大学物理 角动量 角动量守恒.ppt

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1、3.5 质心质心 质心运动定理质心运动定理 质心质心-质点系的质量中心。质点系的质量中心。两个质点的质心两个质点的质心 c 的位置的位置,定义如下定义如下:它是物体位置它是物体位置 以质量为以质量为权重权重的的 平均值。平均值。一一.质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定对多个质点的质点系对多个质点的质点系,若物体的质量连续分布若物体的质量连续分布,则则均匀直棍、圆盘、球体等均匀直棍、圆盘、球体等,质心在它们的几何中心上。质心在它们的几何中心上。物体的质心一定在物体上吗？物体的质心一定在物体上吗？质心与重心是不同的概念质心与重心是不同的概念,它们它们 一定在同一点上吗一定在同一点

2、上吗?质心的速度质心的速度（对对t 求导）求导）质点系的总动量质点系的总动量 质点系的总动量的变化率质点系的总动量的变化率二二.质心运动定理质心运动定理有有即即“一个质点系的质心的运动，就如同这样一个一个质点系的质心的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系所受的外力之和所受的外力之和”-质心运动定理质心运动定理它说明质心的运动服从牛它说明质心的运动服从牛。它也说明系统内力不会影响质心的运动。它也说明系统内力不会影响质心的运动。扔出的一把搬子扔出的

3、一把搬子（或一团乱麻）（或一团乱麻）运动员运动员（或爆炸的焰火）（或爆炸的焰火）求：船相对岸移动的距离求：船相对岸移动的距离 d=？（？（设船与水之间的设船与水之间的 摩擦可以忽略）摩擦可以忽略）mMdcc【解】【解】方法一：方法一：质心法。质心法。系统：人与船系统：人与船水平方向：不受外力水平方向：不受外力所以所以质心始终静止。质心始终静止。例例5 质量质量M=200千克、长千克、长 l=4米米 的木船的木船 浮在浮在 静止静止 的水面上，一质量为的水面上，一质量为m=50千克千克 的人站在船尾。的人站在船尾。今人以今人以时快时慢的时快时慢的不规则速率从船尾走到船头，不规则速率从船尾走到船头

4、，得得ccx2x1x2x1mMdxy方法二：方法二：动量守恒法。动量守恒法。x方向：方向：（负号表示什么？）（负号表示什么？）位移位移（相同）（相同）mMdx设设 ，如图，如图，从船尾走到船头从船尾走到船头需时需时T,三三.质心（参考）系质心（参考）系 1.质心系质心系质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心质心系是固结在质心上的平动参考系，或质心在其中静止的平动参考系。在其中静止的平动参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：即在质心系中考察质点系的运动。即在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天

5、体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 2.质心系的基本特征质心系的基本特征所以，质心参考系是所以，质心参考系是 零动量参考系。零动量参考系。例例.两质点系统，两质点系统，在其质心参考系中，在其质心参考系中，总是具有等值、总是具有等值、反向的动量。反向的动量。因因质点系的总动量为质点系的总动量为对质心参考系来说对质心参考系来说质心系中看质心系中看两粒子碰撞两粒子碰撞 第 5 章 角动量 角动量守恒 5.1 质点的角动量质点的角动量 角动量定理角动量定理一一.质点（对固定点）质点（对固定点）的角动量的

6、角动量物理学非常注意守恒量的研究。物理学非常注意守恒量的研究。在天体运动中在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时转动时,行星始终在同一个平面内运动的现象。行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：银河系中的例如：银河系中的每个恒星都有自己每个恒星都有自己的转动平面。的转动平面。银河系银河系在这些问题中，存在在这些问题中，存在着质点的角动量守恒着质点的角动量守恒的规律。的规律。单位：单位：kg m2/s 或或 J s 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，角动量的

7、大小为角动量的大小为 L=mvR角动量的方向不变。角动量的方向不变。质点对某一固定点的角动量（动量矩）质点对某一固定点的角动量（动量矩）定义：定义：mO pr R mO二二.角动量定理角动量定理（-合力）合力）这里这里 先说一说它：先说一说它：方向：方向：右手法则右手法则大小：大小：图中图中 r0称为力臂。称为力臂。质点对固定点角动量的时间质点对固定点角动量的时间 变化率等于合力对该点的力矩。变化率等于合力对该点的力矩。称为力矩（对固定点）称为力矩（对固定点）-质点角动量定理质点角动量定理 的微分形式的微分形式（对固定点）（对固定点）或或对对 t1t2 时间过程时间过程,有有上式右边为质点角动

8、量的增量上式右边为质点角动量的增量左边称为左边称为冲量矩冲量矩（请对比质点动量定理）。（请对比质点动量定理）。即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩所受的合力的冲量矩”。-质点角动量定理质点角动量定理 的积分形式（对固定点）的积分形式（对固定点）三、角动量守恒定律及其应用三、角动量守恒定律及其应用 当合外力矩当合外力矩=常矢量常矢量-质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律（如行星受的万有引力）（如行星受的万有引力）点：点：有心力有心力过固定过固定或或例例.证明开普勒第二定律证明开普勒第二定律:【解解】因为是有心力场，因为是有心力场，所以所以

9、力矩力矩 M=0,行星对太阳的矢径在行星对太阳的矢径在 相等的时间内相等的时间内 扫过扫过 相等的面积。相等的面积。角动量守恒：角动量守恒：始终在同一平面内。始终在同一平面内。若经若经 时间，时间，扫面速度：扫面速度：所以地球人造卫星所以地球人造卫星在近地点速度大，在近地点速度大，在远地点速度小。在远地点速度小。1970年年，我国发射，我国发射了第一颗地球人造了第一颗地球人造卫星。卫星。近地点高度为近地点高度为 266 km,速度为速度为 8.13 km/s;远地点高度为远地点高度为 1826 km,速度为速度为 6.56 km/s;计算出椭圆的面积计算出椭圆的面积,根据根据“扫面速度扫面速度

10、”,就可以得到绕行周期为就可以得到绕行周期为 106分钟。（课下算一下）分钟。（课下算一下）动量不守恒动量不守恒 是很明显的。是很明显的。角动量不守恒角动量不守恒对对 o点：点：角动量守恒角动量守恒动量守恒不守恒？动量守恒不守恒？角动量守恒不守恒？角动量守恒不守恒？机械能守恒不守恒？机械能守恒不守恒？讨论锥摆的守恒量讨论锥摆的守恒量从守恒条件看：从守恒条件看：Tmg对对点：点：第第13题题.设地球可看作半径设地球可看作半径 R=6400km 的球体。的球体。一颗人造地球卫星在地面上空一颗人造地球卫星在地面上空 h=800 km 的的 圆形轨道上以圆形轨道上以 v1=7.5 km/s 的速度绕地

11、球的速度绕地球 运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭运动。今在卫星外侧，点燃一个小火箭,给给 卫星附加一个指向地心的分速度卫星附加一个指向地心的分速度 v2=0.2 km/s.求：此后卫星的椭圆轨道求：此后卫星的椭圆轨道 的近地点和远地点离的近地点和远地点离 地面多少公里？地面多少公里？R地地o使卫星转为椭圆轨道。使卫星转为椭圆轨道。所以角动量守恒所以角动量守恒。设火箭点燃时，设火箭点燃时，卫星卫星 m 对地心的对地心的 位矢为位矢为 ,在近地点时在近地点时，位矢为，位矢为 ，速度为，速度为 ，则有，则有速度为速度为【解】【解】对对“卫星卫星+地球地球”MmR地地0对对“卫星卫星+地球地球”因为

12、作椭圆运动时，只有万有引力作功，因为作椭圆运动时，只有万有引力作功，机械能守恒，有机械能守恒，有为零为零（动量矩）（动量矩）（动量矩）（动量矩）MmR地地0为了免去为了免去G、M 的计算，通常利用卫星作圆周运动的计算，通常利用卫星作圆周运动时的向心力（即万有引力）来时的向心力（即万有引力）来化简上式：化简上式：代入机械能守恒式：代入机械能守恒式：得得解（解（1）（）（2）联立）联立 -将（将（1）式的）式的 v 代入（代入（2），），近地点高度近地点高度远地点高度远地点高度同理同理可得可得例例.如如图图所所示示，光光滑滑水水平平面面中中央央有有一一小小孔孔，轻轻的的细细绳穿过小孔。水平桌面上部

13、分一端拴一质量绳穿过小孔。水平桌面上部分一端拴一质量 的的质质点点，在在桌桌面面上上沿沿着着半半径径为为 的的圆圆周周运运动动，轻轻绳绳下下端端挂挂一一质质量量 的的重重物物刚刚好好平平衡衡。今今用用手手将将重重物物向向上上托托起起 后后松松开开。问问：放放手手后后能能否否保保持持平衡？若不平衡，重物向什么方向运动？平衡？若不平衡，重物向什么方向运动？5.2 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 一个质点系对一固定点的角动量一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中定义为其中各个质点对该固定点的各个质点对该固定点的角动量的矢量和，即角动量的矢量和，即其中其中0第第 i 质点受到质点受到 的全部力

14、的全部力将上式对质点系内所有质点求和，得将上式对质点系内所有质点求和，得-各质点所受外力矩各质点所受外力矩 的矢量和称为的矢量和称为 质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩-各质点所受内力矩各质点所受内力矩 的矢量和的矢量和式中式中记作记作0与与 共线，共线，所以这一对内力矩之和为零。所以这一对内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。于是得于是得“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率”-质点系的角动量定理质点系的角动量定理 内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，内力总是成对出

15、现的，所以内力矩也是成对出现的，对对i,j 两个质点来说两个质点来说，它们相互作用的内力矩之和为，它们相互作用的内力矩之和为1.质点系的角动量定理也是适用于质点系的角动量定理也是适用于惯性系惯性系。2.外力矩和角动量都是相对于惯性系中的外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点同一固定点说的。说的。3.当合外力矩为零时，质点系总角动量不随当合外力矩为零时，质点系总角动量不随 时间变化，时间变化，-质点系的角动量守恒定律。质点系的角动量守恒定律。4.内力矩内力矩不影响质点系总角动量，但可影不影响质点系总角动量，但可影 响质点系响质点系 内内 某些质点的角动量。某些质点的角动量。说明说明例例.

16、两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮 的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后的轻绳的一端如图，他们起初都不动，然后 右边的小孩右边的小孩用力向上爬绳，另一个小孩仍抓用力向上爬绳，另一个小孩仍抓 住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。住绳子不动。忽略滑轮的质量和轴的摩擦。问：哪一个小孩先到达滑轮？问：哪一个小孩先到达滑轮？设滑轮半径为设滑轮半径为R R，两小孩两小孩的质量分别为的质量分别为m1、m2，【解】【解】把小孩看成质点，把小孩看成质点，以滑轮中心为以滑轮中心为“固定点固定点”，m1=m2(爬爬)(不爬不爬)对对“m1+m2+轻绳轻绳 +滑轮滑轮”系统：系统：外

17、力：外力：条件：条件：所以角动量守恒所以角动量守恒设两小孩设两小孩分别以分别以 速度上升。速度上升。设角动量以指向纸内为正设角动量以指向纸内为正。（指向纸内）（指向纸内）（指向纸外）（指向纸外）系统的角动量守恒：系统的角动量守恒：爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！有人说该系统机械能守恒，对不对？有人说该系统机械能守恒，对不对？有人说该系统动量守恒，对不对？有人说该系统动量守恒，对不对？思考：思考：（启动前）（启动前）（启动后）（启动后）若若 ，此时系统的角动量此时系统的角动量 也不守恒了，会出现什么情况？也不守恒了，会出现什么情况？讨论讨论不对。不对。不对。不对。系统

18、所受的合外力矩为系统所受的合外力矩为（仍以朝向纸内为正）（仍以朝向纸内为正）（1 1）设）设 （右边爬绳的是较轻的小孩）（右边爬绳的是较轻的小孩）思考思考 ：的方向是什么？的方向是什么？角动量定理角动量定理的方向的方向朝向纸外朝向纸外（为负）为负）初始时小孩未动，初始时小孩未动，。现在现在(爬爬)(不爬不爬)即质量为即质量为 m2（轻的轻的、爬的）小孩先到。、爬的）小孩先到。（2）设）设 m2 m1 （右边右边爬绳的小孩较重）爬绳的小孩较重）即质量为即质量为 m1（轻的轻的、不爬的）、不爬的）小孩先到。小孩先到。总之，总之，轻的小孩总是先到，轻的小孩总是先到，爬绳的小孩不一定先到。爬绳的小孩不

19、一定先到。同理可得，同理可得，(爬爬)(不爬不爬)例例.一长为一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球的轻质细杆两端分别固接小球 A 和和 B,杆可绕其杆可绕其中点处的细轴中点处的细轴在光滑水平面上转动。在光滑水平面上转动。初始时杆静止初始时杆静止,后另一小球后另一小球C以速度以速度v0垂直于杆碰垂直于杆碰A,碰后与碰后与 A合二而一。设三个小球的质量都是合二而一。设三个小球的质量都是 m,求求:碰后杆转动的角速度碰后杆转动的角速度 。ABCv0【解解】选系统选系统:A+B+C答：轴处有水平外力，动量不守恒。答：轴处有水平外力，动量不守恒。可得可得碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？碰撞过程中，系

20、统的动量守恒不守恒？答：轴处有水平外力，但没有外力矩，答：轴处有水平外力，但没有外力矩，角动量守恒。角动量守恒。碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？即即设碰后设碰后 B 球的速度为球的速度为v,一一.质心系中的角动质心系中的角动量量 设设O 是惯性系中的一个固定点，是惯性系中的一个固定点，C 是质心、兼质心坐标系原点，是质心、兼质心坐标系原点，质心系中质点系对质心质心系中质点系对质心 的角动量的角动量 质点系对质点系对O点点的角动量的角动量 质心质心C 对对O点的角动量点的角动量 附附 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量 y x 0ri CO系为惯性系

21、系为惯性系 z式中式中有有或或质点系对质点系对O点的角动量为点的角动量为 y x 0ri CO系为惯性系系为惯性系 z证明证明00质心系中质点系质心系中质点系的角动量，即的角动量，即质心相对于质心相对于O点的角动量点的角动量 即即所以有所以有质点系对质点系对o点的角动量点的角动量 等于等于质心对质心对o点的角动量点的角动量 加上加上质心参考系中质点系对质心的角动量。质心参考系中质点系对质心的角动量。质心系是零动量系质心系是零动量系二二.质点系对质心的角动量定理质点系对质心的角动量定理 y x 0ri CO系为惯性系系为惯性系 z“质点系所受的对质心的合外力矩等于质心参考系质点系所受的对质心的合

22、外力矩等于质心参考系中中 该质点系对质心的角动量的变化率该质点系对质心的角动量的变化率”质心系中的（对质心）角动量定理质心系中的（对质心）角动量定理 这再次显示了质心的特殊之处。这再次显示了质心的特殊之处。这里质心系这里质心系可以不是惯性系！可以不是惯性系！对对惯性系曾有惯性系曾有对质心系对质心系所以，有时选择质心系来讨论问题有它的优点。注：质心系中的功能原理，质心系中机械能守恒定律，也都与惯性系中形式相同（不管质心系是否为惯性系）。称为称为质心系中的（对质心）角动量守恒质心系中的（对质心）角动量守恒定律。定律。当合外力矩当合外力矩=常矢量常矢量5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体刚体-

23、形状与大小都不变的物体（理想模型）。形状与大小都不变的物体（理想模型）。刚体是一个特殊的质点系刚体是一个特殊的质点系 -质点之间的距离与相对位置都保持不变。质点之间的距离与相对位置都保持不变。刚体的运动基本形式刚体的运动基本形式:1.平动平动 2.转动转动 定轴转动定轴转动 定点转动（有瞬时轴）定点转动（有瞬时轴）这章学习方法这章学习方法:对比法（对比质点力学）对比法（对比质点力学）一般运动一般运动(可包括前面两种可包括前面两种)它可分解为以下两种刚体的基本运动它可分解为以下两种刚体的基本运动：随随基点基点O（可任选）的可任选）的平动平动 绕通过绕通过基点基点O的的瞬时轴的瞬时轴的定点转动定点

24、转动O O OO 转动与基点的选取无关转动与基点的选取无关两种分解，基点选取不同。两种分解，基点选取不同。例如：例如：平动可以不同，平动可以不同，或或常选常选质心质心为基点。为基点。转动却相同：转动却相同：=当然也有当然也有=刚体作刚体作定轴转动定轴转动时时,刚体上各质点都作刚体上各质点都作圆周运动圆周运动。（线位移、（线位移、线速度、线速度、线加速度）线加速度）（角位移、角速度、角加速度）（角位移、角速度、角加速度）设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴 z 转动转动,转动参考方向为转动参考方向为 x。vi,定轴定轴zmi大小：大小：角速度矢量角速度矢量方向：方向：右手螺旋关系右手螺旋关系 沿轴（有正

25、负）沿轴（有正负）角量完全相同角量完全相同各质点运动的线量一般不同各质点运动的线量一般不同 角加速度角加速度 大小：大小：方向：方向：当越转越快时，与当越转越快时，与 同方向。同方向。当当越转越慢越转越慢时，时，与与 反方向。反方向。vi,定轴定轴zmi 当刚体作匀变速转动时当刚体作匀变速转动时质点系的角动量定理质点系的角动量定理z轴分量轴分量zO 5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒定轴转动刚体的角动量定理及守恒zO质元质元到到转轴的垂直距离转轴的垂直距离刚体到转轴的刚体到转轴的转动惯量转动惯量对对固定轴固定轴刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律与牛顿第二定律对比与牛顿第二定律对比刚体到转轴的

26、转动惯量刚体到转轴的转动惯量 转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义:1.刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度2.转动惯量与刚体的质量有关转动惯量与刚体的质量有关3.J 在质量一定的情况下与质量的分布有关在质量一定的情况下与质量的分布有关4.J与转轴的位置有关与转轴的位置有关对比刚体的对比刚体的角动量和质点的动量角动量和质点的动量与与对应对应质点系的角动量定理质点系的角动量定理z轴分量轴分量质元质元对对O点的力矩点的力矩（垂直（垂直z轴）轴）zO（垂直（垂直z轴）轴）5.4 定轴转动刚体的角动量定理及守恒定轴转动刚体的角动量定理及守恒二、二、转动惯量的计算转动惯量的计算 转动惯量的定义：

27、转动惯量的定义：转动惯量由质量对轴的分布转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：决定，与下列因素有关：（1）密度大小）密度大小（2）质量分布）质量分布（3）转轴位置）转轴位置定轴定轴zrimi转动惯量的意义：转动惯量的意义：J 反映了转动惯性的大小。反映了转动惯性的大小。（实验）（实验）例例:一均匀细棒长一均匀细棒长 l 质量为质量为 m1)轴轴 z1 过棒的中心且垂直于棒过棒的中心且垂直于棒2)轴轴 z2 过棒一端且垂直于棒过棒一端且垂直于棒求求:上述两种情况下的转动惯量上述两种情况下的转动惯量 oZ 1解解:棒质量的线密度棒质量的线密度所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义所以只有

28、指出刚体对某轴的转动惯量才有意义 oZ 2l例例:匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:解解:圆盘半径为圆盘半径为 R,总质量为总质量为 m.设质量面密度设质量面密度例例:匀质圆环半径为匀质圆环半径为 R,总质量为总质量为 m,求绕垂直求绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量于环面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:ZRdm解解:zRrdrdmdSm形状复杂刚体的形状复杂刚体的 J 常通过实验来测定常通过实验来测定.常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的常见的形状简单对称、质量均匀的刚体的J 很易计算得到。很易计算得到。应记住的几个常用结果应记

29、住的几个常用结果:（1）细圆环）细圆环（3）均匀圆盘、圆柱）均匀圆盘、圆柱（2）均匀细棒）均匀细棒RmOR mcAc 计算转动惯量计算转动惯量 J 的的2条有用的定理：条有用的定理：（1）叠加）叠加定理定理:对同一转轴对同一转轴 J 有可叠加性有可叠加性（2）平行）平行轴定理轴定理:所以所以 Jc 总是最小的总是最小的.mJACdJC平行平行（证明见书（证明见书 P 115）RMO OmL利用转动惯量的利用转动惯量的可叠加性可叠加性和和平行轴定理：平行轴定理：圆盘圆盘细杆细杆写出下面刚体对写出下面刚体对O轴（垂直屏幕轴（垂直屏幕）的转动惯量的转动惯量例例.三、三、对定轴的角动量守恒对定轴的角动

30、量守恒讨论力矩对时间的积累效应。讨论力矩对时间的积累效应。利用对质点系的角动量定理：利用对质点系的角动量定理：对点：对点：对轴：对轴：刚体：刚体：刚体定轴转动刚体定轴转动的角动量定理的角动量定理刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体系：刚体系：M外外z=0 时，时，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。例如例如.花样滑冰。花样滑冰。注：对非刚体的定轴转动，若 M外z=0,也有J11=J22，（不证）第第1题题.有两个力作用在一个有固定轴的刚体上，有两个力作用在一个

31、有固定轴的刚体上，（1）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。）两个力都平行于轴时，合力矩一定为零。对。对。（每个力对轴的力矩皆为零每个力对轴的力矩皆为零）（2）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。）两个力都垂直于轴时，合力矩可能为零。对。对。（两个力的力矩相反时合力矩为零两个力的力矩相反时合力矩为零）（3）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。）两个力的合力为零时，合力矩也一定为零。错。错。（力等值反向，力矩仍可不等值反向力等值反向，力矩仍可不等值反向）（4）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。）两个力的合力矩为零时，合力也一定为零。错。错。（合力矩为零，两力仍可不等值反向合力矩为零，两力仍

32、可不等值反向）【答】【答】【答】【答】【答】【答】【答】【答】四、刚体定轴转动定律的应用四、刚体定轴转动定律的应用 已知：两物体已知：两物体 m1、m2（m2 m1)滑轮滑轮 m、R,可看成质量均匀的圆盘可看成质量均匀的圆盘,轴上的摩擦力矩为轴上的摩擦力矩为 Mf（设绳轻，且设绳轻，且 不伸长不伸长,与滑轮无相对滑动）。与滑轮无相对滑动）。求求:物体的加速度及绳中张力。物体的加速度及绳中张力。解题思路解题思路;（1）选物体）选物体（2）看运动）看运动（3）查受力（注意）查受力（注意:画隔离体受力图）画隔离体受力图）（4）列方程（注意）列方程（注意:架坐标）架坐标）例例1.m1m2mR因绳不伸长

33、因绳不伸长,有有 a1=a2=a因绳轻因绳轻,有有对对m1有有对对 m2有有以加速度方向为正，可列出两式以加速度方向为正，可列出两式设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解解】分别对分别对m1,m2,m 看运动、分析力，看运动、分析力，T1-m1g=m1a-（1）m2g-T2=m2 a-（2）对滑轮对滑轮 m 由转动方程由转动方程-（3）三个方程三个方程,四个未知数四个未知数.再从再从运动学关系上有运动学关系上有-（4）联立四式解得：联立四式解得：(以以“方向方向”为为正正)当不计滑轮质量和摩擦力矩时当不计滑轮质量和摩擦力矩时:（与中学作过的一致！）（与中学作过的一致！）m=0,Mf=0，有有

34、讨论讨论 已知：如图，已知：如图，R=0.2m，m=1kg，vo=o，h=1.5m，匀加速下落时间匀加速下落时间 t=3s,绳、轮无相对滑动，轴光滑。绳、轮无相对滑动，轴光滑。求：轮对求：轮对o轴轴 J=？（测定转动惯量测定转动惯量J 的实验方法之一）的实验方法之一）定轴定轴0Rthmv0=0绳绳设出各量如图所示。设出各量如图所示。【解解】分别对物体分别对物体m 和轮和轮 看运动、分析力，看运动、分析力，例例 2.Rma【解解】：由动力学关系：由动力学关系：四个未知量四个未知量由运动学关系：由运动学关系：Rm5.5 转动中的功转动中的功和和能能一一.力矩的功力矩的功对转动（功）无贡献对转动（功

35、）无贡献现在讨论现在讨论力矩对空间的积累效应力矩对空间的积累效应 设刚体上设刚体上P点受到点受到外力外力 的作用，的作用，,功为功为 ,位移为位移为 此式称为此式称为力矩的功力矩的功（实质上仍然是力的功）。（实质上仍然是力的功）。二二 .定轴转动动能定理定轴转动动能定理刚体的定轴转动动能刚体的定轴转动动能:（可对比质点的动能）（可对比质点的动能）定轴转动动能定理定轴转动动能定理.即即应该：应该：0对对c点点第第2题题.刚体的势能等于刚体的势能等于如图所示，某人说：刚体如图所示，某人说：刚体的动能等于的动能等于你同意吗？你同意吗？对对0点点C点，点，相同相同【答】【答】某人说：刚体的角动量某人说

36、：刚体的角动量就是就是你同意吗？你同意吗？应该应该对对c点点【答】【答】1。质心系不必是惯性系。质心系不必是惯性系。刚体平动时，质心的运动完全可以代表刚体平动时，质心的运动完全可以代表 刚体的运动；刚体的运动；刚体转动时，质心的运动不能完全代表刚体转动时，质心的运动不能完全代表 刚体的运动！刚体的运动！刚体质心的运动刚体质心的运动+刚体相对于质心的转动（质心系）刚体相对于质心的转动（质心系）刚体的运动刚体的运动=从此题我们可以看到：从此题我们可以看到：2。对刚体上任一点（基点）的转动角速度。对刚体上任一点（基点）的转动角速度 都是相同的。都是相同的。三三 .刚体定轴转动的机械能守恒定律刚体定轴

37、转动的机械能守恒定律 刚体的重力势能刚体的重力势能 hc-质心的高度质心的高度刚体系刚体系仍是个质点系仍是个质点系,根据质点系的功能原理：根据质点系的功能原理：若若 dA外外+dA内非内非=o，则则 Ek+Ep=常量常量.-机械能守恒定律机械能守恒定律A外外+A内非内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）求求:杆下摆到杆下摆到 角时，角时，角速度角速度？轴对杆的作用力轴对杆的作用力？【解】【解】“杆杆+地球地球”系统，系统，(1)(2)由由(1)、(2)解得：解得：只有重力作功，只有重力作功，E机机 守恒。守恒。已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为长为l，轴，轴o光滑，光滑，初始

38、静止在水平位置。初始静止在水平位置。例例3.EP重重=00CABl,ml/4 应用应用质心运动定理质心运动定理 求轴对杆的作用力：求轴对杆的作用力：BCOAl,mNlNtNmgactacllt设轴设轴力力 如图，有如图，有(3)(4)代入代入(3)(4)，得：，得：COABl,mNlNtNlt或或(负号代表什么？负号代表什么？)质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴的水平光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 竖直落到棒的一端，竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）

39、。例例4.lm mo【解解】求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。杆的角速度杆的角速度 肯定如图，肯定如图，假设小球碰后瞬时的速假设小球碰后瞬时的速 度度 向上，如图所示。向上，如图所示。系统系统：小球：小球+杆杆条件条件：M外外=0 角动量守恒角动量守恒 （轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的 内力矩相比可以忽略）内力矩相比可以忽略）因为弹性碰撞因为弹性碰撞,动能守恒动能守恒联立联立(1)(2)解得解得讨论讨论1.量纲量纲 对对2.0 对对3.当当 m 3m 时时,v 0（向上）向上）当当 m=3m 时时,v=0（瞬时静止）瞬时静止）当

40、当 m 3m 时时,v 0（向下）向下）第第3题题.质量质量 m长长 l 的均匀细杆可绕通过其上端的水平的均匀细杆可绕通过其上端的水平 光滑固定轴光滑固定轴 0 转动，质量也是转动，质量也是m 的小球用长度也是的小球用长度也是 l 的轻绳系于上述的轻绳系于上述 0 轴上。设细杆静止在竖直位轴上。设细杆静止在竖直位 置，将小球在垂直于置，将小球在垂直于0 轴的平面内拉开角度为轴的平面内拉开角度为 ，然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆然后使其自由下摆与杆端发生弹性碰撞，结果使杆 产生产生 /3 的偏角。求：的偏角。求：=？【解解】小球下摆过程：小球下摆过程：系统系统：小球：小球+地球地球

41、 条件条件：只有保守力：只有保守力 作功作功 所以所以E机机守恒守恒mlo /3/3m条件条件：小球和杆的重力（外力）：小球和杆的重力（外力）对对0 轴几乎无力矩轴几乎无力矩,有轴力（外力），但也无力矩。有轴力（外力），但也无力矩。M外外=0，系统角动量守恒系统角动量守恒即小球动量矩即小球动量矩 碰撞过程碰撞过程：系统系统：小球：小球+杆杆 （动量守恒（动量守恒？答：不守恒！）答：不守恒！）四个未知数，三个方程，还应找一个方程。四个未知数，三个方程，还应找一个方程。杆上摆过程：杆上摆过程：由由E机守恒机守恒可得可得mlo /3/3m联立可以解得联立可以解得 题意：题意：弹性碰撞，所以弹性碰撞，

42、所以动能守恒动能守恒第第4题题.球与匀质球与匀质 杆的碰撞过程杆的碰撞过程正好使轴承处无水平力（正好使轴承处无水平力（动量也能守恒）？动量也能守恒）？是否动量一定不守恒？是否动量一定不守恒？有没有特例？有没有特例？动量一般不守恒。动量一般不守恒。分析：分析：打击点非常靠近打击点非常靠近0点时，轴受力向右；点时，轴受力向右；打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转打击点非常靠近下端时，由于杆会绕质心转动，轴受力向左。动，轴受力向左。【解】【解】能否找到能否找到注：注：方法一方法一：用动量定理角动量定理：用动量定理角动量定理这个打击位置称为撞击中心这个打击位置称为撞击中心所得结果与杆的质量无关。所得

43、结果与杆的质量无关。假设无水平轴力，只有球的力假设无水平轴力，只有球的力 f对象：杆对象：杆联立三式，也可解得联立三式，也可解得动量定理（水平）：动量定理（水平）：-（1）角动量定理：角动量定理：-（2）运动学：运动学：-（3）方法二方法二：联立三式，也可解得联立三式，也可解得对象：球杆对象：球杆假设无水平轴力，只有球的力假设无水平轴力，只有球的力 f由角动量守恒由角动量守恒由动量守恒（水平）由动量守恒（水平）o-（1）-（2）-（2）又又-（3）用动量守恒角动量守恒用动量守恒角动量守恒第第5题题.如图一匀质细杆长为如图一匀质细杆长为 l，质量为质量为 M，无约无约 束地束地平放在光滑水平面上

44、。一质量为平放在光滑水平面上。一质量为 m的小球以的小球以 速度速度 v0 垂直于杆身与杆端作弹性碰撞。设垂直于杆身与杆端作弹性碰撞。设 M 3m，求：碰后杆的角速度求：碰后杆的角速度.对杆球系统，对杆球系统，无外力无外力 动量守恒动量守恒【解】【解】-（1）对任一固定点对任一固定点,没有外力矩，没有外力矩，角动量守恒角动量守恒.v0mM，l cvc设运动方向如图设运动方向如图设设碰后碰后球球速为速为v选选与与碰撞处重合点碰撞处重合点为固定点：为固定点：v0mM，l cvc球球 的角动量为零的角动量为零,杆杆 的角动量为：的角动量为：杆的质心对该点的角动量杆的质心对该点的角动量+杆绕质心的角动

45、量杆绕质心的角动量（注意所设运动方向）（注意所设运动方向）碰前总碰前总角动量角动量碰后碰后杆绕杆绕质心的角动量质心的角动量碰后碰后杆的杆的质心角动量质心角动量碰后碰后球球的角动量的角动量注意：被碰的杆端不是固定点。注意：被碰的杆端不是固定点。-（2）得得弹性碰撞，动能不变弹性碰撞，动能不变三式联立解得三式联立解得结果为正，表明所设运动方向正确。结果为正，表明所设运动方向正确。得得-（3）如果选择如果选择与杆中心重合与杆中心重合的固定点，的固定点，角动量角动量守恒如何写？守恒如何写？结果一样吗？结果一样吗？讨论：讨论：v0mM，l cvc碰后碰后杆绕杆绕质心的角动量质心的角动量碰后碰后杆的杆的质

46、心角动量质心角动量碰后碰后球球的角动量的角动量碰前碰前总总的角动量的角动量与（与（1）结合，仍然可得）结合，仍然可得-（2）5.6 进动进动（旋进旋进Precession）例如例如:陀螺陀螺进动：高速旋转的物体，进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转其自转轴绕另一个轴转动的现象。动的现象。为什么重心已经偏出为什么重心已经偏出支撑点但是不倒？支撑点但是不倒？能否从力学规律上解释？能否从力学规律上解释？一般地说，转动刚体的角动量一般地说，转动刚体的角动量 和角速度和角速度 是不平行的。是不平行的。进动是一种刚体绕点转动进动是一种刚体绕点转动的有趣现象。的有趣现象。但若刚体质量对转轴的但若刚体质

47、量对转轴的分布对称时，则有（对分布对称时，则有（对转轴上的任一点）：转轴上的任一点）：例如，例如，图中所示刚体图中所示刚体 以轻杆连接，以轻杆连接，（不对称），则对不对称），则对O点的点的 显然显然 不平行于不平行于 。为简单起见为简单起见,我们只讨论我们只讨论具有对称轴的刚体具有对称轴的刚体的旋进问题。的旋进问题。即即m2 r2m1 r1L2L1 L Oz利用质点系对利用质点系对固定点的角动量定理固定点的角动量定理 在陀螺的自转轴有一倾角时在陀螺的自转轴有一倾角时,陀螺受的重力陀螺受的重力产生的对产生的对o点的力矩为点的力矩为（方向向里）（方向向里）的方向也向里的方向也向里,并且在水平面内并

48、且在水平面内,如图。如图。MdLmgO如连续画下去，可以看如连续画下去，可以看到角动量矢量的端点，到角动量矢量的端点，绕竖直轴作圆周运动，绕竖直轴作圆周运动，这就表现出进动现象。这就表现出进动现象。所以，进动现象正是自旋所以，进动现象正是自旋的物体在外力矩的作用下的物体在外力矩的作用下沿外力矩方向改变其角动量矢量沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果。的结果。计算进动的角速度计算进动的角速度：mgO设角动量矢量的设角动量矢量的端点端点 dt 时间内、时间内、在水平面内转过在水平面内转过d角，则有角，则有进动的角速度进动的角速度mgO讨论：讨论：，与实际符合。与实际符合。以上只是近似讨论，以上只是近

49、似讨论，因为当进动发生后：因为当进动发生后：刚体的角动量应该是刚体的角动量应该是注意注意此处，此处，M外外是重力矩：是重力矩：假如转速不大，以上条件不成立，假如转速不大，以上条件不成立，则陀螺在进动时还会摆动。则陀螺在进动时还会摆动。这种摆动称为这种摆动称为“章动章动”（情况比较复杂）（情况比较复杂）。应用举例应用举例:炮弹的飞行炮弹的飞行;轮船的转弯问题轮船的转弯问题只有高速自转只有高速自转定性分析定性分析：若球初始若球初始运动方向运动方向向右，向右，则摩擦力方向一定向左。则摩擦力方向一定向左。摩擦力的作用：摩擦力的作用：对质心的运动对质心的运动【解】【解】对绕质心的转动对绕质心的转动搓动乒

50、乓球后，搓动乒乓球后，第第6题题.现象：在台面上合适地搓动乒乓球，乒现象：在台面上合适地搓动乒乓球，乒 乓球在桌面上前进一段距离后将会自动返回？乓球在桌面上前进一段距离后将会自动返回？（1）试对此现象作定性解释；）试对此现象作定性解释；（2）设乒乓球可看成匀质刚性球壳，）设乒乓球可看成匀质刚性球壳，导出能产生上述现象，初始条件应满足的关系。导出能产生上述现象，初始条件应满足的关系。当当而而还未降到零时，乒乓球返回还未降到零时，乒乓球返回!（1）转动方向转动方向 和和 平动方向不可随意；平动方向不可随意；之间的大小应满足一定关系。之间的大小应满足一定关系。结论：结论：质心运动方程质心运动方程定量