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1、板壳理论板壳理论2011年年板壳理论郑州大学主讲：王志第十六章第十六章 薄板的稳定问题薄板的稳定问题 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学第十六章第十六章 薄板的稳定问题薄板的稳定问题 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学第十六章第十六章 薄板的稳定问题薄板的稳定问题 横向荷载纵向荷载薄板所受的荷载分为纵向，横向两个方向任意方向荷载的也可以分解为横向和纵向荷载板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用横向荷载纵向荷载薄板小挠度问题，假设薄板只受到横向荷载作用当薄板在边界上受有纵向载荷时，假定其只发生平行于中面的应力，且这些应力不沿薄板厚度变化，这是薄板在纵向载

2、荷作用下的平面应力问题。薄板每单位宽度上的平面应力将合成中面内力或薄膜内力 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用当薄板同时受横向载荷和纵向载荷时，如果纵向载荷很小，因而中面内力也很小，它对薄板弯曲的影响可不计，我们就可以分别计算两向载荷引起的应力，然后叠加。如果中面内力比较大，就必须考虑中面内力对弯曲的影响。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学qxyoz板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用取薄板任意微分块，根据平衡条件，对通过微分块中心而平行于z轴的直线为矩轴取矩，写出力矩的平衡方程，略去微量以后，将得

3、到：板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学将所有各力投影到x轴和y轴上，得到16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用将所有各力投影到z轴上，得到外力：横向剪力：板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用xzdx在横向荷载作用下，板在z方向发生了挠度，因此拉力与顺剪力在Z轴上投影不为零，前图中左右边的拉应力：板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载

4、共同作用yzdy同样，前后边的拉应力有：板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用在横向荷载作用下，板在z方向发生了挠度，因此顺剪力在Z轴上投影不为零，前图中左右边的顺剪力：板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用将z方向的各个投影力叠加再除以dxdy，并令其和为零：形式一板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用形式二板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学0016.1薄板受纵横荷载共同作用

5、薄板受纵横荷载共同作用板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲临界状态研究压杆稳定，设压力与杆件轴线重合，当压力小于某一极限值时(b)当压力逐渐增加到某一极限值时(c)Fcr临界压力板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲圆柱形薄壳，则当外压到达临界值时，薄壳的圆形平衡就变为不稳定，会突然变成由虚线表示的长圆形。板条或工字梁在最大抗弯刚度平面内弯曲时，会因载荷达到临界值而发生侧向弯曲。薄壳在轴向压力或扭矩作用下，会出现局部折皱。这些都是稳定性问题。板壳理论板壳理论郑州大学

6、郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲纵向荷载为拉力，平衡受干扰弯曲干扰去除恢复平衡板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲纵向荷载为压力，平衡受干扰弯曲干扰去除，新位置平衡再受干扰干扰去除，恢复弯曲平衡板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲板在边界上受纵向载荷，若中面内力在各个部位都不是压力（是拉力或等于零），则薄板的的平面平衡状态是稳定的；板在边界上受纵向载荷，中面内力在某些部位和方向是压力，则当纵向载荷超过某一数值（即所谓临界载荷）时，薄板的平面平衡状态将不稳定，受到干扰后将达到新的平衡；(1)稳定平衡和不稳定平衡,临界平衡(2)屈曲：薄板在纵向载

7、荷下处于弯曲的平衡状态板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲稳定平衡稳定平衡物体处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体又能恢复原来的平衡状态，则物体在原来的平衡状态称为稳定平衡状态。不稳定平衡不稳定平衡物体处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体不能恢复原来的平衡状态，并且进一步离开，直至破坏，则物体在原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。临界平衡临界平衡物体处于平衡状态，如有微小干扰，物体离开平衡位置，但除去干扰后，物体不能恢复原来的平衡状态，而在新的微弯曲线位置保持平衡，则物体在原来的平衡状态称为临界平衡状态。板壳理论板壳

8、理论郑州大学郑州大学16.2薄板的压曲薄板的压曲压曲方程压曲方程假定纵向载荷的分布规律（即各个载荷之间的比值）是指定的，（大小未知）。可求的 从而求得中面内力 用上述未知大小的纵向载荷来表示。当发生屈曲时，纵向载荷P的最小值即为临界载荷。压曲问题横向载荷 所以薄板的压曲微分方程为 与纵向载荷P有关。齐次微分方程非零解板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲问题描述问题描述设有四边简支矩形薄板，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Fx abxyOFFxx板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均

9、布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲易知，平面应力为 于是得到中面内力代入压曲方程为0求解板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲设挠度为设挠度为纳维解的形式纳维解的形式考察边界，纳维解时已验证全部满足板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲分析分析很小平面平衡状态增大到某一值等式恒成立，可能压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲其中m和n分别表示薄板压曲后沿x

10、和y方向的正弦半波数。由此可见，纵向载荷Fx的临界值一定满足如下的压曲条件：板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲满足条件的Fx很多，如何找到其中最小的，即临界荷载？n处于分子，n越大，Fx越大，所以n取1物理意义：x方向受压，y方向只有一个正弦半波y方向w板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲抛物线抛物线板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学

11、16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲注：注：1)每根曲线起决定作用的为实线部分2)对于一定的a/b值，这部分曲线所给出的k值小于其它曲线所给出的k值邻近两曲线交点极易求得，例如m=1,m=2板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲设矩形薄板在双向受有均布压力，在板边的每单位宽度上分别为Fx及 abxyOFFxxFyFx=a aFyFx=a a例例1FyFx=a a板壳理

12、论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲解：中面内力为板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲得对于任何的a/b及a=Fy/Fx，都可取m及n不同整数，求出不同的Fx值，Fy为拉力时，a取负值，公式仍然适用。最小的Fx值即为临界荷载(Fx)c.板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学前三节总结前三节总结16.1薄板受纵横荷载共同作用薄板受纵横荷载共同作用板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学前三节总结16.2薄板的压曲薄板的压曲薄板在纵向载荷下处于弯曲的平衡状态所以薄板的

13、压曲微分方程为 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学前三节总结16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲abxyOFFxx板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学前三节总结16.3四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲abxyOFFxxFyFx=a aFyFx=a a板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲OabxyFFxx问题描述问题描述矩形薄板有两对边为简支边，另两边为任意边，在简支边上受均布压力，取挠度的表达式为板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两

14、对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲回顾莱维解法，w代入微分方程：q也展开为相同形式：该方程有解的形式：方程特征根板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲常系数常微分方程 特征方程为特征方程的四个根板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲在绝大多数情况下讨论在极少数情况下板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲四个根必然是两实两虚，

15、可写为 令该四个根为 1板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学216.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲令四个根必然是全是实数该四个根为 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲OabxyFFxxy=0，y=b处有四个边界条件，代入可得到C1-C4的联立

16、齐次线性方程组C1-C4全为0，wm=0，没有压曲C1-C4不全为0，C1-C4系数行列式为0，得到Fx的超越方程板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲m=1,2,3,4,Fx1,Fx2,(Fx)c=min(Fx1,Fx2,)形式其中的k为无因次的系数，它主要依赖于a/b。当薄板具有自由边时，k还与m有关。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲超越方程：超越方程：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角

17、方程、反三角方程等。具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程。例如：2x=x+1,sin x+x=0。超越方程是没有一般解法的，只有特殊的超越方程才可以求出准确解来。常用的近似解法有牛顿切线法牛顿切线法、幂级数解法幂级数解法等等，也可以编制一段程序用计算机求解（matlab，fortrran），或者利用现成的软件求解例如大多数电脑都安装的EXCEL也可以用来求解超越方程。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲牛顿切线法板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两

18、对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲例例1OabxyFFxxy=0的一边简支，y=b的一边自由，求m=1，m=1/4的解根据前面推导板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲边界边界在y=0边 在y=b边 自由边 简支边 将w代入边界条件板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学在y=0边 在y=b边 16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学

19、16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲此方程为超越方程，需要数值求解最后得到a/b0.51.01.21.41.61.82.02.53.0k4.401.441.140.950.840.760.700.610.56对应于m=1，m=1/4时，k的数值解为 a/bk板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学例例216.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲OabxyFFxx y=0的一边夹支，y=b的一边自由，当a/b较小时，临界载荷相应于m=1，当a/b较大时，临界载荷相应于m1，取m=1/4ka/b板壳理论板壳理论郑州大

20、学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲例例3OabxyFFxx y=0,y=b两边均夹支，临界载荷与m无关a/b0.4.0.450.500.600.700.800.901.00k9.448.437.697.057.007.297.837.69 k较大，说明难以压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.3两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲两对边简支的矩形薄板在均布压力下的压曲用上述方法很繁，工程实践中，计算矩形薄板的临界载荷值时，都宜采用差分法或能量法。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲A点B点应力的坐

21、标变换推导 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲代入压曲微分方程板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲例1圆形薄板受均布压力 按照平面应力问题进行分析，可得应力分量为 从而中面内力为 压曲方程 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲取 求解 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲先考察挠度的形式与n的取值的关系n=0w只与半径有关，轴对称n=1w在r为常数的环线上出现一个波形n=2w在r为常数的环线上出现二

22、个波形板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲接着关心压曲方程的求解引入无因次变量x=ar，压曲方程改写为贝赛尔微分方程板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲贝赛尔微分方程的解答是：其中Jn(x)和Nn(x)分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数。另一解形式代回板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲上式都满足 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲对于无孔圆板，在板的中心(x=ar=0),w不能等于零，而Nn(x)和x(-n)在x=0时将趋于无限大，所以必须取C2=C4

23、=0，于是有利用板的两个边界条件，可得出C1及C3的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式等于零，就得到计算临界载荷的方程。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4圆形薄板的压曲圆形薄板的压曲对于中心有圆孔的圆形薄板，并在板边和孔边受到不同大小的均布压力是，也可以先由拉密解答求出中面内力，然后应用压曲微分方程，利用贝塞尔函数求解，从而求得临界载荷。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学十六章十六章 作业作业16-1；16-2板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4用差分法求临界荷载用差分法求临界荷载y0132967105481211x按照压曲微分方程，在任一典型节点0，如上图所示，有 利用差分

24、公式，可得上列方程的差分形式板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4用差分法求临界荷载用差分法求临界荷载在应用边界条件以后，这些方程中的未知w值的数目将和方程的数目相同。注意这些方程中并没有自由项，可见它们是一组齐次线性方程。为了这一组方程具有非零解(相应于某种压曲状态)，方程组的系数行列式必须等于0。因为系数中的(FTx)0、(FTy)0、(FTxy)0全都是用纵向载荷表示的，所以，命系数行列式等于零，就得出一个代数方程，可以用来求得相应于某种压曲状态的纵向荷载。将各种压曲状态下的纵向荷载加以比较，就得出薄板的临界载荷板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4用差分法求临界荷载用差分法求临界荷

25、载例1四边简支矩形薄板，在两个对边上受按三角形分布的压力，用43的网格求解FFh hhhhhhaabbcc由平面应力问题的解答，极易得出各接点处的中面内力为:板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4用差分法求临界荷载用差分法求临界荷载写出节点a、b、c压曲微分方程的差分形式，并应用边界条件，得FFh hhhhhhaabbcc节点a节点b节点c化解后可得板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4用差分法求临界荷载用差分法求临界荷载该方程有解，其系数行列式为零此类方程可以由Excel求解板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.4用差分法求临界荷载用差分法求临界荷载解得这个方程的最小正实根为 该问题的精

26、确解为 误差约为8%板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载当薄板在一定分布方式的纵向荷载作用下处于平面平衡状态时，是否稳定，如何辨别？方法：薄板受有横向干扰力而进入邻近的某一弯曲状态，在干扰力除去以后，它是否恢复原来的平面状态。该状态如何辨别？板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载当薄板从该平面状态进入该弯曲状态时 如果势能增加，就表示该平面状面状态下的势能为极小，对应于稳定平衡；如果势能减少，就表示该平面状态下的势能为极大，对应于不稳定平衡；如果势能保持不变，该平面状态下的平衡是稳定平衡的极限，而相应于这一极限状态下

27、的纵向载荷就是临界载荷。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载势能之所以不变，是因为载荷的减少等于形变势能的增加，而载荷势能的减少又等于载荷所做的功，故临界载荷可以这样求得：薄板从平面状态进入邻近的弯曲状态，纵向载荷所做的功W等于形变势能 的增加，即或形变势能，前边已经有结果纵向荷载的功？板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载纵向载荷所做的功的计算 FTx FTx FTy FTy FTxy FTxy FTyx FTyx 左右两边的内力FTxdy原来相距dx，在薄板弯曲后，这个距离变为 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学1

28、6.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载缩短了 ，于是可见内力FTxdy所做的功为 同理，内力FTydx所做的功为对于平错力FTxy=FTyx所做的功,需求出45的拉伸收缩板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载FTxy FTxy FTyx FTyx FTyx1 /FTyx2 /FTyx1 /FTyx2 /ds1 ds2板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载将以上三部分叠加，便得出了该微分块上全部中面内力所做的功 纵向载荷在压曲过程中所做的功为

29、dW在面积内求积分板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载纵向载荷做的功、形变势能或板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载计算步骤先求出用纵向载荷表示中面内力的表达式Fx设定满足位移边界条件的挠度表达式w计算形变势能写出外荷载做功W公式令W=Ve,得到压曲的条件，进而求出临界荷载板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载为了使得设定的挠度较好地符合临界载荷下的挠度，从而求得较精确的界载荷，可设定挠度的表达式为 其中wm是满足位移边界条件的函数，Cm是互不依赖的待定系数，选择Cm时，可以应

30、用最小势能原理。以薄板在平面状态下的形变势能即载荷势能均为零，则薄板在压曲状态下的形变势能为Ve，载荷势能为-W，而总势能为Ve-W，于是由最小势能原理得到这将给出Cm的m个齐次线性方程，由其系数行列式必须等于零，便可得到临界载荷的方程。板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载对于加劲矩形板 abc情形1，横向加肋，r-1根肋条考虑肋条的弯曲应变能整个板结构的应变势能由平板与加强筋两部分应变能所组成板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载根据铁木辛柯法原理，则有设满足边界条件的屈曲挠度函数为利用上述原理可得 板壳理论板壳理

31、论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载引入无因次量仅取一项，可得到与不加肋条相比，多了一项，即临界荷载增加了板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载情形2，纵向加肋，r-1根肋条abc加肋肋条的弯曲应变能为 作用在第i根肋条上压力所做的功为板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学16.5用能量法求临界荷载用能量法求临界荷载其中 Ai为第i根筋的截面积。则有 若Ai=A，令 ，则有 取一阶近似得当n=1时，k取最小值，则板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 abxyOFFxx例例1设有四边简支矩形

32、薄板，它的两对边受有均布压力，在板边的每单位长度上为Fx 易知，平面应力为 于是得到中面内力板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 仍然取压曲以后的挠度表达式为 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 命这一方程的系数行列式等于零，即得 由板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 四边简支矩形薄板，在两个对边的中点处受有大小相等而方向相反的两个集中力F。首先，在挠度表达式中只取一项：a/2bxyOFFxa/2a/2a/2b例例2板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学

33、168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 由板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 命上面的方程系数等于零，即得c若挠度表达式中取两项板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 简化板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 命上列方程组的系数行列式等于零，得到板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 从而得到解答c讨论，当a/b=1时，挠度函数分别取一项，两项，三项时？一项 两项 三项 板壳理论板壳理论郑州大

34、学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 例例3OabxyFFxx设有三边简支、一边自由的矩形薄板，在两简支对边上受均布载荷Fx，试用能量法求临界载荷。取压曲后的挠度方程为w的一阶和二阶导数为为板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 当时 ，有 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 例例4a/3a/3a/3a/

35、3a/3a/3bbFFFF板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 圆形薄板，边界夹支，沿边界受均布压力Fr，求临界载荷 例例5板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学168 用能量法求临界载荷举例用能量法求临界载荷举例 板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学第十六章总结第十六章总结板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学计算中计算中面内力面内力设置挠设置挠度函数度函数压曲方程压曲方程非零解非零解求荷载最求荷载最小值小值1234板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学划分网格划分网格节点编号节点

36、编号建立节点建立节点差分方程差分方程差分方程差分方程行列式为行列式为零零求荷载最求荷载最小值小值1234板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学设置挠设置挠度函数度函数计算外力计算外力功、应变功、应变能能运用最小运用最小势能原理势能原理或伽辽金或伽辽金法法,系数行系数行列式为列式为0求荷载最求荷载最小值小值1234板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学对边简支，两边自由，对边承压三边简支，一边自由，对边承压四边简支，对边承压对边简支，两边夹支，对边承压四边夹支，对边承压板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学1 1若材料一定，尺寸一定，增加约束若材料一定，尺寸一定，增加约束2 2若材料一定，约束一定，减少若材料一定，约束一定，减少a/b的的值值3 3若尺寸，约束一定，选择高弹性模若尺寸，约束一定，选择高弹性模量材料量材料板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学4 4相同比重，选抗弯刚度相同比重，选抗弯刚度D大的材料，大的材料，如铝合金如铝合金=9*钢临界荷载钢临界荷载5 5沿纵向荷载方向增加支承梁沿纵向荷载方向增加支承梁6 6板壳理论板壳理论郑州大学郑州大学