 2,CD,CD2 2=a=a2 2,AD,AD2 2=b=b2 2+c+c2 2,BC,BC2 2=b=

36、b2 2+c+c2 2,ACAC2 2=(a+b)=(a+b)2 2+c+c2 2,BD,BD2 2=(b-a)=(b-a)2 2+c+c2 2,所以所以ABAB2 2+CD+CD2 2+AD+AD2 2+BC+BC2 2=2(a=2(a2 2+b+b2 2+c+c2 2),),ACAC2 2+BD+BD2 2=2(a=2(a2 2+b+b2 2+c+c2 2).).所以所以ABAB2 2+CD+CD2 2+AD+AD2 2+BC+BC2 2=AC=AC2 2+BD+BD2 2.因此因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.【技法点拨技

37、法点拨】用解析法解决几何问题的三个步骤用解析法解决几何问题的三个步骤1.1.已知已知A(2A(2，-1),B(3,-1)-1),B(3,-1)，则，则|AB|=()|AB|=()A.1 B.2 C.3 D.A.1 B.2 C.3 D.【解析解析】选选A.|AB|=|3-2|=1.A.|AB|=|3-2|=1.2.2.直线直线3x+5y-1=03x+5y-1=0与与4x+3y-5=04x+3y-5=0的交点坐标是的交点坐标是()()A.(-2A.(-2，1)B.(-31)B.(-3，2)C.(22)C.(2，-1)D.(3,-2)-1)D.(3,-2)【解析解析】选选C.C.解方程组解方程组故两

38、直线的交点为故两直线的交点为(2,-1).(2,-1).3.3.直线直线2x+(3y+2)=02x+(3y+2)=0过定点过定点_._.【解析解析】由由所以该直线过定点所以该直线过定点(0(0，-).-).答案：答案：(0(0，-)-)4.4.已知点已知点A(3,6),A(3,6),在在x x轴上的点轴上的点P P与点与点A A的距离等于的距离等于1010，则点，则点P P的的坐标为坐标为_._.【解析解析】设设P(x,0),P(x,0),因为因为|PA|=|PA|=所以所以(x-3)(x-3)2 2+36=100+36=100，所以所以x=11x=11或或-5.-5.所以所以P(11,0)P

39、(11,0)或或P(-5P(-5，0).0).答案：答案：(11(11，0)0)或或(-5(-5，0)0)5.5.已知定点已知定点A(0A(0，1)1)，点，点B B在直线在直线x+y=0 x+y=0上运动，当线段上运动，当线段ABAB最短最短时，点时，点B B的坐标是的坐标是_._.【解析解析】定点定点A(0A(0，1)1)，点，点B B在直线在直线x+y=0 x+y=0上运动，当线段上运动，当线段ABAB最最短时，就是直线短时，就是直线ABAB和直线和直线x+y=0 x+y=0垂直时，此时垂直时，此时ABAB的方程为：的方程为：y-1=xy-1=x，它与，它与x+y=0 x+y=0联立解得联立解得 所以点所以点B B的坐标是的坐标是答案：答案：6.6.设三条直线设三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点，求交于一点，求k k的值的值.【解析解析】由由 即前两条直线的交点为即前两条直线的交点为 且在第三条直线上，所以且在第三条直线上，所以解得解得k=1k=1或或